湘教版（2024）八年级下册（2024）3.5 一次函数与二元一次方程的关系教学设计

这是一份湘教版（2024）八年级下册（2024）3.5 一次函数与二元一次方程的关系教学设计，共5页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解一次函数与二元一次方程的关系，会用一次函数的图象解决一次方程的求解问题，会利用函数图象解决简单的实际问题．
2.经历从“数”与“形”两个角度解决问题的过程，体会数形结合思想．
3.通过对数形巧妙关系的探究与认识，提高思维水平，激发学习兴趣．
重点：理解一次函数与二元一次方程之间的联系．
难点：根据一次函数的图象求二元一次方程的解．
一、情境导入
已知二元一次方程3x－y＋6=0.
（1）写出方程的几组解：
x=－2，y=0， x=－1，y=3， x=0，y=6， x=1，y=9.（答案不唯一）
（2）以这几组解为坐标的点是否刚好在一条直线上，能否求出这条直线的解析式？
二、合作探究
探究点一：一次函数与一次方程
【类型一】 一次函数与二元一次方程
在平面直角坐标系中，二元一次方程2x－y=2表示的直线与经过M（m，4）和N（－3，n）两点的直线重合，求m，n的值．
解析：直线经过这两个点，则把这两个点代入方程中，即可求得参数的值．
解：将点M（m，4）代入二元一次方程中，得2m－4=2，解得m=3.将点N（－3，n）代入二元一次方程中，得2×（－3）－n=2，解得n=－8.
方法总结：一次函数y=kx＋b图象上任一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b=0的解；以二元一次方程kx－y＋b=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=kx＋b的图象．
【类型二】 一次函数与一元一次方程
一次函数y=kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b=0的解为（ ）
A．x=－1 B．x=2
C．x=0 D．x=3
解析：∵函数y=kx＋b的图象经过点（2，3），（0，1），∴b=1，2k＋b=3，解得b=1，k=1.∴一次函数的解析式为y=x＋1.由x＋1=0，得x=－1.故选A．
方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值：从图象上看，相当于已知直线y=kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
探究点二：一次函数与坐标轴的交点
求二元一次方程3x＋y－6=0在平面直角坐标系中表示的直线与坐标轴围成的图形的面积．
解析：计算直线与x轴、y轴的交点，画出草图，计算面积．
解：令x=0，解得y=6.∴直线与y轴的交点为（0，6）．令y=0，解得x=2.∴直线与x轴的交点为（2，0）．∴直线与坐标轴围成的图形的面积为12×6×2=6.
方法总结：关于x，y的二元一次方程kx － y ＋ b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标为（－bk，0）．
探究点三：一次函数与二元一次方程组
直角坐标系中有两条直线：y=35x＋95，y=－32x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）用图象法解方程组5y－3x=9，3x＋2y=12；
（3）求△PAB的面积．
解析：（1）分别令y=0，求出x的值即可得到点A，B的坐标；（2）建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；（3）求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：（1）令y=0，则35x＋95=0，解得x=－3，
所以点A的坐标为（－3，0）．
令－32x＋6=0，解得x=4，
所以点B的坐标为（4，0）．
（2）如图所示，方程组的解是x=2，y=3.
（3）由（1）得AB=4－（－3）=4＋3=7，所以△PAB的面积为12×7×3=212．
方法总结：本题考查了二元一次方程（组）与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．
三、板书设计
1.一次函数与一元一次方程
2.一次函数与二元一次方程（组）
3.一次函数与坐标轴的交点
通过深入探究数与形的内在联系，进一步体会数形结合思想，提高学生的综合思维能力．让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x轴交点的横坐标就是其对应的一次方程的解．