初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定习题

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的三条线段，首尾相连能组成直角三角形的是（ ）
A . 1，2， 5 B . 5，6，7 C . 4，9，14 D . 6，12，13
2.满足下列条件的 △ABC不是直角三角形的是（ ）
A . BC=1 ， AC=2 ，AB=3
B .∠A−∠B=∠C
C .BC:AC:AB=3:4:5
D .∠A:∠B:∠C=3:4:5
3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A . 5，6，7 B . 4，5，6 C . 6，7，8 D . 5，12，13
4.两个边长分别为 a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是 c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）

A .(a+b)2=c2
B .(a−b)2=c2
C .a2+b2=c2
D .a2−b2=c2
5.如图，已知 CD=3,AD=4,∠ADC=90°,BC=12,AB=13 ， 则图中阴影部分的面积为（ ）
A . 12 B . 24 C . 36 D . 48
6.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A . 4，5，6 B . 3，4，5 C . 2，3，4 D . 1，2，3
二、填空题
1.下列几组数：①8，15，17；②1，2， 3；③0.3，0.4，0.5；④ 16 ， 18 ， 110；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ________ ．（填序号）
2.如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为 ________ ．
3.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ= ________ ，△PQR的周长等于 ________ ．
4.有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ________ ．
5.已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 ________ ．（只填序号）
①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由 a ， b ， c可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是 b22 ．
6.按下列数据的规律填写：3，4，5，12，13，84，85，3612， ________ ，…．
7.直角三角形中两个锐角的差为 20∘ ， 则较大锐角的度数为 ________ ∘ ．
8.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是 ________
9.等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ________ ．
10.三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b） 2﹣c 2=2ab，则此三角形是 ________ 三角形（直角、锐角、钝角）．
三、作图题
1.在平面直角坐标系 xOy中， △ABC的顶点 A0,1 ， B2,0 ， C4,3均在正方形网格的格点上．
（1） 画出 △ABC关于y轴的对称图形 △A1B1C1 ， 并求出 △A1B1C1的面积；
（2） 已知点D的坐标为 1,−2 ， 判断 △ABD的形状，并说明理由．
2.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.
（1） 在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= 10 .
（2） 在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= 5 ，AC= 20 ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.
3.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， △ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）．
（1） 请作出 △ABC关于 x轴对称的 △A'B'C'；
（2） 判断 △ABC的形状并说明理由．
4.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
四、综合题
1.如图，P是等边 △ABC内的一点，连接 PA，PB，PC ， 以 BP为边作 ∠PBQ=60° ， 且 BQ=BP ， 连接 CQ.若 PA：PB：PC=3：4：5 ， 连接 PQ.
（1） 证明： △ABP≌△CBQ；
（2） 求 ∠BQC的度数.
2.为了探索代数式 x2+1+(8−x)2+25 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 AC=x2+1 ， CE=(8−x)2+25 则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1） 我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 x2+1+(8−x)2+25 的最小值等于 ________ ，此时x= ________ ；
（2） 题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
（3） 请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 x2+4+(12−x)2+9 的最小值．
3.为了庆祝建校八十周年，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长 BC＝20 cm，宽 AB＝16 cm的长方形纸片 ABCD；②将纸片沿着直线 AE折叠，使点 D恰好落在 BC边上的 F处……请你根据①②步骤解答下列问题．
（1） 找出图中的∠ FEC的余角；
（2） 计算 EC的长．
4.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 12 ， 我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在 △ABC中，如果 ∠A=80°,∠B=40° ， 那么 ∠A与 ∠B互为“友爱角”， △ABC 是“友爱三角形”．
（1） 如图1， △ABC是“友爱三角形”，且 ∠A与 ∠B互为“友爱角”（ ∠A>∠B）， ∠ACB=90° ．
①求 ∠A,∠B的度数．
②若 CD 是 △ABC中 AB边上的高， 则 △ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗？ 为什么？
（2） 如图2， 在 △ABC中， ∠ACB=70°,∠A=66° ， D是边 AB上一点（不与点 A,B重合），连接 CD ， 若 △ACD是“友爱三角形”， 且 ∠ADC与 ∠ACD 互为“友爱角”， 直接写出 ∠ACD的度数．
5.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC.
（1） △ACD是直角三角形吗？为什么？
（2） 小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
五、解答题
1.如图，在直角三角形 ABC ， ∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13 ．
（1） 求 AC的长．
（2） 试判断 △ACD的形状．
（3） 求出四边形 ABCD的面积．
2.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x 2+y 2=z 2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数.
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．
3.已知三角形的三边分别为a，b，c，且a=m﹣1，b=2 m ， c=m+1（m＞1）．
（1）请判断这个三角形的形状．
（2）试找出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．
六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.