北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题（原卷版）

这是一份北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了 已知，则复数的实部为， 已知，则“”是“”的， 设无穷数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则复数的实部为（ ）
A. B. 1C. D. 3
3. 已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（）
A. B. C. D.
9. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 设无穷数列满足，则（）
A. 存在，为等差数列B. 存在，为等比数列
C. 存在，为递减数列D. 存在，为递增数列
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在中，，，则___________．
12. 已知，则实数_____
13. 已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____.
14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土_____立方米.
15. 已知曲线.给出下列四个结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线与直线有两个交点；
③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面.
（1）求证：为的中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数.
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围.
条件①：图象关于和对称；
条件②：在区间上单调，且图象关于点对称；
条件③：的最小正周期，且.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.
（1）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
（2）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率；
（3）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.
19. 已知椭圆的一个顶点为.且过点.
（1）求椭圆方程及焦距
（2）过点直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积.
20. 设函数，其中.
（1）当时，求的零点：
（2）当时，证明：
（i）1为的极小值点；
（ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”.
（1）已知数列，请写出中所有满足的数列；
（2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
（3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值.