2024-2025学年河北省廊坊市安次区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市安次区八年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列是二次根式的是
A．B．C．D．
2．（3分）在中，，，，则的长为
A．B．C．4D．5
3．（3分）如图，在中，，则
A．B．C．D．
4．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A．4，5，6B．7，24，25C．2，3，4D．
6．（3分）若，则表示实数的点会落在数轴的
A．段①上B．段②上C．段③上D．段④上
7．（3分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则平行四边形的周长为
A．8B．14C．16D．10
9．（3分）某校在消防主题公园周边修了3条小路，如图，小路，恰好互相垂直，小路的中点刚好在湖与小路的相交处，若测得的长为，的长为，则的长为
A．B．C．D．
10．（3分）计算：的结果是
A．B．C．40D．7
11．（3分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？
译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分）
13．（3分）计算： ．
14．（3分）如图，的对角线与相交于点，，若，，则 ．
15．（3分）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为3，9，6，则正方形的面积为 ．
16．（3分）如图，菱形的周长为8，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则△周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分。解答题应写出文字说明或演算步骤）
17．（8分）（1）；
（2）．
18．（8分）在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式①
②
③
④
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
19．（8分）如图所示，在平行四边形中，于，于，，，，
（1）求的度数；
（2）求平行四边形的周长．
20．（8分）如图，勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
21．（9分）已知是平行四边形的一条对角线，，，垂足分别是、，
求证：四边形是平行四边形．
22．（9分）如图，菱形的周长为，．对角线，交于点．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
23．（10分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为和一个小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．
方法 ；
方法 ．
根据以上信息，可以得到等式： ；
（2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，，求图2中阴影部分的面积．
（3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点，较大锐角的顶点为，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．
24．（12分）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
（1）求证：．
（2）如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，还会成立吗？请证明这一结论．
（3）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点为延长线上一点”其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请完成证明，若不成立请说明理由．
2024-2025学年河北省廊坊市安次区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1．（3分）下列是二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，据此进行判断即可．
【解答】解：，，不符合二次根式的定义，它们不是二次根式，
符合二次根式的定义，它是二次根式，
故选：．
【点评】本题考查二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）在中，，，，则的长为
A．B．C．4D．5
【分析】利用勾股定理计算得结论．
【解答】解：在中，
．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
3．（3分）如图，在中，，则
A．B．C．D．
【分析】由平行四边形的性质推出，而，求出，由平行线的性质推出，即可求出的度数．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
4．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式相关运算的法则逐项判断．
【解答】解：与表示同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；
，故错误，不符合题意；
，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
5．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A．4，5，6B．7，24，25C．2，3，4D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
能构成直角三角形，
故符合题意；
、，，
，
不能构成直角三角形，
故不符合题意；
、，
不能组成三角形，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）若，则表示实数的点会落在数轴的
A．段①上B．段②上C．段③上D．段④上
【分析】先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果．
【解答】解：，即，
，
，
，即，
故实数的点会落在数轴的段②上，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
7．（3分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得，然后判断出是△的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：在平行四边形中，，
点是的中点，
是△的中位线，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则平行四边形的周长为
A．8B．14C．16D．10
【分析】由平行四边形的性质推出，，，由平行线的性质和角平分线定义得到，推出，求出，即可得到平行四边形的周长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
平行四边形的周长．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出，，，由等角对等边得到．
9．（3分）某校在消防主题公园周边修了3条小路，如图，小路，恰好互相垂直，小路的中点刚好在湖与小路的相交处，若测得的长为，的长为，则的长为
A．B．C．D．
【分析】根据垂直定义可得，然后在△中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，，
，
点是的中点，
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（3分）计算：的结果是
A．B．C．40D．7
【分析】利用二次根式的乘除法运算法则，直接计算得出即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法运算，正确化简得出是解题关键．
11．（3分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？
译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为尺，则可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【解答】解：根据勾股定理可得：
，
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
12．（3分）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
【分析】根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，逐一判定．
【解答】解：．当时，平行四边形是矩形而不是菱形，故该选项不正确，符合题意；
．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键．
二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分）
13．（3分）计算： 5 ．
【分析】根据算术平方根的计算方法得出结论即可．
【解答】解；，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．
14．（3分）如图，的对角线与相交于点，，若，，则 10 ．
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
【解答】解：的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
15．（3分）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为3，9，6，则正方形的面积为 18 ．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，，，，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案．
【解答】解：如图，设正方形，，，的边长分别为，，，，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，，，
所有三角形都是直角三角形，
，
，
即正方形的面积为18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．
16．（3分）如图，菱形的周长为8，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则△周长的最小值是 ．
【分析】连接、、，由菱形的性质得，，垂直平分，则，，，所以△是等边三角形，则，，求得，由，得，则△周长的最小值是，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接、、，
四边形是周长为8的菱形，，
，，垂直平分，
，，，
，△是等边三角形，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
△周长的最小值是，
故答案为：．
【点评】此题重点考查轴对称最短路线问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分。解答题应写出文字说明或演算步骤）
17．（8分）（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式，同时去括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和二次根式的乘法计算，然后计算加减法即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式①
②
③
④
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 ③ 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
【分析】（1）根据二次根式的加减法可判断第③步开始错误；
（2）利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）小明从第③步开始出错的；
故答案为③；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．（8分）如图所示，在平行四边形中，于，于，，，，
（1）求的度数；
（2）求平行四边形的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得，，在△和△中，根据直角三角形的性质可得，，即可求解．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，，
平行四边形的周长为．
【点评】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键．
20．（8分）如图，勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【分析】设的长为 ，则，故，在直角△中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，，，
，
设的长为，则，
，
在直角△中，，
又，
，
解得：，
答：绳索的长为．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
21．（9分）已知是平行四边形的一条对角线，，，垂足分别是、，
求证：四边形是平行四边形．
【分析】由题意即可推出，通过求证即可推出，便知四边形是平行四边形．
【解答】证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键在于认真阅读题意，推出和平行且相等．
22．（9分）如图，菱形的周长为，．对角线，交于点．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
【分析】（1）利用已知条件易求的长，再由勾股定理可求出的长，进而可求对角线的长；
（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
【解答】解：（1）在菱形中，
，，
，
，
，
，
，
菱形的对角线长，．
（2）菱形的面积为．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质并利用公式准确求出菱形的面积是解题的关键．
23．（10分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为和一个小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．
方法 ；
方法 ．
根据以上信息，可以得到等式： ；
（2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，，求图2中阴影部分的面积．
（3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点，较大锐角的顶点为，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．
【分析】（1）运用等面积法计算即可；
（2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可；
（3）将风车周长表示出来，其中，，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可．
【解答】解：（1）方法，
方法，
；
故答案为：，，；
（2），
当，时，
．
（3），外围轮廓（实线）的周长为24，
，，
，，
，
，
解得，
．
【点评】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．
24．（12分）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
（1）求证：．
（2）如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，还会成立吗？请证明这一结论．
（3）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点为延长线上一点”其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请完成证明，若不成立请说明理由．
【分析】（1）取中点，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出△和△全等即可；
（2）截取，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出△和△全等即可；
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定△△，因为全等三角形的对应边相等，所以．
【解答】（1）证明：取中点，连接，
，为中点，为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
△△，
；
（2）解：成立，
理由是：如图2，在上截取，连接，
，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（3）解：成立．
证明：如图3，在的延长线上取一点．使，连接．
，
，
平分，
，
，
四边形是正方形，
，
，
即，
，
△△，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是熟练掌握全等三角形的性质．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:07:02；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040题号
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11
答案
C
D
C
D
B
B
B
C
C
D
A
题号
12
答案
A