2024-2025学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列成语所描述的事件中，表示不可能事件的是
A．守株待兔B．缘木求鱼C．探囊取物D．百步穿杨
2．（2分）若方程是关于的一元二次方程，则的值为
A．B．3C．D．不存在
3．（2分）下面的标识图案中，是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
4．（2分）已知的直径为10，当线段时，则点与的位置关系是
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
5．（2分）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为
A．B．C．D．
6．（2分）用配方法将二次函数化为的形式，则的值是
A．B．C．2D．4
7．（2分）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则盒子中大约有红球
A．16个B．14个C．12个D．8个
8．（2分）如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中，则的长为
A．米B．米C．米D．米
9．（2分），是方程的两个根，若，则的值为
A．2B．1C．0D．
10．（2分）一村民在清理鱼塘时不慎被困淤泥中，消防队员以门板作船进行救援．若池塘淤泥地面能承受的压强不超过，人和门板对地面的压强与门板和地面接触面积的函数关系如图所示．为救援过程中门板不下陷，那么门板和地面的接触面积为
A．至少B．至多C．大于D．小于
11．（2分）要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，，再作弦的垂直平分线交于点，交劣弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，，则轮子的半径为
A．B．C．D．
12．（2分）如图，在正方形网格中，△与△（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，，，，则这两个三角形的位似中心是
A．点B．点C．点D．点
13．（2分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
14．（2分）如图，在扇形中，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15．（3分）如图所示，，与相交于点，且，，，求的值．
16．（3分）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为 ，根据题意，可列方程： ．
17．（3分）已知二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“”或“” ．
18．（3分）如图，是内接正五边形的一条边，，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根．
20．（8分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母，和．从两个口袋中各随机取出1个小球．
（1）请用画树状图的方法列举所有可能出现的结果；
（2）取出的2个小球上恰好有1个元音字母的概率是多少？
（3）取出的2个小球上全是辅音字母的概率是多少？
21．（8分）如图，在△中，，，△是由△绕点按逆时针方向旋转得到的，连接，，相交于点．
（1）求证：；
（2）猜想旋转过程中的大小是否会发生变化，试说明理由．
22．（8分）如图，在△中，，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．
（1）若，求反比例函数的解析式；
（2）在反比例函数的图象上任取点，和，．如果，那么 （填“”或“” ．
23．（8分）如图，在△中，，点，分别在边，上，．
（1）求证：△△；
（2）如果，，，求的长．
24．（9分）如图1是公路边坡施工图，我们可以将其抽象成如图2所示的数学几何图形，自动喷浆装置底部（视为点在距离公路边坡底部点的12米处，喷头（视为点的高度（喷头距自动喷浆装置底部的距离）是2米，喷射出的水泥砂浆可以近似地看成抛物线．当喷射出的砂浆与自动喷浆装置的水平距离为10米时，达到最大高度7米．以为原点，自动喷浆装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若斜坡与底面所夹的锐角为，斜坡上距离点的米处有一棵高度为1.75米的小树，垂直水平地面．
①求喷射的水泥砂浆在斜坡上所能达到的高度，即水泥砂浆落在斜坡上的位置到水平地那面的距离；（结果保留根号）
②如果要使水泥砂浆恰好经过小树顶端喷射到斜坡的工作面上，那么自动喷浆装置应向左平移多少米？（结果保留根号）
25．（11分）如图，是半圆的直径，为半圆上异于点，的任意一点，的平分线交半圆于点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）猜想与半圆的位置关系，并给出证明．
（2）移动点，使，若的直径，求圆心到的距离．
（3）在（2）的条件下，（不与点，重合）是线段上的一动点，为的中点，过点作，垂足为，连接，．请问：当点在线段上运动时，的大小是否变化？若不变，直接写出的度数；若变化，简要说明理由．
2024-2025学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
一、选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列成语所描述的事件中，表示不可能事件的是
A．守株待兔B．缘木求鱼C．探囊取物D．百步穿杨
【解答】解：．是随机事件，故不符合题意；
．是不可能事件，故符合题意；
．是必然事件，故不符合题意；
．是随机事件，故不符合题意；
故选：．
2．（2分）若方程是关于的一元二次方程，则的值为
A．B．3C．D．不存在
【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，
方程是关于的一元二次方程，
且，
解得，
故选：．
3．（2分）下面的标识图案中，是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、、中的图形不是中心对称图形，故、、不符合题意；
、图形是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
4．（2分）已知的直径为10，当线段时，则点与的位置关系是
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
【解答】解：的半径，点与的圆心的距离，
，
点与的位置关系是在圆外．
故选：．
5．（2分）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为
A．B．C．D．
【解答】解：两个相似多边形的面积比是，
两个相似多边形的相似比为，
两个相似多边形的周长比是，
设较小多边形的周长为 ，
，
，
较小多边形的周长为．
故选：．
6．（2分）用配方法将二次函数化为的形式，则的值是
A．B．C．2D．4
【解答】解：
，
，，
，
故选：．
7．（2分）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则盒子中大约有红球
A．16个B．14个C．12个D．8个
【解答】解：摸到黄球的频率是0.4，
黄球的个数为（个，
盒子中大约有红球（个，
故选：．
8．（2分）如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中，则的长为
A．米B．米C．米D．米
【解答】解：，，，
（米，
主持人所站位置为点（其中，则的长为米．
故选：．
9．（2分），是方程的两个根，若，则的值为
A．2B．1C．0D．
【解答】解：由条件可知，，
，
，
，
．
故选：．
10．（2分）一村民在清理鱼塘时不慎被困淤泥中，消防队员以门板作船进行救援．若池塘淤泥地面能承受的压强不超过，人和门板对地面的压强与门板和地面接触面积的函数关系如图所示．为救援过程中门板不下陷，那么门板和地面的接触面积为
A．至少B．至多C．大于D．小于
【解答】解：设函数的解析式为，
由条件可知，
，
当时，，
要使压强不超过，需使至少．
故选：．
11．（2分）要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，，再作弦的垂直平分线交于点，交劣弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，，则轮子的半径为
A．B．C．D．
【解答】解：根据垂径定理得，圆心在上，，
设圆心为，连接．
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，
故轮子的半径为．
故选：．
12．（2分）如图，在正方形网格中，△与△（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，，，，则这两个三角形的位似中心是
A．点B．点C．点D．点
【解答】解：△与△（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形，
如图：连接，，
位似中心是点．
故选：．
13．（2分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，故选项错误；
，
，
解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．
故选：．
14．（2分）如图，在扇形中，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：连接，，过作于，
由题意知：，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15．（3分）如图所示，，与相交于点，且，，，求的值．
【解答】解：如图，，
，而，，
的值为．
16．（3分）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为 ，根据题意，可列方程： ．
【解答】解：设道路的宽应为 ，根据长方形的面积公式列方程为：
，
故答案为：．
17．（3分）已知二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“”或“” ．
【解答】解：由条件可知抛物线的函数关系式为：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，在抛物线上，且，
．
故答案为：．
18．（3分）如图，是内接正五边形的一条边，，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 24 ．
【解答】解：连接，，
由条件可知，
，
，
故答案为：24．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根．
【解答】解：（1）由条件可知△，
解得：，
的取值范围为．
（2），且为最小正整数，
，
原方程为，即，
解得：，，
若为最小正整数时，方程的根为，．
20．（8分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母，和．从两个口袋中各随机取出1个小球．
（1）请用画树状图的方法列举所有可能出现的结果；
（2）取出的2个小球上恰好有1个元音字母的概率是多少？
（3）取出的2个小球上全是辅音字母的概率是多少？
【解答】解：（1）画树状图如下：
所有可能出现的结果有6种，分别为、、、、、；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中取出的2个小球上恰好有1个元音字母的结果有3种，即、、，
取出的2个小球上恰好有1个元音字母的概率是；
（3）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中取出的2个小球上全是辅音字母的结果有2种，即、，
取出的2个小球上全是辅音字母的概率是．
21．（8分）如图，在△中，，，△是由△绕点按逆时针方向旋转得到的，连接，，相交于点．
（1）求证：；
（2）猜想旋转过程中的大小是否会发生变化，试说明理由．
【解答】（1）证明：△是由△绕点按逆时针方向旋转得到的，
△△，
，，，
，
即，
△△
；
（2）解：的大小不变，
理由：如图，设，相交于，
△△，
，
，
，
又，，
，
的大小不变．
22．（8分）如图，在△中，，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．
（1）若，求反比例函数的解析式；
（2）在反比例函数的图象上任取点，和，．如果，那么 （填“”或“” ．
【解答】解：（1）过点作于点，于，
由条件可知，，
，
，
，
，
点，
点在图象上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）反比例函数的图象在第一象限内，
，
随增大而减小，
点，和，在反比例函数的图象上，且，
．
故答案为：．
23．（8分）如图，在△中，，点，分别在边，上，．
（1）求证：△△；
（2）如果，，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
△△．
（2）解：，，
，
△△，
，
，
解得或，
的长为2或4．
24．（9分）如图1是公路边坡施工图，我们可以将其抽象成如图2所示的数学几何图形，自动喷浆装置底部（视为点在距离公路边坡底部点的12米处，喷头（视为点的高度（喷头距自动喷浆装置底部的距离）是2米，喷射出的水泥砂浆可以近似地看成抛物线．当喷射出的砂浆与自动喷浆装置的水平距离为10米时，达到最大高度7米．以为原点，自动喷浆装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若斜坡与底面所夹的锐角为，斜坡上距离点的米处有一棵高度为1.75米的小树，垂直水平地面．
①求喷射的水泥砂浆在斜坡上所能达到的高度，即水泥砂浆落在斜坡上的位置到水平地那面的距离；（结果保留根号）
②如果要使水泥砂浆恰好经过小树顶端喷射到斜坡的工作面上，那么自动喷浆装置应向左平移多少米？（结果保留根号）
【解答】解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度7米，
可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得：
解得，
抛物线的解析式为．
（2）①延长交轴于，如图，
垂直水平地面．
，
，
，
（米，
米，米，
，米，米，
，，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
直线的解析式为，
解得：，，
水泥砂浆落在斜坡上的位置坐标为，
水泥砂浆落在斜坡上的位置到水平地面的距离为米．
②设喷射架向左平移了米，则平移后的抛物线可表示为，
把代入，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
自动喷浆装置应向左平移米．
25．（11分）如图，是半圆的直径，为半圆上异于点，的任意一点，的平分线交半圆于点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）猜想与半圆的位置关系，并给出证明．
（2）移动点，使，若的直径，求圆心到的距离．
（3）在（2）的条件下，（不与点，重合）是线段上的一动点，为的中点，过点作，垂足为，连接，．请问：当点在线段上运动时，的大小是否变化？若不变，直接写出的度数；若变化，简要说明理由．
【解答】解：（1）是的切线．
证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）过圆心作于，连接，，如图，
，，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
即，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）知：，，
，
，点为的中点，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
．
提示
本题中，，是元音字母；，，是辅音字母
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
D
C
A
D
C
C
B
A
A
题号
12
13
14
答案
B
B
A
提示
本题中，，是元音字母；，，是辅音字母