四川省遂宁市蓬溪中学2025-2026学年高一下学期入学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解得集合，再求交集即可．
【详解】因为，，
所以．
故选：D．
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】命题“”的否定为“”．
3. 下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解.
【详解】，均不是幂函数，
在上单调递增，
是幂函数，且在上单调递减．
故答案为：B.
4. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集确定，进而求得结果.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，
解得.
所以不等式化简得，即，
解得.
故选：B.
5. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，再将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为角的终边过点，
所以，所以.
故选：D
6. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和特值进行排除.
【详解】，所以是偶函数，
的图象关于轴对称，排除A，B．
，排除D，所以只有C正确．
故选：C．
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦的性质可得，再结合对数、指数函数的性质比较大小即可．
【详解】因为，，，
所以．
故选：B．
8. 若函数的定义域为，且满足的图象关于成中心对称，为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的一个周期为4B.
C. 图象的一条对称轴为D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的性质推出函数的周期和对称轴，判断选项A，C；求出相应函数值，结合函数周期性计算判断选项B，D．
【详解】的图象关于中心对称，
是奇函数，即，
为偶函数，
，把替换为，则，
，把替换为，得，
，
周期为4，
，
的对称轴为，又周期为4，
的对称轴为，
是奇函数，
，
，
，
选项A：，故周期为4，故A正确；
选项B：，
，
，，，
，故B错误；
选项C：的对称轴为，
当时，对称轴为，故C正确；
选项D：，周期为4，
，
，故D正确．
故选：B．
二、多选题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 函数的反函数是
B 函数过定点
C. 对于函数，能用二分法求函数零点近似值
D. 已知为奇函数，当时，，则时，
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式.
【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为，
且是单调递增函数，则它存在反函数，
两边取自然对数可得，将互换，得到，
所以函数的反函数是，故选项A正确；
选项B：对数函数 ，当 时，，
在函数 中，
令 ，即 ，此时 ，
因为 （ 且 ），所以 ，
即函数 过定点 ，故选项B正确；
选项C：对于函数 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时，，不存在区间 使得 ，
所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误；
选项D：因为 为奇函数，则 ，
当 时，，
当 时，，则 ，
因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误.
故选：AB.
10. 已知，且，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项.
【详解】∵，即，
∴，
∴，
∴，B选项正确，
∴，A选项错误，
∴
，C选项正确
，
∵，∴，∴，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 存在，使得为偶函数
B. 若是R上的减函数，则的取值范围是
C. 若存在最大值，则的取值范围是
D. 若存在最小值，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】分析函数图像即可判断选项A；由函数单调性列关于a的不等式组即可求解判断选项B；由的单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项C；由C选项即可分析求解判断选项D．
【详解】选项A：当时，图象为指数函数部分图象，
当时，图象为一条射线，
所以图象不关于y轴对称，故不存在使得为偶函数，故A错误；
选项B：是R上的减函数，所以.
所以若是R上的减函数，则的取值范围是，故B正确；
选项C：当时，.
若即时，在上单调递增，此时，
所以若在R上存在最大值，则；
若即，在上恒有，
则函数在R上有最大值为6，故；
若，在上单调递减，此时，
则函数在R上无最大值，不符合.
存在最大值的条件是，即，故C正确；
选项D：由C可知时，无最小值；
时，在R上值域为，无最小值；
，要使在R上有最小值，则，即；
存在最小值时，的取值范围是，故D错误．
故选：BC．
三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】.
故答案为：
13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时．
【答案】40
【解析】
【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可.
【详解】由题设，有，可得，
令，可得.
故答案为：
14. 函数所有零点的和为__________．
【答案】22
【解析】
【分析】将问题转化为函数的图象与直线所有交点的横坐标之和．
【详解】由，得，则所有零点的和等价于函数的图象与直线所有交点的横坐标之和．
易得的图象与直线均关于点（2，0）对称．
又，
结合的图象与直线可知，
的图象与直线在内共有5个交点，
则的图象与直线共有11个交点，且关于点对称，
则这11个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为22．

故答案为：22
四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得；
（2）利用诱导公式化简即可.
【详解】（1）
.
（2）
16. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数取值范围．
【答案】（1），．
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集运算和并集运算即可求解；
（2）由知，得的不等式组解得即可.
【小问1详解】
当时，，
又，
故，
．
【小问2详解】
，
当时，，解得，
当时，解得，
故的取值范围是．
17. （1）已知，且是第二象限角．求，的值；
（2）已知函数，化简的解析式并求对称中心．
【答案】（1）， ；（2），对称中心为， ．
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式化简计算可得；
（2）利用三角恒等变换公式将函数化简，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，且是第二象限角，
所以，；
；
．
（2），
所以的对称中心为，
18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）求函数解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据列方程组求出的值，可得函数解析式；
（2）利用函数解析式，结合正弦函数的性质，求定义区间内函数的最值；
（3）根据函数图象的变换得到的解析式，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值.
【小问1详解】
由题意知，解得，，
又，解得，
所以．
【小问2详解】
，，
∴，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【小问3详解】
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，
因为，所以的图象关于中心对称，
所以，，解得，，
因为，所以当时，此时取得最小值为．
19. 若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求函数在内的最值；
（3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）代入参数解一元二次不等式，利用分母恒大于零的性质，去分母简化运算即可；
（2）先将分式函数变形，再利用均值不等式，并结合参数进行分类讨论，从而确定函数的值域与最值；
（3）将“三角形函数”条件转化为“两倍最小值大于最大值”，结合第（2）问的最值结论，分情况求解参数的范围．
【小问1详解】
当时，由于，
所以，
从而不等式的解集为．
【小问2详解】
变形得．
当时，；
当时，由于，所以，
当且仅当即时取等号，
①当时，，
从而，即无最小值，当且仅当时，；
②当时，，
从而，即无最大值，当且仅当时，．
【小问3详解】
当时，，符合题意；
当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即，
所以；
当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即，
所以．
综上，实数的取值范围为．0