湖北黄石市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题含答案

这是一份湖北黄石市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知曲线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=−1,−12,0,12,1,B=x sinπx=0 ，则 A∩B= ()
A. {0} B. {−1,1} C. {−1,0,1} D. −12,0,12
2. 若复数 zi+i2026=l+i ( i 为虚数单位),则 z= ( )
A. −i B. i
C. 22+22i D. −22−22i
3. 已知向量 a=−2,0,a+b=2,3 ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为( )
A. −45 B. −35 C. 35 D. 45
4. 已知平面 α ,两条不重合的直线 l,m ,则“存在直线 m⊂α ,使 l//m ” 是 “ l//α ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某次考试有 10000 人参加,若他们的成绩近似服从正态分布 N80,400 ,则分数在 100-120之间的考生约有( )(参考数据: 若 X∼Nμ,σ2 ,则有
Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973)
A. 1360 人 B. 1570 人 C. 2720 人 D. 3410 人
6. 若实数 x,y 满足 x2+y2=1 ,则 y−1x+3 的最小值是( )
A. 0 B. −43 C. −34 D. 34
7. 已知等比数列 an 的首项为 1,前 n 项和为 Sn ,若 S9S3=3 ,则 a7= ( )
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
8. 已知曲线 C:y=aex−1x≥0 ,将 C 绕坐标原点逆时针旋转 π6 后所得的曲线是某个函数的图像,则正实数 a 的取值范围为 ( )
A. 0,33 B. 0,3 C. 33,+∞ D. [3,+∞)
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=sinx+3csx ，则下列命题正确的有( )
A. 函数 fx 的图像关于点 −π6,0 对称
B. 函数 fx 的最大值是 2
C. 若实数 m 使得方程 fx=m 在 0,2π 上恰好有三个实数解 x1,x2,x3 ,则 x1+x2+x3=7π3
D. −56π+2kπ,π6+2kπk∈Z 是函数 fx 的单调递减区间
10. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,记备面的对角线为它的面对角线, AC1,A1C,BD1,B1D 为它的体对角线. 设 P,M,N 分别为 AB,BB1,DD1 的中点，则()

A. 存在面对角线与平面 MNP 平行
B. 存在面对角线与平面 MNP 垂直
C. 存在体对角线与平面 MNP 平行
D. 存在体对角线与平面 MNP 垂直
11. 如图所示为杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,第 n 行的第 r 个数可以表示为 Cnr−1n≥1时 . 在欧洲,这个表被认为是帕斯卡 (1623-1662) 首先发现的. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表, 这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究, 则下列命题正确的有 ( )

A. 第 2026 行共有 2026 个数
B. 从第 4 行起到第 19 行,每一行的第 4 个数字之和为 C204−1
C. 第 48 行的所有数字之和被 7 除的余数为 1
D. 去除所有为 1 的项,依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯ ,则此数列前 135 项的和为 218−53
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 a,b∈R+ ,满足 a+b+3=ab ,则 a+b 的取值范围是_____.
13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等,高相等,侧面积相等,若圆锥的体积为 8π , 则圆柱的底面半径为_____.
14. 已知点 F1,F2 在 x 轴上,其既是椭圆 C1 的焦点,也是双曲线 C2 的焦点. 设椭圆 C1 和双曲线 C2 在第二象限的交点为 P ,点 Q 在第一象限的双曲线 C2 上,且 QF2=4PF2 ,若 C2 为等轴双曲线,则椭圆 C1 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别 a,b,c ，已知 sin22C+sinCsin2C=2sin2C .
(1)求角 C 的大小；
(2)若 a−b=1,c=7 ，求 △ABC 的面积.
16. 已知数列 an 满足 a1=0,an+1=2an+1an+2 .
(1)设 bn=an−1an+1 ，证明 bn 是等比数列，并求 bn 的通项公式；
(2)判断数列 an 的单调性.
17. 袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 1 个红球, 2 个黑球, 2 个白球. 现从中不放回地取球, 每次取一个球, 当三种颜色的球都有取到时停止, 记停止时取出的球的个数为随机变量 X .
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率;
(2)求 X 的分布列和期望.
18. 设函数 fx=ex−e−x−ax,e 为自然对数的底数.
(1)讨论 fx 的单调性；
(2) 设 n∈N∗ ,记 M=k=1n1k ,证明:
① M≤nn+12−2lnn! ; (注: n!=nn−1n−2×⋯×3×2×1 )
② M≥lnn+n+12n .
19. 如图 1 所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为 α ，截面与圆锥的轴线的夹角为 β ,当 β=π2 时,截线是圆; 当 α0,
即 an+1>an ,故数列 an 为递增数列.
17.(1)记事件 A= “第二次取出的是黑球”，事件 B= “第三次取出的是红球”，事件 A 可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，故
PA=25×14+35×24=25,
事件 AB “”第二次取出的是黑球,第三次取出的是红球“,可分为”第一次取出的是黑球“和” 第一次取出是白球"两种情况，
故 PAB=25×14×13+25×24×13=110 ,
故所求 PB∣A=PABPA=11025=14 .
(2)易知随机变量 X 可能的取值为3,4,5，
当 X=3 时,前三次分别取出 1 个红球、 1 个黑球和 1 个白球,
PX=3=C11C21C21 A33 A53=25,
当 X=5 时,前四次分别取出 2 个黑球和 2 个白球,
PX=5=C22C22 A44 A54=15,
当 X=4 时， PX=4=1−PX=3−PX=5=25 ，
故随机变量 X 的分布列为:
期望为 EX=3×25+4×25+5×15=195 .
18. (1) f′x=ex+e−x−a ,
易知 ex+e−x≥2ex⋅e−x=2 ,当且仅当 ex=e−x ,即 x=0 时取等号,
故当 a≤2 时, f′x≥0 ,此时 fx 在 −∞,+∞ 上单调递增;
当 a>2 时,令 f′x=ex+e−x−a=0 ,
解得 x1=lna−a2−42,x2=lna+a2−42 ,易知 x10 ,当 x12lnn+1n ,化简得 2lnn+1n