数学湘教版（2024）第4章 数据分析4.2 方差教学设计

这是一份数学湘教版（2024）第4章 数据分析4.2 方差教学设计，共6页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.通过解决实际问题，掌握离差平方和与方差的定义和计算公式，培养抽象能力、发展创新意识，感受用数学眼光观察现实世界的优越性．
2.会用离差平方和与方差公式进行计算，会比较数据的波动大小，提高运算能力，积累统计经验．
3.在用离差平方和与方差公式解决实际问题时，发展数据意识和数据观念，养成讲道理、有条理的理性思维．
重点：掌握离差平方和与方差的定义和计算公式．
难点：会比较数据的波动大小，会运用方差做决策．
一、情境导入
甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：
甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180.
为了达到最佳效果，希望选取一支身高比较整齐的仪仗队参加某项庆祝活动，经计算，两支仪仗队队员的平均身高为178厘米，那么选取哪支仪仗队呢？
二、合作探究
探究点一：离差平方和与方差
【类型一】 求一组数据的离差平方和与方差
已知一组数据：1，3，5，5，6，求这组数据的离差平方和与方差．
解析：先计算出这组数据的平均数，再利用离差平方和与方差计算公式进行计算即可．
解：x=15（1＋3＋5＋5＋6）=15×20=4，离差平方和S2=（1－4）2＋（3－4）2＋（5－4）2×2＋（6－4）2=9＋1＋2＋4=16.方差s2=15×16=3.2.
方法总结：计算一组已知数据的离差平方和与方差，应先求出这组数据的平均数，再利用离差平方和与方差公式进行计算．在计算方差时，要先计算平均数，因此，记忆方差的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均．这12个字是对方差计算公式的最好注释．
【类型二】 求一组相关数据的方差
若一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是 ，2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差是 ．
解析：设x1，x2，…，xn的平均数为x，易得x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的平均数为x＋5，则其方差为1n［（x1＋5－x－5）2＋（x2＋5－x－5）2＋…＋（xn＋5－x－5）2］=1n［（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2］=3.同理，2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数为2x＋3，方差为1n［（2x1＋3－2x－3）2＋（2x2＋3－2x－3）2＋…＋（2xn＋3－2x－3）2］=1n［4（x1－x）2＋4（x2－x）2＋…＋4（xn－x）2］=4×3=12.
方法总结：已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为p，方差为q，则另一组数据①x1＋a，x2＋a，x3＋a，…，xn＋a的平均数为p＋a，方差为q；②ax1，ax2，ax3，…，axn的平均数为ap，方差为a2q．
探究点二：方差的意义
甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是s甲2=0.65，s乙2=0.55，s丙2=0.50，s丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：甲、乙、丙、丁四人中丁的方差最小，所以射箭成绩最稳定的是丁．故选D．
方法总结：本题考查了方差的意义，在平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定．
探究点三：利用方差进行决策
【类型一】 比较品种的整齐
为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示（单位：厘米）：
通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．
解析：求出甲、乙的平均数、方差，根据平均数、方差的意义，进行比较可得出结论．
解：甲种水稻出苗更整齐，理由如下：x甲=（12＋13＋15＋15＋10）÷5=13，x乙=（13＋14＋16＋12＋10）÷5=13.s甲2=15［（12－13）2＋（13－13）2＋（15－13）2＋（15－13）2＋（10－13）2］=3.6，s乙2=15［（13－13）2＋（14－13）2＋（16－13）2＋（12－13）2＋（10－13）2］=4.∵s甲2＜s乙2，∴甲种水稻出苗更整齐．
方法总结：要比较两个品种谁更整齐，首先应比较它们的平均水平，如果平均水平相同，再看方差，方差越小越整齐．
【类型二】 质量稳定评估
为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒），你认为甲、乙两种手表中哪种手表日走时稳定性好？说说你的理由．
解析：根据题意，要比较两种手表中哪种手表日走时稳定性好，需要计算两种手表日走时误差的方差，所以先需求出甲、乙两种手表日走时误差的平均数，按平均数的求法求解即可，然后计算方差．
解：甲种手表日走时稳定性好，理由如下：x甲=110（|－3|＋4＋2＋|－1|＋|－2|＋|－2|＋1＋|－2|＋2＋1）=2，x乙=110（|－4|＋1＋|－2|＋1＋4＋1＋|－2|＋|－1|＋|－2|＋|－2|）=2.s甲2=110［（|－3|－2）2＋（4－2）2＋（2－2）2＋（|－1|－2）2＋（|－2|－2）2＋（|－2|－2）2＋（1－2）2＋（|－2|－2）2＋（2－2）2＋（1－2）2］=0.8，s乙2=110［（|－4|－2）2＋（1－2）2＋（|－2|－2）2＋（1－2）2＋（4－2）2＋（1－2）2＋（|－2|－2）2＋（|－1|－2）2＋（|－2|－2）2＋（|－2|－2）2］=1.2.∵s甲2＜s乙2，∴甲种手表日走时稳定性好．
方法总结：要比较甲、乙两种手表中哪种手表日走时稳定性好，需比较它们的方差，方差越小越稳定．
【类型三】 确定比赛人选
为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击5次，命中的环数如下（单位：环）：
为确保比赛时的水平能比较稳定地发挥，应选谁参加比赛？
解析：要选取能稳定发挥的同学参加比赛，应选取方差比较小的同学，所以应先计算方差．
解：应选择乙同学参加比赛，理由如下：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为x甲=15（7×2＋8×2＋10×1）=8，x乙=15（7×1＋8×3＋9×1）=8.s甲2=15［2×（7－8）2＋2×（8－8）2＋（10－8）2］=1.2，s乙2=15［（7－8）2＋3×（8－8）2＋（9－8）2］=0.4.∵s甲2＞s乙2，∴乙同学的射击成绩比较稳定，应选乙参加比赛．
方法总结：确定比赛人选时，要看制定的目标，如果为了确保比赛时的水平能稳定地发挥，则应比较方差的大小；如果为了冲击水平较高的金牌，一般可选取训练时单次水平最高的人参加．
三、板书设计
1.离差平方和与方差的概念．
2.离差平方和与方差的计算．
3.离差平方和与方差的意义．
在教学过程中，通过情境引入，引导学生观察、思考，经历数学概念（离差平方和与方差）的生成过程．通过实例说明如何求一组数据的离差平方和与方差．通过实际问题利用方差进行决策，让学生进一步理解方差的实际意义，这样突出重点，突破难点．编号
1
2
3
4
5
甲
12
13
15
15
10
乙
13
14
16
12
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲种手表
－3
4
2
－1
－2
－2
1
－2
2
1
乙种手表
－4
1
－2
1
4
1
－2
－1
－2
－2
命中环数
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
2
2
0
1
乙命中相应环数的次数
1
3
1
0