2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列等式中，，两个量成反比例关系的是
A．B．C．D．
2．（2分）如图，从点观测点的俯角是
A．B．C．D．
3．（2分）抛物线的对称轴是，则
A．2B．C．4D．
4．（2分）如图，在△中，若，，，则
A．B．C．D．
5．（2分）夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是
A．开口方向B．开口大小C．对称轴D．顶点坐标
6．（2分）如图，在梯形中，，点、分别在、上，且，若，，则
A．3B．5C．6D．9
7．（2分）若，、，都在函数的图象上，且，则
A．B．C．D．
8．（2分）如图，已知，添加下列条件，仍不能使△△的是
A．B．C．D．
9．（2分）若关于的一元二次方程没有实数根，则的最小整数值是
A．2B．3C．4D．5
10．（2分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长是
A．12B．18C．24D．36
11．（2分）一个矩形周长为，不能围成的面积是
A．B．C．D．
12．（2分）如图，是等边的内切圆，又是等边的外接圆，则等于
A．B．C．D．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13～14题各3分，15～16题每空2分.）
13．（3分） ．
14．（3分）如图，是的直径，点在圆上，则 ．
15．（4分）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点，的连线与钉点，的连线交于点，则：
（1） ；
（2） ．
16．（4分）如图，点在反比例函数的图象上，点，以点为位似中心，在的右侧方将线段放大为原来的倍得到线段．
（1） ；
（2）若线段与总有交点，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值；
（2）若，解此方程．
18．（5分）如图，在△中，，，求的长．
19．（7分）如图，在△中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作．求证：与相切．
20．（7分）如图，矩形为台球桌面，，，球目前在点位置处，．若瞄准边上的点将球打过去，经过反弹后，球刚好弹进底袋处．
（1）求证：△△；
（2）求的长．
21．（7分）如图，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与，交于点和点，且点为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）已知点在该反比例函数图象上，且在矩形的内部，直接写出点的横坐标的取值范围．
22．（8分）如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆垂直于地面，通过调节点的高度控制遮阳伞的开合，已知，于点．（参考数据：，，
（1）若，求遮阳宽度；
（2）若将由减到，求点下降的高度．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的图象与轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若经过点，求的解析式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围；
（3）当时，若的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．
24．（10分）如图，在中，，点是的中点，过点在上方作，且与相切于点，其圆心为，连接，．发现随着的变化，所在圆的大小及其圆心的位置也随之变化，设．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，点在下方，．求的长；
（3）若点在内部（角的边为射线，不含边界），直接写出的取值范围．
2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列等式中，，两个量成反比例关系的是
A．B．C．D．
【解答】解：根据两个量的乘积为定值时，两个量成反比例关系，进行判断如下：
、，，两个量和为定值，不是反比例关系，不符合题意；
、，，两个量积为定值，是反比例关系，符合题意；
、，，两个量积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
、，，两个量积不是定值，不是反比例关系，不符合题意．
故选：．
2．（2分）如图，从点观测点的俯角是
A．B．C．D．
【解答】解：根据“俯角是向下看的视线与水平线的夹角”可知：从点观测点的俯角是，
故选：．
3．（2分）抛物线的对称轴是，则
A．2B．C．4D．
【解答】解：抛物线的对称轴是直线，
，即，
解得：，
故选：．
4．（2分）如图，在△中，若，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：
，
故选：．
5．（2分）夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是
A．开口方向B．开口大小C．对称轴D．顶点坐标
【解答】解：和原图象相比，发生改变的是开口大小，
故选：．
6．（2分）如图，在梯形中，，点、分别在、上，且，若，，则
A．3B．5C．6D．9
【解答】解：在梯形中，，点、分别在、上，且，
，
，
，，
，
，
故选：．
7．（2分）若，、，都在函数的图象上，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：在函数中，，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
，、，都在函数的图象上，且，
点，在第三象限，点，在第一象限，
；
故选：．
8．（2分）如图，已知，添加下列条件，仍不能使△△的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定不符合题意；
、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定不符合题意；
、若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定不符合题意；
、若，无夹角相等，故不能判定△△，符合题意；
故选：．
9．（2分）若关于的一元二次方程没有实数根，则的最小整数值是
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由题意可知：△，
解得．
最小整数．
故选：．
10．（2分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长是
A．12B．18C．24D．36
【解答】解：设半圆形铁皮的半径为，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
11．（2分）一个矩形周长为，不能围成的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：设矩形的宽为 ，设面积为 ，
矩形周长为，
矩形的长为，
根据题意，得
，
，
抛物线开口方向向下，
当时，有最大值为256，
即矩形的面积最大值为，
观察四个选项，只有选项符合题意，
故选：．
12．（2分）如图，是等边的内切圆，又是等边的外接圆，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：设与边相切于点，连接，与交于点，如图所示
根据切线的性质定理可知，
由垂径定理可知
而，
又与都是正三角形，为三角形的内心
即
于是可知
故选：．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13～14题各3分，15～16题每空2分.）
13．（3分） 1 ．
【解答】解：，
故答案为：1．
14．（3分）如图，是的直径，点在圆上，则 ．
【解答】解：是的直径，点在圆上，
，
故答案为：．
15．（4分）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点，的连线与钉点，的连线交于点，则：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）由条件可知，，
△△，
，
，
故答案为：；
（2）由勾股定理得，，
△△，
，
，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，点在反比例函数的图象上，点，以点为位似中心，在的右侧方将线段放大为原来的倍得到线段．
（1） 12 ；
（2）若线段与总有交点，则的最大值为 ．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：12；
（2）根据题意得的坐标为，
由线段与总有交点知，
解得或（舍，
的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值；
（2）若，解此方程．
【解答】解：（1）由条件可知，
解得：；
（2）若，则，
因式分解可得，
解得：，．
18．（5分）如图，在△中，，，求的长．
【解答】解：由题意可得：，
．
19．（7分）如图，在△中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【解答】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：过点作于点，
平分，，
，
为的半径，
与相切．
20．（7分）如图，矩形为台球桌面，，，球目前在点位置处，．若瞄准边上的点将球打过去，经过反弹后，球刚好弹进底袋处．
（1）求证：△△；
（2）求的长．
【解答】（1）证明：由条件可知，，，
由题得，，
，
△△；
（2）解：△△，
，即，
解得：，经检验符合题意；
的长为．
21．（7分）如图，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与，交于点和点，且点为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）已知点在该反比例函数图象上，且在矩形的内部，直接写出点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）与交于点，
，
，
，
，
，
又点为的中点，
，
四边形是矩形，
，，
，
设，
又点在的图象上，
，
，
点的坐标；
（2），，且点在该反比例函数图象上，且在矩形的内部，
．
22．（8分）如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆垂直于地面，通过调节点的高度控制遮阳伞的开合，已知，于点．（参考数据：，，
（1）若，求遮阳宽度；
（2）若将由减到，求点下降的高度．
【解答】解：（1），
，
，
，
遮阳宽度为．
（2），
当时，，
当时，，
，
点下降的高度为．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的图象与轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若经过点，求的解析式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围；
（3）当时，若的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．
【解答】解：（1）令，则，
点的坐标：；
（2）将点代入得，
，
解得：，
，
，
当时，随的增大而增大，
的取值范围为；
（3）抛物线，
抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
当，那么对称轴在轴右侧，最低点就是，
，
解得：；
当，对称轴在轴左侧，顶点是最低点，
，
解得：，（舍，
综上所述，的值为或．
24．（10分）如图，在中，，点是的中点，过点在上方作，且与相切于点，其圆心为，连接，．发现随着的变化，所在圆的大小及其圆心的位置也随之变化，设．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，点在下方，．求的长；
（3）若点在内部（角的边为射线，不含边界），直接写出的取值范围．
【解答】解： 四边形是平行四边形，，
，
与相切，
，
，
，
；
（2）与相切于点，
，
．
，
．
，点为的中点，
，
，，
，
的长为．
（3）尝试：，，
．
当点在上时，，即．
当点在射线上时，如图，
，即△是直角三角形．
为的中点，
．
，
，
，
，即，
的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
A
B
C
A
D
B
A
D
题号
12
答案
C