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2019-2020学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了四象限，专心解一解请认真读题，冷静思考等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共16小题．1-10题，每题3分；11-16题，每题2分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
2．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝5的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣4，x2＝2
3．（3分）已知反比例函数y＝图象经过点（﹣5，2），则k的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．﹣5
4．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
6．（3分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，它的内心在三角形外部
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D．任意一个五边形的外角和等于540°
7．（3分）在双曲线y＝的任一分支上，y都随x的增大而增大，则下列说法错误的是（ ）
A．k的值有可能为2
B．图象位于第二、四象限
C．若图象过点（a，b），也必过点（﹣a，﹣b）
D．图象与x轴只有一个交点
8．（3分）将抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1
9．（3分）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
10．（3分）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
11．（2分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ）
A．30个 B．35个 C．40个 D．50个
12．（2分）若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，则a为（ ）
A． B． C． D．﹣1
13．（2分）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640
B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640
C．x（50﹣）﹣50×20＝8640
D．（x﹣20）（50﹣）＝8640
14．（2分）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．6
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、细心填一填（本大题3小题，17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）把答案直接写在题中的横线上。
17．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3从小到大排列为 ．
18．（3分）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为 ．
19．（4分）如图，圆锥母线长9厘米．
（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 ；
（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长9厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 ．
三、专心解一解（本题满分68分）请认真读题，冷静思考。解答题应写出文字说明、解答过程.
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出双曲线的示意图；
（3）若另一个交点B的坐标为（﹣3，n），则n＝ ；当y1＜y2时，x的取值范围 ．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC═90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，求出（1）中⊙O的半径．
22．（9分）“迎元旦大酬宾!”某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率．
23．（10分）小李准备进行如下的操作，把一根长50cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2：3．
（1）要使这两个矩形的面积之和为78cm2，较小矩形的长宽各是多少？
（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为91cm2，你同意吗？说明理由．
（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
24．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
25．（10分）某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时，销售量为55件，当销售单价为70元时，销售量为50件．
（1）此试销期间销售量P可能为40吗？说明理由．
（2）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
2019-2020学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共16小题．1-10题，每题3分；11-16题，每题2分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝5的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣4，x2＝2
【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝5，
x2﹣2x﹣3﹣5＝0，
x2﹣2x﹣8＝0，
化为（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
3．（3分）已知反比例函数y＝图象经过点（﹣5，2），则k的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．﹣5
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答．
【解答】解：将点（﹣5，2）代入y＝得，
k＝2xy＝2×2×（﹣5）＝﹣20．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．
4．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥AB，MN＝AB，根据相似三角形的性质定理解答．
【解答】解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴△CMN与△CAB的面积之比＝（）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
【分析】设OC＝OB＝xcm，在Rt△OEC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（3分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，它的内心在三角形外部
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D．任意一个五边形的外角和等于540°
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、太阳从东方升起是必然事件，故此选项不合题意；
B、任意画一个三角形，它的内心在三角形外部是不可能事件，故此选项不合题意；
C、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故此选项符合题意；
D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
7．（3分）在双曲线y＝的任一分支上，y都随x的增大而增大，则下列说法错误的是（ ）
A．k的值有可能为2
B．图象位于第二、四象限
C．若图象过点（a，b），也必过点（﹣a，﹣b）
D．图象与x轴只有一个交点
【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1﹣k的符号，可判断选项A，B的说法正确，由图象上点的坐标特征可以得出选项C正确，则答案可得出．
【解答】解：∵y都随x的增大而增大，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1．
∵双曲线y＝过点（a，b），
∴也必过点（﹣a，﹣b）．
双曲线y＝与坐标轴没有交点．
故D选项的说法错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，解答此题的关键是根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质解答即可．
8．（3分）将抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据将抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标还是（0，1），形状不变开口向下，
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
9．（3分）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【分析】如图，连接OD，OE，DE．证明S阴＝S△CDE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，OE，DE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，
∴∠AOD＝∠EOB＝60°，
∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，
∴△AOD，△EOB都是等边三角形，
∴∠DOE＝∠EOB，
∴弓形DE＝S扇形DOE﹣S△DOE，弓形BE＝S扇形BOE﹣S△BOE，
∴弓形DE与弓形BE的面积相等，
∵OA＝OD＝OE＝OB＝AB，∠A＝∠B＝60°，
∴△AOD和△BOE是等边三角形，
∴AD＝AO＝BE＝OB＝AB＝AC，
∴CD＝DE＝CE＝AB＝2，
∴△CDE是等边三角形，
∴S阴＝S△CDE＝×22＝，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
【分析】由旋转的性质得出∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，由点B，C，D恰好在同一直线上，则△BAD是顶角为150°的等腰三角形，求出∠B＝15°，由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠E＝∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．
11．（2分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ）
A．30个 B．35个 C．40个 D．50个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据 得：
解得：x＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
12．（2分）若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，则a为（ ）
A． B． C． D．﹣1
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1，可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，可以得到该函数与x轴的交点坐标，从而可以求得a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当x＝﹣1时，a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）﹣1＝0，
解得a＝，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2分）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640
B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640
C．x（50﹣）﹣50×20＝8640
D．（x﹣20）（50﹣）＝8640
【分析】直接利用（房间定价﹣180）÷10＝减少的房间数，进而利用每间房间利润×住的房间数＝8640，进而得出答案．
【解答】解：设房价定为x元，由题意得：
（x﹣20）（50﹣）＝8640．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出减少的居住房间数是解题关键．
14．（2分）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
【分析】先由点A的坐标（﹣8，6），O点坐标（0，0），得到斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），再把D（﹣4，3）代入y＝可确定反比例函数的解析式为y＝﹣，然后确定C点坐标为（﹣8，），则AC＝6﹣＝，然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣8，6），O点坐标为（0，0），
∴斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），
把D（﹣4，3）代入y＝得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵AB⊥x轴，
∴C点的横坐标与点A相同，即C点的横坐标为﹣8，
把x＝﹣8代入y＝﹣得y＝，
∴C点坐标为（﹣8，），
∴AC＝6﹣＝，
∴△AOC的面积＝AC•OB＝××8＝18．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了反比例函数的性质．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．6
【分析】连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可得出结果．
【解答】解：连接CN，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴a＝﹣．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、细心填一填（本大题3小题，17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）把答案直接写在题中的横线上。
17．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3从小到大排列为 y2，y1，y3 ．
【分析】设t＝k2﹣4k+5，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：设t＝k2﹣4k+5，
∵k2﹣4k+5＝（k﹣2）2+1＞0，
∴t＞0．
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣t，y3＝t，
又∵﹣t＜﹣＜t，
∴则y1，y2，y3从小到大排列为y2，y1，y3．
故答案为：y2，y1，y3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
18．（3分）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为 a＞﹣1且a≠0 ．
【分析】根据抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，可以得到b2﹣4ac＞0且a≠0，从而可以求得a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，
∴，
解得，a＞﹣1且a≠0，
故答案为：a＞﹣1且a≠0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．（4分）如图，圆锥母线长9厘米．
（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 160° ；
（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长9厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 120° ．
【分析】（1）根据扇形的画出等于底面圆的周长，构建方程即可解决问题．
（2）如图是圆锥的侧面展开图，作OH⊥AA′于H．解直角三角形求出∠A即可解决问题．
【解答】解：（1）设圆心角为n．
由题意：＝2π•4，
∴n＝160°，
故答案为160°．
（2）如图是圆锥的侧面展开图，作OH⊥AA′于H．
由题意AA′＝9，
∵OA＝OA′，OH⊥AA′，
∴AH＝HA′＝，∠OAH＝∠OA′H，
∵cosA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠A＝∠A′＝30°，
∴扇形的圆心角∠AOA′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为120°．
【点评】本题考查圆锥的计算，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、专心解一解（本题满分68分）请认真读题，冷静思考。解答题应写出文字说明、解答过程.
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出双曲线的示意图；
（3）若另一个交点B的坐标为（﹣3，n），则n＝ ﹣1 ；当y1＜y2时，x的取值范围 x＜﹣3或0＜x＜1 ．
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求出m，把点A的坐标代入反比例函数解析式，计算即可；
（2）根据题意画出图象；
（3）把B（﹣3，n）代入（1）求得的解析式，即可求得n的值，然后结合图象求得当y1＜y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于点A（m，3），
∴3＝m+2，
∴m＝1．
∴A（1，3）
把A（1，3）代入y2＝
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y2＝；
（2）双曲线的示意图如图所示：
（3）∵直线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于另一个交点B的坐标为（﹣3，n），
∴﹣3n＝3，
∴n＝﹣1，
∴B（﹣3，﹣1），
由图象可知：当y1＜y2时，x的取值范围x＜﹣3或0＜x＜1，
故答案为﹣1，x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法以及利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC═90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，求出（1）中⊙O的半径．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）结论AC是⊙O的切线．作OH⊥AC于H，只要证明OH＝OB即可．
（3）利用勾股定理求出AC，再利用面积法构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）结论：AC是⊙O的切线．
理由：作OH⊥AC于H．
∵OC平分∠ACB，OH⊥AC，OB⊥BC，
∴OB＝OH，
∴AC是⊙O的切线．
（3）在Rt△ACB中，∵∠B＝90°，BC＝8，AB＝6，
∴AC＝＝＝10，设OH＝OB＝x，
则有：•AB•BC＝•OB•BC+•AC•OH，
∴48＝8x+10x，
∴x＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（9分）“迎元旦大酬宾!”某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 70 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率．
【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于60元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；
故答案为：70；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于60元的有4种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率为：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）小李准备进行如下的操作，把一根长50cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2：3．
（1）要使这两个矩形的面积之和为78cm2，较小矩形的长宽各是多少？
（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为91cm2，你同意吗？说明理由．
（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
【分析】（1）根据相似多边形的性质得到两矩形的周长的比为2：3，两矩形的面积的比为4：9，则可计算出较小矩形的周长为20，较小矩形的面积为24，设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，根据矩形的面积公式得到x（10﹣x）＝24，然后解方程即可；
（2）先计算出较小矩形的周长为20，较小矩形的面积为28，设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，利用矩形的面积公式得到x（10﹣x）＝28，然后根据所列方程没有实数解可判断这两个矩形的面积和不可能为91cm2．
【解答】解：（1）∵两矩形相似且相似比为2：3，
∴两矩形的周长的比为2：3，两矩形的面积的比为4：9，
∴较小矩形的周长为50×＝20，较小矩形的面积为78×＝24，
设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，
∴x（10﹣x）＝24，
整理得x2﹣10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6，
答：较小矩形的长为6cm，宽为4cm；
（2）同意．
理由如下：
较小矩形的周长为20，较小矩形的面积为91×＝28，
设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，
∴x（10﹣x）＝28，
整理得x2﹣10x+28＝0，
∵△＝102﹣4×28＝﹣12＜0，方程没有实数解，
∴这两个矩形的面积和不可能为91cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：充分应用相似图形的性质（相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）解决问题．也考查了矩形的性质和一元二次方程的应用．
24．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠F，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝∠F，
∴AE＝AF；
（2）∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∵AE＝5，AC＝4，
即，
∴BE＝．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（10分）某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时，销售量为55件，当销售单价为70元时，销售量为50件．
（1）此试销期间销售量P可能为40吗？说明理由．
（2）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）先判断此试销期间销售量P是否可能为40，然后根据题意，通过计算即可说明理由；
（2）根据题意，可以得到利润与单价的函数关系式，然后根据二次函数的性质和（1）中求得x的取值范围，即可解答本题．
【解答】解：（1）此试销期间销售量P不可能为40，
理由：设P与x的函数关系式为P＝kx+b，
，
解得，，
即P与x的函数关系式为P＝﹣x+120，
当P＝40时，40＝﹣x+120，得x＝80，
∵某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，
∴50≤x≤50（1+50%），
解得，50≤x≤75，
∵80＞75，
∴此试销期间销售量P不可能为40；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣x+120）＝﹣x2+170x﹣6000＝﹣（x﹣85）2+1225，
∵50≤x≤75，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝1125，
答：销售单价定为75元时，商场可获得最大利润，最大利润是1125元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
（2）直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），即可求解；
（3）tanβ＝＝＝﹣a，故﹣≤a≤﹣1；
（4）证明△PMD≌△ENP（AAS），则MD＝PN，MP＝NE，即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；
（2）无关，理由：
由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），
将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，
令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），
即OE＝3，OE的长与a值无关；
（3）tanβ＝＝＝﹣a，
故﹣≤a≤﹣1；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE，
则PD＝PE，∠DPE＝90°，
过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°，
∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE，
∴△PMD≌△ENP（AAS），
∴MD＝PN，MP＝NE，
而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，
∵a＜0，
故m＝2a+1＜1，
故n＝﹣m﹣1（m＜1）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中．
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日期：2020/12/13 15:50:41；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971
2019-2020学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共16小题．1-10题，每题3分；11-16题，每题2分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
2．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝5的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣4，x2＝2
3．（3分）已知反比例函数y＝图象经过点（﹣5，2），则k的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．﹣5
4．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
6．（3分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，它的内心在三角形外部
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D．任意一个五边形的外角和等于540°
7．（3分）在双曲线y＝的任一分支上，y都随x的增大而增大，则下列说法错误的是（ ）
A．k的值有可能为2
B．图象位于第二、四象限
C．若图象过点（a，b），也必过点（﹣a，﹣b）
D．图象与x轴只有一个交点
8．（3分）将抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1
9．（3分）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
10．（3分）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
11．（2分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ）
A．30个 B．35个 C．40个 D．50个
12．（2分）若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，则a为（ ）
A． B． C． D．﹣1
13．（2分）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640
B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640
C．x（50﹣）﹣50×20＝8640
D．（x﹣20）（50﹣）＝8640
14．（2分）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．6
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、细心填一填（本大题3小题，17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）把答案直接写在题中的横线上。
17．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3从小到大排列为 ．
18．（3分）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为 ．
19．（4分）如图，圆锥母线长9厘米．
（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 ；
（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长9厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 ．
三、专心解一解（本题满分68分）请认真读题，冷静思考。解答题应写出文字说明、解答过程.
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出双曲线的示意图；
（3）若另一个交点B的坐标为（﹣3，n），则n＝ ；当y1＜y2时，x的取值范围 ．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC═90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，求出（1）中⊙O的半径．
22．（9分）“迎元旦大酬宾!”某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率．
23．（10分）小李准备进行如下的操作，把一根长50cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2：3．
（1）要使这两个矩形的面积之和为78cm2，较小矩形的长宽各是多少？
（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为91cm2，你同意吗？说明理由．
（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
24．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
25．（10分）某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时，销售量为55件，当销售单价为70元时，销售量为50件．
（1）此试销期间销售量P可能为40吗？说明理由．
（2）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
2019-2020学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共16小题．1-10题，每题3分；11-16题，每题2分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝5的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣4，x2＝2
【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝5，
x2﹣2x﹣3﹣5＝0，
x2﹣2x﹣8＝0，
化为（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
3．（3分）已知反比例函数y＝图象经过点（﹣5，2），则k的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．﹣5
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答．
【解答】解：将点（﹣5，2）代入y＝得，
k＝2xy＝2×2×（﹣5）＝﹣20．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．
4．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥AB，MN＝AB，根据相似三角形的性质定理解答．
【解答】解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴△CMN与△CAB的面积之比＝（）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
【分析】设OC＝OB＝xcm，在Rt△OEC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（3分）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，它的内心在三角形外部
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D．任意一个五边形的外角和等于540°
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、太阳从东方升起是必然事件，故此选项不合题意；
B、任意画一个三角形，它的内心在三角形外部是不可能事件，故此选项不合题意；
C、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故此选项符合题意；
D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
7．（3分）在双曲线y＝的任一分支上，y都随x的增大而增大，则下列说法错误的是（ ）
A．k的值有可能为2
B．图象位于第二、四象限
C．若图象过点（a，b），也必过点（﹣a，﹣b）
D．图象与x轴只有一个交点
【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1﹣k的符号，可判断选项A，B的说法正确，由图象上点的坐标特征可以得出选项C正确，则答案可得出．
【解答】解：∵y都随x的增大而增大，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1．
∵双曲线y＝过点（a，b），
∴也必过点（﹣a，﹣b）．
双曲线y＝与坐标轴没有交点．
故D选项的说法错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，解答此题的关键是根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质解答即可．
8．（3分）将抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据将抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标还是（0，1），形状不变开口向下，
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
9．（3分）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【分析】如图，连接OD，OE，DE．证明S阴＝S△CDE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，OE，DE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，
∴∠AOD＝∠EOB＝60°，
∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，
∴△AOD，△EOB都是等边三角形，
∴∠DOE＝∠EOB，
∴弓形DE＝S扇形DOE﹣S△DOE，弓形BE＝S扇形BOE﹣S△BOE，
∴弓形DE与弓形BE的面积相等，
∵OA＝OD＝OE＝OB＝AB，∠A＝∠B＝60°，
∴△AOD和△BOE是等边三角形，
∴AD＝AO＝BE＝OB＝AB＝AC，
∴CD＝DE＝CE＝AB＝2，
∴△CDE是等边三角形，
∴S阴＝S△CDE＝×22＝，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
【分析】由旋转的性质得出∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，由点B，C，D恰好在同一直线上，则△BAD是顶角为150°的等腰三角形，求出∠B＝15°，由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠E＝∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．
11．（2分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ）
A．30个 B．35个 C．40个 D．50个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据 得：
解得：x＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
12．（2分）若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，则a为（ ）
A． B． C． D．﹣1
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1，可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，可以得到该函数与x轴的交点坐标，从而可以求得a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当x＝﹣1时，a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）﹣1＝0，
解得a＝，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2分）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640
B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640
C．x（50﹣）﹣50×20＝8640
D．（x﹣20）（50﹣）＝8640
【分析】直接利用（房间定价﹣180）÷10＝减少的房间数，进而利用每间房间利润×住的房间数＝8640，进而得出答案．
【解答】解：设房价定为x元，由题意得：
（x﹣20）（50﹣）＝8640．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出减少的居住房间数是解题关键．
14．（2分）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
【分析】先由点A的坐标（﹣8，6），O点坐标（0，0），得到斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），再把D（﹣4，3）代入y＝可确定反比例函数的解析式为y＝﹣，然后确定C点坐标为（﹣8，），则AC＝6﹣＝，然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣8，6），O点坐标为（0，0），
∴斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），
把D（﹣4，3）代入y＝得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵AB⊥x轴，
∴C点的横坐标与点A相同，即C点的横坐标为﹣8，
把x＝﹣8代入y＝﹣得y＝，
∴C点坐标为（﹣8，），
∴AC＝6﹣＝，
∴△AOC的面积＝AC•OB＝××8＝18．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了反比例函数的性质．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．6
【分析】连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可得出结果．
【解答】解：连接CN，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
①4a+2b＜0；
②﹣1≤a≤；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
综上，此题得解．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴a＝﹣．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、细心填一填（本大题3小题，17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）把答案直接写在题中的横线上。
17．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3从小到大排列为 y2，y1，y3 ．
【分析】设t＝k2﹣4k+5，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：设t＝k2﹣4k+5，
∵k2﹣4k+5＝（k﹣2）2+1＞0，
∴t＞0．
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣t，y3＝t，
又∵﹣t＜﹣＜t，
∴则y1，y2，y3从小到大排列为y2，y1，y3．
故答案为：y2，y1，y3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
18．（3分）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为 a＞﹣1且a≠0 ．
【分析】根据抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，可以得到b2﹣4ac＞0且a≠0，从而可以求得a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，
∴，
解得，a＞﹣1且a≠0，
故答案为：a＞﹣1且a≠0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．（4分）如图，圆锥母线长9厘米．
（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 160° ；
（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长9厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 120° ．
【分析】（1）根据扇形的画出等于底面圆的周长，构建方程即可解决问题．
（2）如图是圆锥的侧面展开图，作OH⊥AA′于H．解直角三角形求出∠A即可解决问题．
【解答】解：（1）设圆心角为n．
由题意：＝2π•4，
∴n＝160°，
故答案为160°．
（2）如图是圆锥的侧面展开图，作OH⊥AA′于H．
由题意AA′＝9，
∵OA＝OA′，OH⊥AA′，
∴AH＝HA′＝，∠OAH＝∠OA′H，
∵cosA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠A＝∠A′＝30°，
∴扇形的圆心角∠AOA′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为120°．
【点评】本题考查圆锥的计算，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、专心解一解（本题满分68分）请认真读题，冷静思考。解答题应写出文字说明、解答过程.
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出双曲线的示意图；
（3）若另一个交点B的坐标为（﹣3，n），则n＝ ﹣1 ；当y1＜y2时，x的取值范围 x＜﹣3或0＜x＜1 ．
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求出m，把点A的坐标代入反比例函数解析式，计算即可；
（2）根据题意画出图象；
（3）把B（﹣3，n）代入（1）求得的解析式，即可求得n的值，然后结合图象求得当y1＜y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于点A（m，3），
∴3＝m+2，
∴m＝1．
∴A（1，3）
把A（1，3）代入y2＝
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y2＝；
（2）双曲线的示意图如图所示：
（3）∵直线y1＝x+2与双曲线y2＝相交于另一个交点B的坐标为（﹣3，n），
∴﹣3n＝3，
∴n＝﹣1，
∴B（﹣3，﹣1），
由图象可知：当y1＜y2时，x的取值范围x＜﹣3或0＜x＜1，
故答案为﹣1，x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法以及利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC═90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，求出（1）中⊙O的半径．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）结论AC是⊙O的切线．作OH⊥AC于H，只要证明OH＝OB即可．
（3）利用勾股定理求出AC，再利用面积法构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）结论：AC是⊙O的切线．
理由：作OH⊥AC于H．
∵OC平分∠ACB，OH⊥AC，OB⊥BC，
∴OB＝OH，
∴AC是⊙O的切线．
（3）在Rt△ACB中，∵∠B＝90°，BC＝8，AB＝6，
∴AC＝＝＝10，设OH＝OB＝x，
则有：•AB•BC＝•OB•BC+•AC•OH，
∴48＝8x+10x，
∴x＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（9分）“迎元旦大酬宾!”某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 70 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率．
【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于60元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；
故答案为：70；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于60元的有4种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率为：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）小李准备进行如下的操作，把一根长50cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2：3．
（1）要使这两个矩形的面积之和为78cm2，较小矩形的长宽各是多少？
（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为91cm2，你同意吗？说明理由．
（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
【分析】（1）根据相似多边形的性质得到两矩形的周长的比为2：3，两矩形的面积的比为4：9，则可计算出较小矩形的周长为20，较小矩形的面积为24，设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，根据矩形的面积公式得到x（10﹣x）＝24，然后解方程即可；
（2）先计算出较小矩形的周长为20，较小矩形的面积为28，设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，利用矩形的面积公式得到x（10﹣x）＝28，然后根据所列方程没有实数解可判断这两个矩形的面积和不可能为91cm2．
【解答】解：（1）∵两矩形相似且相似比为2：3，
∴两矩形的周长的比为2：3，两矩形的面积的比为4：9，
∴较小矩形的周长为50×＝20，较小矩形的面积为78×＝24，
设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，
∴x（10﹣x）＝24，
整理得x2﹣10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6，
答：较小矩形的长为6cm，宽为4cm；
（2）同意．
理由如下：
较小矩形的周长为20，较小矩形的面积为91×＝28，
设较小矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm，
∴x（10﹣x）＝28，
整理得x2﹣10x+28＝0，
∵△＝102﹣4×28＝﹣12＜0，方程没有实数解，
∴这两个矩形的面积和不可能为91cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：充分应用相似图形的性质（相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）解决问题．也考查了矩形的性质和一元二次方程的应用．
24．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠F，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝∠F，
∴AE＝AF；
（2）∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∵AE＝5，AC＝4，
即，
∴BE＝．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（10分）某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时，销售量为55件，当销售单价为70元时，销售量为50件．
（1）此试销期间销售量P可能为40吗？说明理由．
（2）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）先判断此试销期间销售量P是否可能为40，然后根据题意，通过计算即可说明理由；
（2）根据题意，可以得到利润与单价的函数关系式，然后根据二次函数的性质和（1）中求得x的取值范围，即可解答本题．
【解答】解：（1）此试销期间销售量P不可能为40，
理由：设P与x的函数关系式为P＝kx+b，
，
解得，，
即P与x的函数关系式为P＝﹣x+120，
当P＝40时，40＝﹣x+120，得x＝80，
∵某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，
∴50≤x≤50（1+50%），
解得，50≤x≤75，
∵80＞75，
∴此试销期间销售量P不可能为40；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣x+120）＝﹣x2+170x﹣6000＝﹣（x﹣85）2+1225，
∵50≤x≤75，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝1125，
答：销售单价定为75元时，商场可获得最大利润，最大利润是1125元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；
（2）直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），即可求解；
（3）tanβ＝＝＝﹣a，故﹣≤a≤﹣1；
（4）证明△PMD≌△ENP（AAS），则MD＝PN，MP＝NE，即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；
（2）无关，理由：
由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），
将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，
令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），
即OE＝3，OE的长与a值无关；
（3）tanβ＝＝＝﹣a，
故﹣≤a≤﹣1；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE，
则PD＝PE，∠DPE＝90°，
过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°，
∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE，
∴△PMD≌△ENP（AAS），
∴MD＝PN，MP＝NE，
而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，
∵a＜0，
故m＝2a+1＜1，
故n＝﹣m﹣1（m＜1）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中．
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日期：2020/12/13 15:50:41；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971
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