2024-2025学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x|≤2}，B={−3,−2,−1,0,1}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {−2,−1,0}C. {−1,0,1}D. {−2,−1,0,1}
2.下列函数在区间[0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−xB. f(x)=2xC. f(x)=lgxD. f(x)=1x
3.对某种动物的三项指标A，B，C进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为(ai,bi,ci)(i∈N∗).若(ai,bi)与(ai,ci)的散点图如图1和图2所示，那么关于(bi,ci)的散点图最合理的为( )
A. B.
C. D.
4.甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有( )
A. 36B. 48C. 60D. 72
5.为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭.如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为( )
A. 17B. 14C. 13D. 12
6.设函数f(x)=x−1,x≤a,x2−x−6,x>a.若y=f(x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,−2)∪[1，3)
C. (−2,3)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)
7.投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为X，那么X的数学期望为( )
A. 94B. 4C. 92D. 5
8.已知函数f(x)=ex，g(x)=k(x−x0)+ex0，其中x0，k∈R，那么“对任意的实数x都有f(x)≥g(x)”是“k=ex0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知正整数a，b，c，d，e满足aQ
C. 1MD. 1Q
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数f(x)=1 x+1+lnx的定义域是______．
12.在(1−2 x)6的展开式中，x的系数为______.(用数字作答)
13.已知函数f(x)=p2x+q2−x(其中p，q是正实数)．
①能使函数f(x)为偶函数的一组p，q可以为______；
②若函数f(x)的最小值为4，则p+q的最小值为______．
14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，点A，B，C，D在平面直角坐标系中的位置如图所示.已知曲线y=f(x)在点B，C处的切线分别为直线AB和CD，则此函数的解析式f(x)= ______．
15.一组单调不减的数据a1，a2，a3，…，an(n≥3)(即a1≤a2≤a3≤⋯≤an)，满足a1≠an，记这组数据a1，a2，a3，…，an的方差为D；数据a2，a3，…，an的有差为D1；数据a1，a2，a3，…，an−1的方差为D2；数据a2，a3，…，an−1的方差为D3.给出下列四个结论：
①存在单调不减的数据，使得D>D1；
②存在单调不减的数据，使得D1=D2；
③存在单调不减的数据，使得D=D2；
④对任意单调不减的数据，都有D>D3．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为34，45，35．
(Ⅰ)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；
(Ⅱ)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率；
(Ⅲ)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率．
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=13x3−x2−3x．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(−3,f(−3))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值；
(Ⅲ)若函数f(x)在(a,+∞)上存在最小值，求a的取值范围．
18.(本小题13分)
在某校运动会射击项目中只有甲、乙.丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜.本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩(单位：环)统计如下：
用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(Ⅰ)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数；
(Ⅱ)从前10轮比赛中随机选择3轮，设X表示乙获胜的轮数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(Ⅲ)记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为ai，bi，ci.(t=5,6,7,8,9,10)．
定义统计量：
da=12|a10−a9|+122|a9−a8|+123|a8−a7|+124|a7−a6|+124|a6−a5|，
db=12|b10−b9|+122|b9−b8|+123|b8−b7|+124|b7−b6|+124|b6−b5|，
dc=12|c10−c9|+122|c9−c8|+123|c8−c7|+124|c7−c6|+124|c6−c5|．
请直接写出da，db，dc的大小关系，
19.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，(0, 3)为椭圆C上一点，已知点P(1,32)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N(均异于点P).若直线PM，PN的斜率互为相反数，求直线l的方程．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=1+x+ax2ex，其中a>0．
(Ⅰ)讨论函数y=f(x)的单调性；
(Ⅱ)若a=1，t