湖北省黄冈市2026届高三下学期3月模拟考试数学试卷含答案（word版）

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1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9.BD 10.ABD 11.ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. x+y−1=0 13. 3+32+37 14.[2,16]

14. 设 G0,y1,z1,P0,y2,z2,∵dG,A=1,∴y1+z1=1,G 点的轨迹为
y+z=1 . 又 ∠APB=∠DPE ,则 Rt △APB−Rt△DPE,ABDC=APPD=32 ,
即 y2−52+z2​2=49y2​2+z2​2 ,化简得 G 点的轨迹为 y−92+z2=36 .
在平面直角坐标系 yAz 中作出 G,P 轨迹可得 2≤PG≤16 .
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1) 由正弦定理知 sinAsinB+3csB=3sinC=3sinAcsB+csAsinB .
∴sinAsinB=3csAsinB,∵B∈0,π,∴sinB≠0 , .3 分
∴tanA=3,A∈0,π,∴A=π3 . .6 分
(2) 由 (1) 知 B+C=2π3,csB+C=csBcsC−sinBsinC=−12,∴sinBsinC=38 . .9 分
∴bcsinBsinC=a2sin2A=8×43,∴bc=323×38=4,∴S=12×4×32=3 . .13 分
(另解: 2R=asinA=bsinB=csinC=423=463.∴S=2R2sinAsinBsinC=3 .)
16. 证:(1)连 AC,BD 相交于点 O ，连 PO.∵ 底面 ABCD 为菱形， ∴AC⊥ BD 且 AO=OC .
又 AC I 平面 BGH,AC⊂ 平面 PAC ,平面 PAC∩ 平面 BGH=GH,∴AC∥GH,∴GH⊥BD ,又 GH⊥PD ,而 PD∩BD=D∴GH ⊥ 平面 PBD ,又 AC!GH,∴AC⊥ 平面 PBD ,而 PO⊂ 平面 PBD,∴AC ⊥PO,AO=OC,△PAC 为等腰三角形,即 PA=PC. …………5 分
(2)若 PB=PD ,则 PO⊥BD ,由(1)知 PO⊥AC,∴PO⊥ 平面 ABCD ,以 O 为原点 以 OB,OC,OP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立直角坐标系, .6 分
又 AB=2,∵∠ABC=60∘ ,则A0,−1,0,B3,0,0,C0,1,0,D−3,0,0,
∵PO⊥AC,AC⊥BD,∴BO⊥ 平面 PABCD,PB 与平面 PAC 所成的角为 60∘ ,
∴∠BPO=60∘,∴PO=1,∴P0,0,1 . .8 分
∴AC=0,2,0,CD=−3,−1,0,PC=0,1,−1 . .9 分
设平面 PCD 的法向量为 m=x1,y1,z1
则 −3x1−y1=0y1−z1=0 取 x1=1,y1=−3,z1=−3,∴m=1,−3,−3 , 10 分
设 Mx2,y2,z2,MC=−x2,1−y2,−z2 ,则 A,M 到平面 PCD 的距离相等,
d=AC⋅mm=MC⋅mm=237=−x2−3+3y2+3z27,∴x2−3y2−3z2+3=23 .
又 m1AM,∴x21=y2+1−3=z2−3 ,解得 M−437,57,127
MB=1137,−57,−127,
设平面 PAB 的法向量为 n=x3,y3,z3,∵BA=CD=−3,−1,0,AP=0,1,1 .
则 −3x3−y3=0y3+z3=0 取 x3=1,y3=−3,z3=3,∴n=1,−3,3 , 13 分
则点 M 到平面 PAB 距离为 d=113+53−12377=4377=42149 . .15 分
(另解: 设点 A 在平面 PCD 的射影点为 N ,则可求得 N−237,−17,67,AN=−237,67,67 ,
则 N 到平面 PAB 距离为 d=−23−63+6377=22149,M 到平面 PAB 距离为 2d=42149 .)
17. 解:(1)记第 1,2 次取出的是干电池的概率分别为 PA,PB ,
PB=35×25+25×14,PAB=25×14, 3 分
在第 2 次取出的是干电池的条件下第 1 次取出的也是干电池的概率为
PA∣B=PABPB=25×1425×35+14=517. .6 分
(2)依题意有抽屉里有 3 块充电电池，2 块干电池，用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为 5 块不变.记第 ii=1,2,…,n 次恰好其他科目答案已提前发布公众号【山海联考帮】抽到第一块干电池，第 n+1 次恰好 拍 到 第 二 块 干 电 池 的 概 率 为 Pn,i ，则 Pn,i=35i−1×25×45n−i×15=21545n34i, 10 分 ∴Pn=i=1nPn,i=21545ni=1n34i=2545n−35n .15 分
方法二 “第 n+1 次抽取时恰好抽到最后 1 块干电池”可分为两类:第 1 次抽到干电池与第 1 次抽到充电电池. 当第 1 次抽到充电电池时: Pn=35Pn−1 ， 10 分
当第 1 次抽到干电池时,仅第 1 次与第 n+1 次抽到干电池: ∴Pn=25×45n−1×15=22545n−1 , .12 分
∴Pn=35Pn−1+22545n−1,P1=25×15=225.n∈N∗,n≥2 . 13 分
∴54nPn=3454n−1Pn−1+110,∴54nPn−25=3454n−1Pn−1−25,∵54P1−25=−310 ,
∴54nPn−25 是以为 −310 首项 34 为公比的等比数列, .15 分
∴54nPn−25=−31034n−1,∴Pn=2545n−31045n34n−1=2545n−35n . 当 n=1 时成立.
故所求概率为 Pn=2545n−35n⋅n∈N∗ . .17 分
18. 解(1)设椭圆焦距为 2c ,依题意有 a=2 ,椭圆过点 c,22c,c24+c22b2=1 ,
又 a2=b2+c2,∴a=2,b=c=2 . 故的标准方程为 x24+y22=1 . .4 分
(2)(i)设 Ax0,y0,B−x0,−y0,Px1,y1 ,则 Mx0,0 ,由题意有 k=y0x0 . 可设 PB 的方程为 y=kBPx−x0 ,
kBP=kBM,∴kBP=y0x0−−x0=y02x0=k2 ,又 A,P 在椭圆上,
∴x0​24+y0​22=1,x1​24+y1​22=1,∴y1​2−y0​2x1​2−x0​2=−12,∴k0=y1−y0x1−x0=−x1+x02y1+y0=−x1+x02kBPx1+x0=−12kBP=−1k ,
∴kk0=−1 . .10 分
(ii) ∵∠ABP=∠AOM−∠BMO=∠AOM−∠PMx ,而 tan∠AOM=k,tan∠PMx=k2 ,
由 (i) 知 AP⊥AB ,又 k>0,∴1t=APAB=tan∠ABP=tan∠AOM−tan∠PMx1+tan∠AOMtan∠PMx=k−k21+k22=k2+k2=12k+k≤122 .
当 k=2 时等号成立， t≥22 . t 的最小值为 22 . .17 分
19. 解: (1) g′x=csx−xsinx−csx=−xsinx . 当 x∈0,π 时, g′xe 时, y=fx+2=ex−ax=0 ,即 ex=ax,∴x=lnx+lna , .5 分
令 px=x−lnx−lna,p′x=x−1x,∴px 在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增,且 pxmin=p1=1−lna2 . .9 分
(3)若 xfx+gx+sinx=xex+csx−ax−2≥0 在 −π2,+∞ 上恒成立.
记 hx=ex+csx−ax−2,x≥−π2 . 则 h0=0 ,原不等式等价于 xhx≥0 在 −π2,+∞ 上恒成立.
h′x=ex−sinx−a=qx,q′x=ex−csx . 当 x>0 时 q′x>0,qx 单调递增,即 h′x 单调递增, ∴h′x≥h′0=1−a ,
(i)当 1−a≥0 即 a≤1 时, h′x≥0,hx 在 0,+∞ 上单调递增, hx>h0=0 ,不等式恒成立;
(ii) 当 1−a1 时,存在 x0∈0,+∞ 使得 h′x=0 ,即存在 x0∈0,+∞ 使得 hx 在 0,x0 上单调递减,在 x0,+∞ 上单调递增,其他科目答案已提前发布公众号【山海联考帮】即在 0,x0 上 hx0 ,即 hx 在 −π2,0 上单调递增,而 h0=0,∴hx0 .