北京市东城区2023-2024学年高三下学期综合练习（二）（二模）数学试题（原卷及解析版）

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本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
3. 在中，，，，则（）
A. 1B. C. D. 2
4. 已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
5. 直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（）
A. B. C. D.
6. 袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数与直线交于，两点，则所在区间为（）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）
A. 宫B. 商C. 角D. 徵
10. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（）
A. 若为等差数列，则为内和数列
B. 若为等比数列，则为内和数列
C. 若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D. 若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式的展开式中常数项为__________.(用数字作答)
12. 若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________.
13. 设函数，则________，不等式的解集是________.
14. 如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________.
15. 已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论：
①若，则；
②若奇数，则；
③若为偶数，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的值；
（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：
（1）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；
（2）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望；
（3）记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，为椭圆上不同两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等.
20. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的极值点个数.
21. 已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
（1）若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
（2）若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
（3）若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.音
宫
商
角
徵
羽
频率
行政区
东城区
西城区
朝阳区
丰台区
石景山区
海淀区
门头沟区
房山区
城镇人口（万人）
70.4
110
343.3
199.9
56.3
305.4
36.2
102.6
乡村人口（万人）
0
0
09
1.3
0
7
3.4
28.5
行政区
通州区
顺义区
昌平区
大兴区
怀柔区
平谷区
密云区
延庆区
城镇人口（万人）
137.3
87.8
185.9
161.6
32.8
27.9
34.9
20.5
乡村人口（万人）
47
44.7
40.8
37.5
11.1
17.7
17.7.
13.9