广东省汕头市潮阳实验学校高一下学期4月期中数学试题-A4

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校高一下学期4月期中数学试题-A4，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：黄佳 审题人：朱海涛
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2b”是“ac> bc”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知||ā|=4，ē为单位向量，当向量a，c的夹角α为²π/₃，则向量a在向量c上的投影向量为( )
A. a B. e C. - 2e D. - e
6. 已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则( )
A. 若α∥β, m∥α, n∥β, 则m∥n B. 若α∥β, m⊥α, n∥β, 则m∥n
C. 若α⊥β, m⊥α, n⊥β, 则m⊥n D. 若α⊥β, m∥α, n∥β, 则m⊥n
7.已知函数 f(x)={(a-2)x-3,x≤4x2-ax+2,x>4在定义域R上为增函数，则实数a的取值范围为( )
A. (3,4] B. [4,8] C. (3,8] D. [4,6]
8. 在△ABC中, 点E是边AB上的点, 且|AE|=|CE|=2, |BE|=3, ∠ACB=²π/₃,则△ABC的面积为( )
A.2114 B.5314 C.25714 D.25314 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在△ABC中, AB=3,AC=2,B=π4, 则角C的可能取值是 ( )
A. π6 B. π/3 C. 2π/3 D.5π6
10. 将f(x)=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图象, 则( )
A. 当 =π4时，g(x)为偶函数
B.x=π12是函数 fx+π6的一条对称轴
C. 函数 gx+-π4在 π42π3 上单调递增
D.若函数y=g(x)+1的一个对称中心为 π31,，则φ的一个可能值为 5π6
11. 已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1+x)为偶函数, 且当0 bc, 即a>b可以推出 ac> bc,若 ac> bc, 则有 ac-bc=c(a-b)>0, 所以a-b>0, 得到a>b, 即 ac> bc可以推出a>b,所以“a>b”是“ac> bc”的充要条件, 故选: A.
5.【答案】C【详解】向量a在向量e上的投影向量为： ∣a∣csα⋅e∣e∣=4⋅cs2π3⋅e=-2e,
6.【答案】C
【详解】A: 若α∥β, m∥α, n∥β, 则m∥n或m,n异面或m,n相交, 故A 错误;
B: 若α∥β, m⊥α, n∥β, 则m⊥n, 故B错误;
C: 若α⊥β, m⊥α, n⊥β, 则m⊥n, 故C正确;
D: 若α⊥β, ml/α, n/lβ, 则m⊥n或m,n相交, 或m,n异面, 故D错误;
7.【答案】A【详解】由函数 f(x)={(a-2)x-3,x≤4,x2-ax+2,x>4在定义域R上为增函数，则满足 {a-2>1α2≤416-4a+2≥a-2,解得30)个单位长度,得到函数g(x)= sin(2x-2φ)的图象,
故当 =π4时， gx=sin2x-2=sin2x-π2=-cs2x, 为偶函数，故A 正确；
当 x=π12时，求得 fx+π6=sin2×π12+π3=1,为最大值，可得 x=π12是函数 fx+π6的一条
对称轴，故B正确； ∵gx+-π4=sin2x+2-π2-2=sin2x-π2=-cs2x,
当 x∈π42π3,2x∈π24π3, 故 gx+-π4没有单调性，故C错误；
若函数y=g(x)+1= sin(2x-2φ)+1|的一个对称中心为 π31,
则 2×π3-2=kπ,k∈Z,即 =-k2π+π3, 令k=-1, 可得 =5π6, 故D 正确, 故选: ABD.
11.【答案】ACD【详解】∵f(1+x)为偶函数, ∴f(1-x)=f(1+x),
∴f(x+2)=f(-x), 且函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
2 又f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 且函数f(x)的图象关于点(2,0)对称, ∴函数f(x)的周期为4, 故正确;
∵当00,f(13)=lg313=-1,所以 ff13=f-1=2.故答案为：2
13.【答案】 【详解】 105
3 如图, 作D₁E₁∥DE, 易知E₁是C₁B₁的中点, 连接CE₁, 故∠CD₁E₁即为所求角,设正方体的棱长为2，由勾股定理得 D1E1=CE1=5,CD1=22,在△CD₁E₁中，由余弦定理得 cs∠CD1E1=8+5-52×5×22=105,故答案为： 105
14.【答案】 7 [-4,2 13-9)【详解】锐角△ABC中, csA=35,所以 sinA=1-352=45,
由正弦定理得 bsinB=csinC=asinA=445=5, 故b=5sinB,c=5sinC,
由余弦定理得 16=b2+c2-65bc,即 b2+c2=16+65bc,AB⋅AC=bccsA=35bc,
∣AB+AC∣2=AB+AC2=AB2+2AB⋅AC+AC2=16+65bc+125bc,
故 ∣AB+AC∣-AB⋅AC=16+125bc-35bc,令 16+125bc=t, 则 ∣AB+AC∣-AB⋅AC=gt=-14t2+t+4,
因为b=5sinB,c=5sinC, 所b+c=5sinB+5sinC=5sinB+5sin(A+B)=5sinB+5( 45csB+ 35csB)
=8sinB+4csB=45sinB+,其中锐角φ的终边经过点(2，1)，故 sin=55,cs=255,
因为△ABC为锐角三角形，所以 B∈π2-Aπ2,故 B+∈π2+-Aπ2+,
注意到： sinπ2+-A=cs-A=35cs+45sin=255,sinπ2+=cs=255,
所以 sinB+∈2551,所以 b+c∈845,因为 b2+c2=16+65bc,所以 bc=516b+c2-5∈1520,
从而 因为 gt=-14t2+t+4=-14t2-4t+4=-14t-22+5,
故g(t)在 t∈2138上单调递减，其中 g213=-14213-22+5=213-9,g8=-4,
所以 ∣AB+AC∣-AB⋅AC的取值范围是 -4213-9.故答案为： 7,-4213-9
15.【详解】(1) ∵A(1,2), B(3,5), C(4,m), ∴AB=(2,3), AC=(3,m-2). ……2分
∵A,B,C三点共线, ∴AB∥AC, ∴2(m-2)-3×3=0, 解得 m=132,
即实数m的值为 132 ……5分
(2) 由(1)知 AB=23,AC=3m-2.
4 ⋅∠BAC=90∘,∴AB⊥AC,∴AB⋅AC=2×3+3m-2=3m=0 即m=0. …8分
∴AC=3-2,∴∣AB∣=13,∣AC∣=13.… 10分
以△ABC的边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径 r=13,高 h=13的圆锥，
故该几何体的表面积为 V=13πr2⋅h=131313π.…13分
16.【详解】(1) 若选①: 因为2bcsA=ccsA+acsC,
由正弦定理可得2sinBcsA=sinCcsA+sinAcsC= sin(C+A)=sinB,………4分
且B∈(0,π), 则sinB>0, 可得( csA=12, ……6分
且A∈(0,π), 所以. A=π3; ……7分
若选②：因为 asinB=3bcsA,由正弦定理可得： sinAsinB=3sinBcsA,…3分
且B∈(0,π), 则sinB>0, 可得 tanA=3,……6分
且A∈(0,π), 所以 A=π3;……7分
若选③：因为 csC+csB-3sinBcsA=0,
则 -csA+B+csAcsB-3sinBcsA=0,可得： sinAsinB=3sinBcsA… 3分
且B∈(0,π), 则sinB>0, 可得t tanA=3,, ……6分 且A∈(0,π), 所以 A=π3…7分
(2) 由(1) 可知: A=π3, 由余弦定理可得：
a2=b2+c2-2bccsA=b+c2-2bc-2bccsA,, …10分
又 a=27,b+c=8, 即28=64-2bc-bc, 解得 bc=12. …13分
所以三角形的面积 S=12bcsinA=12×12×32=33 …15分
17.【详解】(1 e2π3i=cs2π3+isin2π3=-12+32i. …5分
(2fx=eix+e-ix2+eix-e-ix2=2csx2+2isinx2
=4csx2-4sinx2=4cs2x…10分
因为 x∈π62π3, 所以 2x∈π34π3,cs2x∈-112,4cs2x∈-42, 即f(x)∈[-4,2]……153
5 18.【详解】(1) 在正方形中, E、M分别为AD、BC的中点,所以EM∥CD, 因为EM⊄平面SCD, CD⊂平面SCD,所以EM∥平面SCD. ………4分分
(2) 由于平面SAD⊥平面ABCD, 且交线为AD,由于CD⊥AD,CD⊂平面ABCD, 所以CD⊥平面SAD,由于CD⊂平面SCD, 所以平面SAD⊥平面SCD. ………1
(3) 存在, 当N为SC中点时, 平面DMN⊥平面ABCD, ……11分 证明如下:连接EC, DM交于点O, 连接SE.0分
因为ED∥CM, 并且ED=CM , 所以四边形EMCD为平行四边形, 所以EO=CO.
又因为N为SC中点, 所以NO∥SE. ………13分
因为平面SAD⊥平面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD,
又SE⊂平面SAD, 由已知SE⊥AD,
所以SE⊥平面ABCD, ………15分 所以NO⊥平面ABCD.
又因为NO⊂平面DMN, 所以平面DMN⊥平面ABCD.
所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD， CNCS=12. …17分
19.【详解】(1) 双曲余弦函数y= cshx是偶函数, ……1分在(-∞,0]上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增. ……3分
=ex2+e-x2+2-ex2+e-x2-24=1 所以 csh2x-sinh2x=1. …5分
(ii) 结论; csh(x+y)= cshxcshy+ sinhxsinhy………7分
证明: 右边= cshxcsh y+ sinh xsinhy
=ex+e-x2×ex+e-y2+ex-e-x2×ey-e-y2=ex+y+ex-y+e-x-y4+ex+y-ex-y-e-x+y+e-x-y4 =ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y+ex+y-ex-y-e-x+y+e-x-y4
=2ex+y+2e-x-y4=ex+y+e-x+y2=cshx+y.…9分
所以 csh(x+y)= cshxcshy+ sinhxsinh y成立.
(注：以下三个结论有证明也得分)：
sinh(x+y)= sinhxcshy+ cshxsinhy, sinh(x-y)= sinhxcshy-cshxsinh y
csh(x-y)= cshxcshy-sinhxsinhy
(3) 令t= cshx, 因为 cshx=ex+e-x2≥ex⋅e-x=1,当且仅当 ex=e-x,即x=0时取等号，所以t∈[l,+∞). ……10分
因为 csh(x+y)= cshxcshy+ sinhxsinhy, csh²x-sinh²x=1,
所以csh2 2x=cshx+x=csh2x+sinh2x=csh2x+csh2x-1=2csh2x-1=2t2-1
那么函数 y=lg12csh2x+acshx=lg122t2+at-1. …13分
因为函数 y=lg12u在(0,+∞)上单调递减,
要使 y=lg122t2+at-1在R上最大值为0，则 u=2t2+at-1在[1,+∞)上有最小值1. ……14分函数 u=2t2+at-1的对称轴为 t=-a4.
当 -a4≤1,即a≥-4时, u在[1,+∞)上单调递增,
则 umin=2×12+a×1-1=1+a.
由1+a=1, 解得a=0.
当 -a4>1,即a