2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知⊙O的半径为3，周长C＝（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
2．（2分）关于x的一元二次方程5x2+mx+7＝0，二次项系数与一次项系数的比为1：2，则m＝（ ）
A．10B．14C．2.5D．3.5
3．（2分）抛物线y＝﹣2x2+4x﹣5的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．42C．5D．52
5．（2分）将抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+3平移3个单位长度后得到y＝﹣3（x+1）2+3，则方向为（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
6．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16B．﹣4C．4D．16
7．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠OBC＝23°，则∠A＝（ ）
A．67°B．68°C．62°D．72°
8．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（ ）
A．﹣2024B．2024C．﹣1D．1
9．（2分）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的顶点坐标在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（2分）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ）
A．26B．28C．﹣26或26D．﹣28或28
11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，OC∥BD，∠A＝20°，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列计算结果错误的是（ ）
A．∠ABD＝70°B．∠AFC＝90°C．∠ABC＝35°D．∠BED＝65°
12．（2分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题有4个小题，共14分．13～14题各3分，15～16题每空2分．）
13．（3分）抛物线y＝x2的图象有最 点（填“高”或“低”）．
14．（3分）已知一元二次方程（2﹣x）（3+x）＝0，则方程的根为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线y＝x2﹣2x与x轴的交点为A，B．
（1）线段AB上的整点个数为 ；
（2）抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝6，∠ABC＝30°，点P为BC弦上一点，点Q在⊙O上，OP⊥PQ．
（1）若PQ∥AB，则OP＝ ；
（2）点P在BC上移动时，PQ长的最大值为 ．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）用配方法解方程：x2﹣6x﹣16＝0；
（2）用公式法解方程：2x2+x＝3．
18．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若x1为方程的一个根，且满足﹣3＜x1＜0，求整数k的值．
20．如图，二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点A（0，3）．
（1）求a的值，并直接写出对称轴；
（2）在图中画出函数﹣1≤x≤2该部分的图象（不必列表），并直接写出对应y的取值范围．
21．是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形．若存在，求出直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
22．如图，一名运动员在距离篮圈中心的为5.5m（水平距离）远处跳起投篮．已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为2.2m，当球水平运行3m时到达离地面的最大高度4m．若篮圈中心距地面3.05m．
（1）以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为（0，4），在图中补画y轴，求抛物线的解析式；
（2）通过计算说明篮球能否投中篮圈中心．
23．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB＝16m，拱顶到水面的距离CD＝4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴；
（2）若a＝﹣1，通过计算判断l的顶点与直线BC的位置关系；
（3）若l与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12．解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6s，
故①正确；
②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，
故②正确；
③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m），
t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m），
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，
故③错误．
故选：C．
16．解：（1）由题意可得：OP⊥AB．
在Rt△OPB中，∠BOP=90°，∠ABC=30°，OB=12AB=3，
∴OP=OB⋅tan∠ABC=3tan30°=3．
故答案为：3；
（2）连接OQ，
∵OP⊥PQ，
∴∠OPQ＝90°，
∵∠OPQ=90°，OQ=12AB=3，
∴PQ2＝OQ2﹣OP2＝9﹣OP2，
∴当OP最小时，PQ最大，即OP⊥BC时，PQ最大，．
当OP⊥BC时，OP=OB⋅sin∠ABC=3sin30°=32．
∴PQ长的最大值为9−(32)2=332．
故答案为：332．
解答题参考答案
17．解：（1）原方程移项得：x2﹣6x＝16，
配方得：x2﹣6x+9＝16+9，
即（x﹣3）2＝25，
开方得：x﹣3＝±5，
∴x1＝8，x2＝﹣2．
（2）原方程可化为：2x2+x﹣3＝0，
∴Δ＝12﹣4×2×（﹣3）＝25，
∴x=−1±52×2，
∴x1＝1，x2=−32．
18．证明：∵AD＝BC，
∴AD=BC，
∴AD+AC=BC+AC，
即CD=AB，
∴DC＝AB．
19．（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0，
∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝k，
∴Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k，
＝k2+2k+1﹣4k，
＝k2﹣2k+1，
＝（k﹣1）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+1）x+k＝0，
∴（x﹣k）（x﹣1）＝0，
∴x﹣k＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝k，x2＝1，
∵﹣3＜x1＜0，即﹣3＜k＜0，
又∵k为整数，
∴k可取﹣2，﹣1．
20．解：（1）由条件可知：3＝a×（0+1）×（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
对称轴为直线x＝1，
∴a的值为﹣1，对称轴为直线x＝1；
（2）如图1所示，
由图象可知：当x＝1，y最大值＝4；当x＝﹣1，y最小值＝0，
∴对应y的取值范围为：0≤y≤4．
21．解：根据题意，设最短边长为x，另两边长为x+1，x+2．
在直角三角形中：x2+（x+1）2＝（x+2）2，
整理得，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍），
∴x+1＝4，x+2＝5，
所以这个直角三角形得三边长为3，4，5．
答：这个直角三角形得三边长为3，4，5．
22．解：（1）如图2所示，
∵y＝ax2+4，
将点（﹣3，2.2）代入y＝ax2+4可得：9a+4＝2.2，
解得：a＝﹣0.2，
∴y＝﹣0.2x2+4；
（2）由（1）可知y＝﹣0.2x2+4，
当x＝2.5时，y＝﹣0.2×2.52+4＝2.75≠3.05，
答：篮球不能命中篮圈中心．
23．解：（1）设半径为r，连接OB，
由条件可知DB=12AB=8m，
∵CD＝4，
∴OD＝r﹣4，
在Rt△OBD中：82+（r﹣4）2＝r2，
解得：r＝10，
答：拱桥的半径为10m．
（2）过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，
由题得，OD＝10﹣4＝6m，
∴OG＝9m，
在Rt△OGF中：GF=102−92=19m，
∴EF=219＜12，
答：不能顺利通过这座拱桥．
24．解：（1）点C的坐标为（5，4）；理由如下：
将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C，
依据平移的性质得：点C的坐标为（5，4）；
在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），将点A的坐标代入得：
a﹣b﹣3a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），
∴对称轴为直线x=−−2a2a=1；
（2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
∵B（0，4），C（5，4），
∴三点共线，即l的顶点在直线BC上；
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a），
∴①如图所示，当a＜0时，当抛物线的顶点坐标在直线BC上时，此时l与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣4a＝4，
∴a＝﹣1；
当抛物线与y轴的交点在B（0，4）以上时，此时l与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜−43；
②如图所示，当a＞0时，当抛物线经过点C时，4＝25a﹣10a﹣3a，
解得a=13，
∴当l与线段BC恰有一个公共点时，a≥13，
综上所述，a的取值范围是a≥13或a＜−43或a＝﹣1．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
B
C
C
A
D
D
D
D
C
13. 低 14. x1＝2，x2＝﹣3 15. 3 4 16.332