江西省南昌市2026届高三下学期一模考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
2. 已知复数 ，则
A. 1 B. C. D. 5
【答案】C
3.若 ，则 所在的范围是
A. B. C. D.
【答案】C
4.某圆锥的轴截面是一个斜边长为 4 等腰直角三角形, 则此圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
【答案】A
5.已知 ，则不等式 的解集为
A. . B. C. D.
【答案】D
6.已知圆 : 点 在圆 外， 直线 与圆 有两个公共点， 则 是 的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】C
7.已知函数 的部分图象如图所示,则
A. -1B. C. D.
【答案】A
8.已知函数 ,若函数 为偶函数，则
A. B.
C. D.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 ，则下列选项中正确的有
A. B. C. D.
【答案】BCD
10.在正三棱柱 中， 分别为 的中点，则下列说法中正确的有
A. 平面 B. 平面 平面
C. D. 平面
【答案】BC
11.在平面直角坐标系 中,已知 ,动圆 ,过点 分别作斜率为 的两条直线与动圆 相切,两切线交于第一象限的点 ,设点 到直线 的距离为 ,则下列说法中正确的是
A. B. C. D.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中， 的系数是________.
【答案】80
13.已知向量 ，若向量 满足 ，则 的最大值为_______.
【答案】
14.已知 盒中装有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球， 盒中装有大小相同的 3 个红球，从 盒中随机取一个球，若是红球，则放回 盒；若是黑球，则从 盒中取一红球与其替换，这样称为 1次操作，重复以上操作，直到 盒中 6 个球全是红球为止. 记 次重复操作后， 盒中 6 个球恰好全是红球的概率为 ,则 ________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 的角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 2，求 和 .
【解析】(1)由正弦定理可得 ,即 ; 5 分
(2)因为 ，所以 ，
所以 ,即 , 8 分
所以 ,即 , 11 分
所以 . 13 分
16.近年来, 青少年近视问题备受关注. 为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联, 某研究小组在某中学随机抽取了 200 名学生进行问卷调查. 调查项目包括平均每天使用手机的时间(分为“少于 1 小时”和“1 小时及以上”两类)以及是否被医院诊断为近视(分为“是”和“否”两类)，调查结果汇总如下表:
(1)从该校学生中任选 1 人，记“该人平均每天使用手机时间少于 1 小时”为事件 ，记“该人近视”为事件 . 根据上表数据,用频率估计概率,分别估计 ,并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量 (精确到 0.001 )，并判断是否有99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
附:公式 ,
独立性检验临界值表:
【解析】(1)在 (平均每天使用手机时间 1 小时以下)条件下，
近似的频率为 ，
用频率估计概率,得 , 3 分
在 (平均每天使用手机时间 1 小时及以上) 条件下,近视的频率为 ,
用频率估计概率,得 , 6 分
使用手机时间少于 1 小时的学生近视概率约为 0.4 ，
而使用手机时间 1 小时及以上的学生近视概率约为 0.65 , 两者有较大差异.
因此直观判断, 平均每天使用手机时间与近视有关联, 使用手机时间越长, 近视的概率越高. 8 分
(2) ，
12 分
由于 ,所以有 的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.15 分
17.已知等比数列 的公比 为整数,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) 由已知, ,
两式相除可得 ,即 ,解得 , 4 分
故 ,所以 ; 7 分
(2) ， 9 分
所以 ①
所以 ②
则② - ①得:
所以 . 15 分
18.已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 的零点为 ，设曲线 在 处的切线为 ，求证:
(3)当 时，设 ，且满足 ，求证: .
【解析】(1) ,
由 ,
当 时, ,即 在 为增函数;
当 时, ,即 在 为减函数; 5 分
(2)由 ，解得 ，
又因为 ,则 ,
所以切线方程为 , 7 分
设 ,
可知 在 为增函数, 在 为减函数,
,所以 ; 10 分
(3)由(1)可知 ，
① 若 ,则 ,
不符合题意;
所以 ,
②若 ，则 ，
③若 ，又因为 在 为减函数，，
所以 ,所以 ,
综上所述 , 12 分
又因为 ,由 ,
所以 ,
即 ,即 ,
设 , 14 分
所以 ,
方法一: 设 ,所以 ,
因为 在 为单调递增,
当 时, ,
所以存在 ,使得 ,即 ,
又因为 ， ，即 在 为减函数；
又因为 ， ，即 在 为增函数；
所以 ,
又因为 ,则有 ,又因为 ,
所以 ,即 在 为增函数,
又因为 ,所以 ,即 . 17 分
方法二:
设 ,因为 在 单调递增,
又因为 所以
所以 ,即 在 为增函数,
又因为 ,所以 ,即 . 17 分
19.已知正方体 的棱长为 ,对角线 的中点为 ,动点 在平面 内,且点 到平面 的距离等于 .
(1)求四棱锥 体积的最小值；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，点 是曲线 上不同三点.
(i) 若平面 与轨迹 相交于 两点,求线段 的长;
(ii) 若点 在点 上方,且 与平面 所成角相等,平面 过 且与 平行,判断平面 与平面 的夹角是否为定值,若是定值,求出这个夹角的余弦值; 若不是定值, 请说明理由.
【解析】(1) 设点 到平面 和直线 的距离分别为 ,因为点 在平面 内,且平面 与平面 的夹角为 ,因此 ,得 ,所以点 的轨迹是 为焦点, 为准线的抛物线,当点 在抛物线的顶点 处时, 最小, 最小值为 ,此时 ,
所以四棱锥 体积的最小值为 ; 5 分
(2)设 的中点为 ，则 ，如图 1，以 的中点 为原点， 所在直线为 轴,过点 且垂直于平面 的直线为 轴,过点 且平行于 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,设点 ,则 , 7 分
(i) 若平面 与平面 的交线为 ,因此 是直线 与抛物线 的交点,
如图 2,在平面 中,可以设 ,
与抛物线 方程联立,得: ,
因此, . 10 分
(ii) 如图 3,在平面 中,点 在点 上方,且 ,
得到点 坐标为 ,因为 与平面 所成角相等,
所以 与 所成角相等,因此, 的斜率互为相反数,
设 ,则 ,
得 ,
因此, , 13 分
因此,在空间直角坐标系中, 的方向向量为 ,又 ,
设平面 的法向量 ,
由 ,由 ,令 ,则 ,
又平面 的法向量 ,
平面 与平面 的夹角为定值,其余弦值为 . 17 分
使用手机时间
近视
不近视
总计
少于 1 小时
40
60
100
1 小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828