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河北省唐山市路北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份河北省唐山市路北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省唐山市路北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．大家电视，正在播放新闻
B．明天会下雨
C．实数a＜0，则2a＜0
D．掷一枚硬币，正面朝上
5．已知⊙O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
6．圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．180° B．160° C．120° D．90°
7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
8．如图，双曲线y＝的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
12．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
13．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1＝k2+2，则△OAB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0.5
二、填空题（本大题共4个小题；15-17小题3分，18题4分，共13分。）
15．（3分）已知A（﹣1，2）是反比例函数图象上的一个点，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 ．
17．（3分）已知二次函数y＝x2+1，当x＜0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）•
18．（4分）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为 ；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为 ．
三、解答题（本题共8道题，满分59分）
19．（5分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
20．（6分）如图所示，扇形OAB的面积为4πcm2，∠AOB＝90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．
21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
22．（8分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点；
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
23．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
24．（8分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，且B，C在x轴的负半轴上，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值；
（2）若AF﹣AE＝2，且点E的横坐标为a．
①用含a的代数式表示出点F的坐标；
②求出反比例函数的表达式．
25．（8分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．
26．（10分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝ 时，△MBP∽△DCP；
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0，可得12+k﹣2＝0，即k＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
3．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴其面积之比为1：4．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．大家电视，正在播放新闻
B．明天会下雨
C．实数a＜0，则2a＜0
D．掷一枚硬币，正面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、是随机事件；
B、是随机事件；
C、是必然事件；
D、是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．已知⊙O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙0的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，得出d＞r，进而l与⊙0的位置关系．
【解答】解：∵⊙0的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，
∴d＞r
∴l与⊙0的位置关系相离．
故选：A．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
6．圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．180° B．160° C．120° D．90°
【分析】根据弧长公式、圆的周长公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n，
由题意得：＝80π，
解得：n＝160，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】解：A、x＝﹣1，y＝＝﹣1，∴图象经过点（﹣1，﹣1），正确；
B、∵k＝1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；
C、∵k＝1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；
D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
8．如图，双曲线y＝的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】此题可直接根据反比例函数的图象性质作答．
【解答】解：∵在y＝中，k＝6＞0，
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当x＝2时，y＝3，排除③；
所以应该是④．
故选：D．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE＝∠BAD＝105°．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
而∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
而∠BAD＝105°，
∴∠DCE＝105°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化﹣平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
12．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝，BC＝2，AB＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1＝k2+2，则△OAB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0.5
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1＝k2+2，得k1﹣k2＝2，即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），
∵k1＝k2+2，
∴k1﹣k2＝2，
∴△AOB的面积为 ＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练利用反比例函数k的几何意义计算三角形面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题；15-17小题3分，18题4分，共13分。）
15．（3分）已知A（﹣1，2）是反比例函数图象上的一个点，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】将点A坐标代入解析式可求k的值．
【解答】解：∵A（﹣1，2）是反比例函数图象上的一个点，
∴k＝﹣1×2＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足函数图象解析式是本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 6 ．
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
17．（3分）已知二次函数y＝x2+1，当x＜0时，y随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）•
【分析】根据二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：二次函数y＝x2+1的图象开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上，此题难度不大．
18．（4分）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为 2 ；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为 ﹣1 ．
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH﹣OH，即OF≥﹣1，由此即可解决问题．
【解答】解：①如图，连接OA．
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝60°，
∴∠HCO＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≥﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共8道题，满分59分）
19．（5分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
20．（6分）如图所示，扇形OAB的面积为4πcm2，∠AOB＝90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．
【分析】设扇形的半径为Rcm，利用扇形的面积公式得到＝4π，解得R＝4，再设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，利用扇形面积公式得到×2πr×4＝4π，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
根据题意得＝4π，
解得R＝4（负值舍去），
设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
则×2πr×4＝4π，
解得r＝1，
所以这个圆锥的底面圆的半径为1cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE＝，再根据△ADF∽△DEC，得出＝，即可求出AF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（8分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点；
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数解析式，根据反比例函数解析式，求出点B的横坐标n，再根据点A、B求出一次函数解析式；
（2）通过观察图象，直接得到结果．
（3）设一次函数与y轴交点是C，可把△AOB分成两个三角形△AOC、△BOC，分别求出它们的面积．
【解答】解：（1）由于点A在反比例函数y＝的图象上，
所以2＝，所以m＝﹣8，
即反比例函数解析式为y＝；
∵点B在反比例函数图象上，所以n×（﹣4）＝﹣8，
∴n＝2．
因为点A、B在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴
∴k＝﹣1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2．
（2）由图象知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．
（3）设一次函数图象与y轴交于点C，点A、B的横坐标分别用xA，xB表示．
则C（0，﹣2），所以OC＝2，
∵S△AOB＝S△OBC+S△AOC
＝OC×|xB|+OC×|xA|
＝×2×2+×2×4
＝6．
答：△AOB的面积是6．
【点评】本题考查了待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，直线与轴的交点及三角形的面积．解决三角形的面积可采用分割的办法．若一次函数的解析式与x轴的交点为D，亦可把△AOB分成△AOD、△DOB求面积．
23．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
24．（8分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，且B，C在x轴的负半轴上，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值；
（2）若AF﹣AE＝2，且点E的横坐标为a．
①用含a的代数式表示出点F的坐标；
②求出反比例函数的表达式．
【分析】（1）依据矩形的性质即可得出E（﹣3，4），再根据反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，即可得到m＝﹣3×4＝﹣12；
（2）①依据勾股定理可得AE＝＝5，进而得出点F的纵坐标为1，于是得到结论；
②根据反比例函数经过点E，F，可得a＝﹣1，进而得到E（﹣1，4），代入反比例函数可得反比例函数的表达式为y＝﹣．
【解答】解：（1）∵AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，
∴BC＝3，CD＝8，
又∵E是DC的中点，点B坐标为（﹣6，0），
∴CE＝4，CO＝6﹣3＝3，
∴E（﹣3，4），
又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，
∴m＝﹣3×4＝﹣12；
（2）①如图，连接AE，
∵点E的横坐标为a，BC＝3，
∴点F的横坐标为a﹣3，
又∵Rt△ADE中，AE＝＝5，
∴AF＝AE+2＝7，BF＝8﹣7＝1，
∴点F的纵坐标为1，
∴F（a﹣3，1）；
②∵反比例函数经过点E（a，4），F（a﹣3，1），
∴4a＝1（a﹣3），
解得a＝﹣1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
25．（8分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y＝x+1，则易得B（﹣2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，x2﹣x﹣3），Q（x，x+1），则PQ＝x+1﹣（x2﹣x﹣3），把解析式配成顶点式得到PQ＝﹣（x﹣1）2+，然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
【解答】解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
解得：k＝，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣2，
则B（﹣2，0），
把B（﹣2，0），A（4，3）代入y＝x2+bx+c得：
2﹣，
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）设P（x，x2﹣x﹣3），则Q（x，x+1），
∴PQ＝x+1﹣（x2﹣x﹣3）
＝﹣x2+x+4
＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，PQ最大，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式．
26．（10分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝ 时，△MBP∽△DCP；
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．
【分析】（1）设BP＝a，则PC＝8﹣a，由△MBP∽△DCP知＝，代入计算可得；
（2）分别求出⊙P与边CD相切时和⊙P与边AD相切时BP的长即可得；
（3）①当PM＝5时，⊙P经过点M，点C；②当⊙P经过点M、点D时，由PC2+DC2＝BM2+PB2，可求得BP＝7，继而知．据此可得答案．
【解答】解：（1）设BP＝a，则PC＝8﹣a，
∵AB＝8，M是AB中点，
∴AM＝BM＝4，
∵△MBP∽△DCP，
∴＝，即＝，
解得a＝，
故答案为：．
（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，
设PC＝PM＝x，
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2，当⊙P与边AD相切时，
设切点为K，连接PK，
则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，．
综上所述，BP的长为3或．
（3）如图1，当PM＝5时，⊙P经过点M，点C；
如图3，当⊙P经过点M、点D时，
∵PC2+DC2＝BM2+PB2，
∴42+BP2＝（8﹣BP）2+82，
∴BP＝7，
∴．
综上，．
【点评】本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
河北省唐山市路北区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．大家电视，正在播放新闻
B．明天会下雨
C．实数a＜0，则2a＜0
D．掷一枚硬币，正面朝上
5．已知⊙O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
6．圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．180° B．160° C．120° D．90°
7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
8．如图，双曲线y＝的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
12．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
13．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1＝k2+2，则△OAB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0.5
二、填空题（本大题共4个小题；15-17小题3分，18题4分，共13分。）
15．（3分）已知A（﹣1，2）是反比例函数图象上的一个点，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 ．
17．（3分）已知二次函数y＝x2+1，当x＜0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）•
18．（4分）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为 ；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为 ．
三、解答题（本题共8道题，满分59分）
19．（5分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
20．（6分）如图所示，扇形OAB的面积为4πcm2，∠AOB＝90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．
21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
22．（8分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点；
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
23．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
24．（8分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，且B，C在x轴的负半轴上，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值；
（2）若AF﹣AE＝2，且点E的横坐标为a．
①用含a的代数式表示出点F的坐标；
②求出反比例函数的表达式．
25．（8分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．
26．（10分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝ 时，△MBP∽△DCP；
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0，可得12+k﹣2＝0，即k＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
3．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴其面积之比为1：4．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．大家电视，正在播放新闻
B．明天会下雨
C．实数a＜0，则2a＜0
D．掷一枚硬币，正面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、是随机事件；
B、是随机事件；
C、是必然事件；
D、是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．已知⊙O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙0的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，得出d＞r，进而l与⊙0的位置关系．
【解答】解：∵⊙0的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，
∴d＞r
∴l与⊙0的位置关系相离．
故选：A．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
6．圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．180° B．160° C．120° D．90°
【分析】根据弧长公式、圆的周长公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n，
由题意得：＝80π，
解得：n＝160，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】解：A、x＝﹣1，y＝＝﹣1，∴图象经过点（﹣1，﹣1），正确；
B、∵k＝1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；
C、∵k＝1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；
D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
8．如图，双曲线y＝的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】此题可直接根据反比例函数的图象性质作答．
【解答】解：∵在y＝中，k＝6＞0，
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当x＝2时，y＝3，排除③；
所以应该是④．
故选：D．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE＝∠BAD＝105°．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
而∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
而∠BAD＝105°，
∴∠DCE＝105°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
11．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化﹣平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
12．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝，BC＝2，AB＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1＝k2+2，则△OAB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0.5
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1＝k2+2，得k1﹣k2＝2，即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），
∵k1＝k2+2，
∴k1﹣k2＝2，
∴△AOB的面积为 ＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练利用反比例函数k的几何意义计算三角形面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题；15-17小题3分，18题4分，共13分。）
15．（3分）已知A（﹣1，2）是反比例函数图象上的一个点，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】将点A坐标代入解析式可求k的值．
【解答】解：∵A（﹣1，2）是反比例函数图象上的一个点，
∴k＝﹣1×2＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足函数图象解析式是本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为 6 ．
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
17．（3分）已知二次函数y＝x2+1，当x＜0时，y随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）•
【分析】根据二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：二次函数y＝x2+1的图象开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上，此题难度不大．
18．（4分）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为 2 ；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为 ﹣1 ．
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH﹣OH，即OF≥﹣1，由此即可解决问题．
【解答】解：①如图，连接OA．
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝60°，
∴∠HCO＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≥﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共8道题，满分59分）
19．（5分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
20．（6分）如图所示，扇形OAB的面积为4πcm2，∠AOB＝90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．
【分析】设扇形的半径为Rcm，利用扇形的面积公式得到＝4π，解得R＝4，再设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，利用扇形面积公式得到×2πr×4＝4π，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
根据题意得＝4π，
解得R＝4（负值舍去），
设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
则×2πr×4＝4π，
解得r＝1，
所以这个圆锥的底面圆的半径为1cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE＝，再根据△ADF∽△DEC，得出＝，即可求出AF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（8分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点；
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数解析式，根据反比例函数解析式，求出点B的横坐标n，再根据点A、B求出一次函数解析式；
（2）通过观察图象，直接得到结果．
（3）设一次函数与y轴交点是C，可把△AOB分成两个三角形△AOC、△BOC，分别求出它们的面积．
【解答】解：（1）由于点A在反比例函数y＝的图象上，
所以2＝，所以m＝﹣8，
即反比例函数解析式为y＝；
∵点B在反比例函数图象上，所以n×（﹣4）＝﹣8，
∴n＝2．
因为点A、B在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴
∴k＝﹣1，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2．
（2）由图象知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．
（3）设一次函数图象与y轴交于点C，点A、B的横坐标分别用xA，xB表示．
则C（0，﹣2），所以OC＝2，
∵S△AOB＝S△OBC+S△AOC
＝OC×|xB|+OC×|xA|
＝×2×2+×2×4
＝6．
答：△AOB的面积是6．
【点评】本题考查了待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，直线与轴的交点及三角形的面积．解决三角形的面积可采用分割的办法．若一次函数的解析式与x轴的交点为D，亦可把△AOB分成△AOD、△DOB求面积．
23．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
24．（8分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，且B，C在x轴的负半轴上，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值；
（2）若AF﹣AE＝2，且点E的横坐标为a．
①用含a的代数式表示出点F的坐标；
②求出反比例函数的表达式．
【分析】（1）依据矩形的性质即可得出E（﹣3，4），再根据反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，即可得到m＝﹣3×4＝﹣12；
（2）①依据勾股定理可得AE＝＝5，进而得出点F的纵坐标为1，于是得到结论；
②根据反比例函数经过点E，F，可得a＝﹣1，进而得到E（﹣1，4），代入反比例函数可得反比例函数的表达式为y＝﹣．
【解答】解：（1）∵AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，
∴BC＝3，CD＝8，
又∵E是DC的中点，点B坐标为（﹣6，0），
∴CE＝4，CO＝6﹣3＝3，
∴E（﹣3，4），
又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，
∴m＝﹣3×4＝﹣12；
（2）①如图，连接AE，
∵点E的横坐标为a，BC＝3，
∴点F的横坐标为a﹣3，
又∵Rt△ADE中，AE＝＝5，
∴AF＝AE+2＝7，BF＝8﹣7＝1，
∴点F的纵坐标为1，
∴F（a﹣3，1）；
②∵反比例函数经过点E（a，4），F（a﹣3，1），
∴4a＝1（a﹣3），
解得a＝﹣1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
25．（8分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y＝x+1，则易得B（﹣2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，x2﹣x﹣3），Q（x，x+1），则PQ＝x+1﹣（x2﹣x﹣3），把解析式配成顶点式得到PQ＝﹣（x﹣1）2+，然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
【解答】解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
解得：k＝，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣2，
则B（﹣2，0），
把B（﹣2，0），A（4，3）代入y＝x2+bx+c得：
2﹣，
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）设P（x，x2﹣x﹣3），则Q（x，x+1），
∴PQ＝x+1﹣（x2﹣x﹣3）
＝﹣x2+x+4
＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，PQ最大，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式．
26．（10分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝ 时，△MBP∽△DCP；
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．
【分析】（1）设BP＝a，则PC＝8﹣a，由△MBP∽△DCP知＝，代入计算可得；
（2）分别求出⊙P与边CD相切时和⊙P与边AD相切时BP的长即可得；
（3）①当PM＝5时，⊙P经过点M，点C；②当⊙P经过点M、点D时，由PC2+DC2＝BM2+PB2，可求得BP＝7，继而知．据此可得答案．
【解答】解：（1）设BP＝a，则PC＝8﹣a，
∵AB＝8，M是AB中点，
∴AM＝BM＝4，
∵△MBP∽△DCP，
∴＝，即＝，
解得a＝，
故答案为：．
（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，
设PC＝PM＝x，
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2，当⊙P与边AD相切时，
设切点为K，连接PK，
则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，．
综上所述，BP的长为3或．
（3）如图1，当PM＝5时，⊙P经过点M，点C；
如图3，当⊙P经过点M、点D时，
∵PC2+DC2＝BM2+PB2，
∴42+BP2＝（8﹣BP）2+82，
∴BP＝7，
∴．
综上，．
【点评】本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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