北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题（解析版）

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本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】，且，
则.
故选：A
2. 已知，则复数的实部为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据实部的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以复数的实部为.
故选：.
3. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将两边平方化简得，再根据向量夹角的范围即可求解.
【详解】因为向量为单位向量，且，
所以，即，
化简得，
因为向量的夹角，
所以.
故选：B.
4. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列，
设首项为，公比为，
则通项公式为，
第一轮参数为,
第二轮参数增加的数量为,
第三轮参数增加的数量为,
第四轮参数增加的数量为，
第五轮参数增加的数量为,
所以第五轮训练的模型参数的数量为..
故选：C.
5. 若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的离心率公式计算即可.
【详解】由题，，解得.
故选：D.
6. 已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数图象判断即可.
【详解】对于A选项：如图，不符，
对于B选项：如图，符合，
对于C选项：如图，不符，
对于D选项：如图，不符，
故选：B.
7. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断.
【详解】充分性：因为，所以或，
当时，或，，
当时，
或，，
可得或，所以充分性不成立，
必要性：若，
当为偶数时，设，则，
则，满足，
当为奇数时，设，则，
则，满足，
所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可.
【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示，
依题意直线l与圆C至少有一个交点，
①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角；
②当直线l的斜率存在时，设为，则，即
依题意，解得或，
此时直线l的倾斜角
综上所述，直线l的倾斜角，
故直线l的倾斜角的最大值为．
故选：C.
9. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解.
【详解】当马赫数为8时，速度，
解得，即，，
当马赫数为13时，速度，
解得，即，，
所以,.
故选：C.
10. 设无穷数列满足，则（）
A. 存在，为等差数列B. 存在，为等比数列
C. 存在，为递减数列D. 存在，为递增数列
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，等差数列要求为常数，即恒定；对于B，等比数列要求为常数，即与成比例；对于C，递减数列需，但时；对于D，递增数列需，结合的范围分析其单调性.
【详解】选项A：若存在，数列为等差数列，
则（常数），即对所有成立，
则必须满足，且，
唯一可能解为，此时，但不包含端点，故A错误；
选项B：若存在，数列为等比数列，
则（常数），即，即，
若，则与成正比，
由的图象可知，无法保证与的变式速度相同；
若，则，仅当时成立，但，故B错误；
选项C：若存在，则，数列不是递减数列，故C错误；
选项D：若存在，数列为递增数列，
则，即，故，数列递增，故D正确.
故选：D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在中，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理即可求出sinA，结合三角形大边对大角的性质即可求出答案.
【详解】由正弦定理，，则，，且，即，故.
所以本题答案为.
【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题.
12 已知，则实数_____
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值.
【详解】因为
，
所以，
故.
故答案为：.
13. 已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：先根据抛物线焦点坐标求出点的坐标，进而求出直线斜率；空2：根据反射法将距离之和进行转化，最后根据最小值求出的值.
【详解】对于抛物线，其焦点坐标为.
因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为.
将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即.
已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得；
当时，已知，焦点，准线为.
设焦点关于准线的对称点，则.
因为，故其最小值为，
又.
所以，可得.
故答案为： ；.
14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土_____立方米.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件得四边形为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可.
【详解】因为与平面所成角均为，且,
所以四边形为等腰梯形，
因为,
所以等腰梯形的高，
故，
所以直四棱柱体积.
故答案为：.
15. 已知曲线.给出下列四个结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线与直线有两个交点；
③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是_____.
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，将假设曲线的对称中心为代入曲线化简后通过对照系数，如果能求出，则说明曲线为中心对称图形；对于②，联立方程求解即可；对于③，对方程进行变形，通过分析可知必须为整数，故或，对应的整数点有两个；对于④，三点共线时取得最小值，因此先求出的取值范围即可判断④.
【详解】对于①，假设曲线的对称中心为，将对称点代入原方程：
，
整理得，
与原方程比较系数，有，解得，
说明曲线关于点对称，故①正确；
对于②，联立与，
消去并整理可得，此时，
故曲线与直线有一个交点，故②错误；
对于③，当时，原方程不成立，故曲线可变形为，
若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或；
当时，，当时，，
故曲线恰好经过两个整点和，故③正确；
对于④，由③可知，
因为，
令，，，
，
当且仅当即时等号成立，
同理，
由①知曲线关于点成中心对称，所以当和都最小时，三点共线，
此时最小，所以，故④错误.
故选：①③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面.
（1）求证：为的中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证；
（2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值.
【小问1详解】
连接，
因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面，
且平面平面，所以，所以为的中点.
【小问2详解】
如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17. 已知函数.
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围.
条件①：的图象关于和对称；
条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称；
条件③：的最小正周期，且.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为，根据三角函数的性质可得最小值，即可求解；
（2）由，即可求解，可得；若选择条件①：由已知可得，，求解函数的对称轴，将和代入可知函数存在且不唯一；若选择条件②：根据单调区间可得，将点代入，可得，根据的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由可知，再根据可知或，结合的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解.
小问1详解】
，
因为的最小值为，所以，所以；
【小问2详解】
因为，所以，解得，
所以，
若选择条件①：函数的图象的对称轴为，
所以，所以，，
因为，所以，，
所以，即，
因为，故，且，对应的满足题意，
所以函数存在且不唯一；
若选择条件②：因为在区间上单调，所以，
所以，又，所以，
因为的图象关于点对称，所以，
所以，所以，
所以，解得，因为，所以，即，
所以，此时当时，，
故在上单调减，故符合题设要求.
因为，所以，
所以，所以；
若选择条件③：因为的最小正周期，所以，
所以，又，所以，
因为，所以，
所以或，
所以或，
当时，，因为，所以，此时，
当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以.
18. 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.
（1）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
（2）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率；
（3）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不能预测，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可；
（2）先确定满足的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解；
（3）根据图表中数据的特点分析即可.
小问1详解】
由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022，
所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为；
【小问2详解】
由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为，
满足的有个，
从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为；
【小问3详解】
不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下：
从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度.
19. 已知椭圆的一个顶点为.且过点.
（1）求椭圆的方程及焦距
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积.
【答案】（1）椭圆方程，焦距为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过顶点和点构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）设过点的直线为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由解得，再由弦长公式求以及点到直线的距离，最后求即可.
【小问1详解】
由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为，焦距为.
【小问2详解】
设过点的直线为，，
由，化简得，
则，即，
所以，
即，
则，
所以直线方程为，，
故，
且点到直线的距离，
所以.
20. 设函数，其中.
（1）当时，求的零点：
（2）当时，证明：
（i）1为的极小值点；
（ii）对于任意，存在，使得曲线在点处切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
【答案】（1）1 （2）（i）证明见解析
（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果；
（2）（i）利用极小值定义即可证明结论；
（ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论.
【小问1详解】
已知，定义域为，令，
则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1.
【小问2详解】
（i）当时，函数，定义域为，
，则，
当时，所以，
故在区间上单调递减，
当时，所以，
故在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点.
（ii）已知，
故曲线在点处切线斜率为，
在点处的切线斜率为，
因为与互为相反数，所以，
令，，
则，
当时，单调递增，且，
根据零点存在定理可知：存在，使得，
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，故函数在区间上的值域为，
令，，
则，
当时，单调递减，且，
故时，恒成立，所以函数在区间单调递减，
故的值域为，
因为当时，，
所以是的子集，
故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”.
（1）已知数列，请写出中所有满足的数列；
（2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
（3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值.
【答案】（1）；；；.
（2）不存在，理由见解析；
（3）7
【解析】
【分析】（1）分析得，再写出满足题意的数列即可；
（2）假设存在满足条件的数列，则分析有是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明不存在；
（3）首先分析得当时，有，再分和讨论即可.
【小问1详解】
因为数列，所以中的数列满足．因为，
所以中所有满足的数列有
；；；.
【小问2详解】
假设存在满足条件的数列，
则满足，有，或，或．
所以与同为奇数或同为偶数．
所以是偶数．
所以是偶数．
又是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列．
【小问3详解】
当数列是的“恒元”时，
因为数列中，是个连续正整数的一个排列，
所以当时，有，且至多一项为1．
不妨记，所以，且．
当时，.
当时，有.
此时，或．
又，所以，，或，．
①当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，.
因为，，所以．所以．
当时，有，，，，所以（舍）．
②当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，,
所以．
当时，有，，，，
所以．所以（舍）．
又由于数列和满足条件．
综上所述，．