2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知的半径为3，周长
A．B．C．D．
2．（2分）关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数的比为，则
A．10B．14C．2.5D．3.5
3．（2分）抛物线的对称轴是
A．B．C．D．
4．（2分）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为
A．4B．C．5D．
5．（2分）将抛物线平移3个单位长度后得到，则方向为
A．向上B．向下C．向左D．向右
6．（2分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A．B．C．4D．16
7．（2分）如图，点，，均在上，若，则
A．B．C．D．
8．（2分）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
A．B．2024C．D．1
9．（2分）关于的二次函数的顶点坐标在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（2分）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为
A．26B．28C．或26D．或28
11．（2分）如图，是的直径，，，分别与，相交于点，，则下列计算结果错误的是
A．B．C．D．
12．（2分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题有4个小题，共14分．13～14题各3分，15～16题每空2分．）
13．（3分）抛物线的图象有最 点（填“高”或“低” ．
14．（3分）已知一元二次方程，则方程的根为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与轴的交点为，．
（1）线段上的整点个数为 ；
（2）抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ．
16．（4分）如图，在中，直径，，点为弦上一点，点在上，．
（1）若，则 ；
（2）点在上移动时，长的最大值为 ．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
18．如图，在中，，求证：．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若为方程的一个根，且满足，求整数的值．
20．如图，二次函数的图象经过点．
（1）求的值，并直接写出对称轴；
（2）在图中画出函数该部分的图象（不必列表），并直接写出对应的取值范围．
21．是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形．若存在，求出直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
22．如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮．已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度．若篮圈中心距地面．
（1）以地面为轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画轴，求抛物线的解析式；
（2）通过计算说明篮球能否投中篮圈中心．
23．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离．
（1）求拱桥的半径；
（2）如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的对称轴；
（2）若，通过计算判断的顶点与直线的位置关系；
（3）若与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）已知的半径为3，周长
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
2．（2分）关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数的比为，则
A．10B．14C．2.5D．3.5
【解答】解：由条件可知，
，
故选：．
3．（2分）抛物线的对称轴是
A．B．C．D．
【解答】解：由抛物线对称轴公式可知：对称轴是直线，
故选：．
4．（2分）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为
A．4B．C．5D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
5．（2分）将抛物线平移3个单位长度后得到，则方向为
A．向上B．向下C．向左D．向右
【解答】解：由题意可知，，
所以图象向左平移了3个单位长度．
故选：．
6．（2分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A．B．C．4D．16
【解答】解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故选：．
7．（2分）如图，点，，均在上，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
8．（2分）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
A．B．2024C．D．1
【解答】解：由题知，
，
，
，
，
所以，，
所以．
故选：．
9．（2分）关于的二次函数的顶点坐标在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：原抛物线解析式化为，
顶点坐标为；
由条件可知在第四象限；
故选：．
10．（2分）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为
A．26B．28C．或26D．或28
【解答】解：根据题意，设这两个奇数分别为，，
由题意得：，
整理得，，
解得：，
而，
所以两个奇数和为：或28；
综上所述，只有选项正确，符合题意，
故选：．
11．（2分）如图，是的直径，，，分别与，相交于点，，则下列计算结果错误的是
A．B．C．D．
【解答】解：、是的直径，
，
，正确，不符合题意；
、，
，
，正确，不符合题意；
、，
，
，正确，不符合题意；
、，
，错误，符合题意，
故选：．
12．（2分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：①令，则，
解得，，
小球从抛出到落地需要，
故①正确；
②，
，
当时，有最大值，最大值为45，
小球运动中的高度可以是，
故②正确；
③时，，
时，，
小球运动时的高度大于运动时的高度，
故③错误．
故选：．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分．13～14题各3分，15～16题每空2分．）
13．（3分）抛物线的图象有最 低 点（填“高”或“低” ．
【解答】解：由条件可知抛物线的图象开口向上，
抛物线的图象有最低点，
故答案为：低．
14．（3分）已知一元二次方程，则方程的根为 ， ．
【解答】解：由题意得，或，
，．
故答案为：，．
15．（4分）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与轴的交点为，．
（1）线段上的整点个数为 3 ；
（2）抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ．
【解答】解：（1）令，
，，
在0与2间的整数有1，
则整点为，，，
故答案为：3．
（2）当时，，
在轴下方抛物线内的整点只有，加上线段上的3个整点，，，
整点数为4．
故答案为：4．
16．（4分）如图，在中，直径，，点为弦上一点，点在上，．
（1）若，则 ；
（2）点在上移动时，长的最大值为 ．
【解答】解：（1）由题意可得：．
在△中，，
．
故答案为：；
（2）连接，
，
，
，
，
当最小时，最大，即时，最大，．
当时，．
长的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
【解答】解：（1）原方程移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
，．
（2）原方程可化为：，
△，
，
，．
18．如图，在中，，求证：．
【解答】证明：，
，
，
即，
．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若为方程的一个根，且满足，求整数的值．
【解答】（1）证明：关于的一元二次方程，
，，，
△，
，
，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或，
，，
，即，
又为整数，
可取，．
20．如图，二次函数的图象经过点．
（1）求的值，并直接写出对称轴；
（2）在图中画出函数该部分的图象（不必列表），并直接写出对应的取值范围．
【解答】解：（1）由条件可知：，
解得：，
对称轴为直线，
的值为，对称轴为直线；
（2）如图1所示，
由图象可知：当，；当，，
对应的取值范围为：．
21．是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形．若存在，求出直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：根据题意，设最短边长为，另两边长为，．
在直角三角形中：，
整理得，，
解得：，（舍，
，，
所以这个直角三角形得三边长为3，4，5．
答：这个直角三角形得三边长为3，4，5．
22．如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮．已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度．若篮圈中心距地面．
（1）以地面为轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画轴，求抛物线的解析式；
（2）通过计算说明篮球能否投中篮圈中心．
【解答】解：（1）如图2所示，
，
将点代入可得：，
解得：，
；
（2）由（1）可知，
当时，，
答：篮球不能命中篮圈中心．
23．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离．
（1）求拱桥的半径；
（2）如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由．
【解答】解：（1）设半径为，连接，
由条件可知，
，
，
在△中：，
解得：，
答：拱桥的半径为．
（2）过作，交于点，连接，
由题得，，
，
在△中：，
，
答：不能顺利通过这座拱桥．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的对称轴；
（2）若，通过计算判断的顶点与直线的位置关系；
（3）若与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）点的坐标为；理由如下：
将点向右平移5个单位长度，得到点，
依据平移的性质得：点的坐标为；
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点的坐标代入得：
，
，
，
对称轴为直线；
（2）当时，，
抛物线的顶点坐标为，
，，
三点共线，即的顶点在直线上；
（3），
抛物线的顶点坐标为，
①如图所示，当时，当抛物线的顶点坐标在直线上时，此时与线段恰有一个公共点，
，
；
当抛物线与轴的交点在以上时，此时与线段恰有一个公共点，
，
；
②如图所示，当时，当抛物线经过点时，，
解得，
当与线段恰有一个公共点时，，
综上所述，的取值范围是或或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
A
B
C
C
A
D
D
D
D
题号
12
答案
C