2024-2025学年河北省石家庄四十二中七年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十二中七年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列选项是二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则
A．减少B．增加C．不变D．增加
3．（3分）据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前18天内下载量达到1600万次，数据1600万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（3分）已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是
A．嘉嘉和琪琪的方法都正确
B．嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C．嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D．嘉嘉和琪琪的方法都不正确
5．（3分）对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是
A．①②都是整式乘法B．①②都是因式分解
C．①是因式分解，②是整式乘法D．①是整式乘法，②是因式分解
6．（3分）如图，将直角三角形沿方向平移得到△，交于点，，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
7．（3分）如图，边长为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为
A．18B．20C．24D．25
8．（3分）已知，则值是
A．B．0C．1D．3
9．（3分）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于、的恒等式为
A．B．
C．D．
10．（3分）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是
A．B．C．D．
11．（3分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为
A．B．C．D．
12．（3分）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺的边与平行时，运动时间为 秒．
A．39B．36C．34D．33
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，将正确答案填在答题纸的横线上）
13．（3分）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 ．
14．（3分），，则 ．（填，或
15．（3分）若可以配成一个完全平方公式，则的值为 ．
16．（3分）对于关于，的二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）因式分解：．
18．（6分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式，；
（2）将整式因式分解．
19．（6分）如图，，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
20．（8分）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
（3）若为正整数，且，求的值．
21．（5分）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图3中阴影部分的面积．
（1）用含，的代数式分别表示，．
（2）试说明：．
22．（6分）对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定：，，．例如：，，．
（1）求，，的值；
（2）若，且，，，求的值．
23．（8分）根据如表素材，探索完成任务．
问题解决：
（1）款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买、两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）根据素材2，小明恰好用了380元购买、两款奶茶，其中款不加料的杯数是总杯数的．则其中型加料的奶茶买了多少杯？
24．（7分）如图1，图2，直线，将一副三角板中的两块直角三角尺和三角尺的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，，，，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图1，点在内部，，．若，求的值；
（3）如图2，固定三角尺的位置不变，转动三角尺的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点，重合，且点在直线的右侧，当三角尺与三角尺有一组边平行（不包括共线的情况）时，直接写出的度数的最大值与最小值的差．
2024-2025学年河北省石家庄四十二中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列选项是二元一次方程的是
A．B．C．D．
【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【解答】解：．，不是等式，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．含3个未知数，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
2．（3分）如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则
A．减少B．增加C．不变D．增加
【分析】根据对顶角相等即可得到答案．
【解答】解：（对顶角相等），
当增加时，也会增加．
故选：．
【点评】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．
3．（3分）据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前18天内下载量达到1600万次，数据1600万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：1600万．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4．（3分）已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是
A．嘉嘉和琪琪的方法都正确
B．嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C．嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D．嘉嘉和琪琪的方法都不正确
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此分析作答即可．
【解答】解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出；
琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出；
故选：．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
5．（3分）对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是
A．①②都是整式乘法B．①②都是因式分解
C．①是因式分解，②是整式乘法D．①是整式乘法，②是因式分解
【分析】根据因式分解的意义：将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出是因式分解的有两个条件：一、等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；从而可以得出结论．
【解答】解：由因式分解的意义得：①是因式分解；
②不是因式分解，右边不是积的形式；
表述正确的是：①是因式分解，②是整式乘法．
故选：．
【点评】本题考查了对因式分解的意义的理解，是一道基础题．
6．（3分）如图，将直角三角形沿方向平移得到△，交于点，，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】由平移的性质可知，，，进而得出，，最后根据面积公式得出答案．
【解答】解：将直角三角形沿方向平移得到△，
，，，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
7．（3分）如图，边长为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为
A．18B．20C．24D．25
【分析】先运用长方形的周长和面积公式求得且，再运用多项式乘多项式的计算方法进行计算、代入求解．
【解答】解：由题意得，
且，
即且，
，
故选：．
【点评】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该计算法则和长方形的周长、面积计算法则．
8．（3分）已知，则值是
A．B．0C．1D．3
【分析】根据同底数幂的乘法公式，先对等式左边进行计算，再根据零指数幂得出的值．
【解答】解：，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（3分）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于、的恒等式为
A．B．
C．D．
【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于、的恒等式．
【解答】解：方法一阴影部分的面积为：，
方法二阴影部分的面积为：，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于、的恒等式为．
故选：．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴影部分的面积．
10．（3分）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是
A．B．C．D．
【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、符合平方差公式结构，故本选项不合题意；
、不符合平方差公式结构，故本选项符合题意；
、符合平方差公式结构，故本选项不合题意；
、符合平方差公式结构，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的公式结构是解题的关键．
11．（3分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为
A．B．C．D．
【分析】过点作，可得，即得，，根据求出即可求解．
【解答】解：过点作，
，
，
，，
，
，
，
与所成锐角的度数为，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（3分）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺的边与平行时，运动时间为 秒．
A．39B．36C．34D．33
【分析】设运动时间为秒，根据题意只有能与平行，由题意知，，，列得，解得．
【解答】解：，与有公共点，
只有能与平行，
设运动时间为秒，
如图，由题意知，，，
，
，
，
，
解得，
三角尺的边与刻度线重合时，
，
符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，动图形问题，正确进行计算是解题关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，将正确答案填在答题纸的横线上）
13．（3分）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 ．
【分析】根据对顶角相等得出，再根据两直线平行同旁内角补角得出，然后根据折叠即可得出答案．
【解答】解：如图：
，
，
纸条的两边平行，
，
，
折叠，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，关键是平行线性质的应用．
14．（3分），，则 ．（填，或
【分析】根据，可得出答案．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平方差公式、有理数大小比较，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
15．（3分）若可以配成一个完全平方公式，则的值为 ．
【分析】根据完全平方公式的特征求解．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
16．（3分）对于关于，的二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 1.5 ．
【分析】用代入消元法解二元一次方程组得到，，然后代入，可得到结果．
【解答】解：，
由①得，，
将代入②，，
解得，
将代入①，，
解得，
方程组的解为：，
那么，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）因式分解：．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方法则计算，再根据有理数加减法则计算即可；
（2）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，正确计算是解题的关键．
18．（6分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式，；
（2）将整式因式分解．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
；
；
（2）
．
【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
19．（6分）如图，，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
【分析】（1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
所以的度数为；
（2）证明：，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
20．（8分）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
（3）若为正整数，且，求的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可；
（2）根据幂的乘法法则进行计算即可；
（3）根据幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，，
，，
，
；
当时，也成立，
故．
（3），
．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键．
21．（5分）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图3中阴影部分的面积．
（1）用含，的代数式分别表示，．
（2）试说明：．
【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系可得答案．
（2）由图表示出，由（1）可得，即可得．
【解答】（1）解：由图可得，，．
（2）证明：由图可得，．
，
．
【点评】本题考查整式的混合运算、列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（6分）对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定：，，．例如：，，．
（1）求，，的值；
（2）若，且，，，求的值．
【分析】（1）因为，，，所以，，，求出结果即可；
（2）因为，，，，，，所以即，
得，因为，所以，求出．
【解答】解：（1），，
；
（2）因为，，，
即，
得，
因为，
所以
，
，
．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据示例的运算法则计算．
23．（8分）根据如表素材，探索完成任务．
问题解决：
（1）款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买、两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）根据素材2，小明恰好用了380元购买、两款奶茶，其中款不加料的杯数是总杯数的．则其中型加料的奶茶买了多少杯？
【分析】任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
【解答】解：任务款奶茶和款奶茶的销售单价分别为元、元，
由题意得：，
解得：，
答：款奶茶和款奶茶的销售单价分别为10元，12元；
任务2：设购买种款式的奶茶与种款式的奶茶分别为杯、杯，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案；
任务3：设款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
、、均为整数，
或，
或（杯，
答：款加料的奶茶买了3杯或20杯．
【点评】本题考查了二元一次方程（组的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组是解题的关键．
24．（7分）如图1，图2，直线，将一副三角板中的两块直角三角尺和三角尺的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，，，，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图1，点在内部，，．若，求的值；
（3）如图2，固定三角尺的位置不变，转动三角尺的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点，重合，且点在直线的右侧，当三角尺与三角尺有一组边平行（不包括共线的情况）时，直接写出的度数的最大值与最小值的差．
【分析】（1）根据平行线的性质及角的和差即可求出；
（2）过点作．得，，，，，，即可得解；
（3）当时，最大，此时，当时，最小，此时，即可求出的度数的最大值与最小值的差为．
【解答】解：（1），
．
，
；
（2）如图1，过点作．
，
，
，，
．
，，，，
，，
，
；
（3）的度数的最大值与最小值的差为．
如图2，当时，最大，
，
，
此时；
如图3，当时，最小，
，
，
此时，
的度数的最大值与最小值的差为．
【点评】本题考查了平行线的性质，角的和差等性质，解决问题的关键是分类讨论和数形结合思想的运用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:27:50；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040背景
萧红中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两种款式的奶茶作为奖品．
素材1
若买10杯款奶茶，5杯款奶茶，共需160元；若买15杯型奶茶，10杯型奶茶，共需270元．

素材2
为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
B
A
C
C
A
B
C
B
A
题号
12
答案
A
背景
萧红中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两种款式的奶茶作为奖品．
素材1
若买10杯款奶茶，5杯款奶茶，共需160元；若买15杯型奶茶，10杯型奶茶，共需270元．

素材2
为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．