初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）第十二章 三角形二、全等三角形12.4 全等三角形课时练习

这是一份初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）第十二章 三角形二、全等三角形12.4 全等三角形课时练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，A在O的正北方向，B在O的正东方向，且A、B到点O的距离相等．甲从A出发，以每小时60千米的速度朝正东方向行驶，乙从B出发，以每小时40千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点O处的观察员发现甲、乙两人之间的夹角为45°，即∠COD=45°，此时甲、乙两人相距（ ）
A . 80千米 B . 50 2千米 C . 100千米 D . 100 2千米
2.已知直线DE与不等边△ABC的两边AC，AB分别交于点D，E，若∠CAB=60°，则图中∠CDE+∠BED=（ ）
A . 180° B . 210° C . 240° D . 270°
3.下列三角形中，一定全等的是（ ）
A . 甲和乙 B . 甲和丙 C . 乙和丙 D . 都不全等
4.有下列命题；
①形状相同的两个三角形全等；②有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形；
③全等三角形对应边上的高相等；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
其中真命题的个数有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
5.用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
6.如图，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要（ ）
​
A . AB=CD B . EC=BF C . ∠A=∠D D . AB=BC
二、填空题
1.如图，有一座小山，现要在小山 A ， B的两端开一条隧道，施工队要知道 A ， B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点 A和点 B的点 C ， 连接 AC并延长到 D ， 使 CD＝ CA ， 连接 BC并延长到 E ， 使 CE＝ CB ， 连接 DE ． 经测量 DE ， EC ， DC的长度分别为800 m，500 m，400 m，则 A ， B之间的距离为 ________ m．
2.超重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 ________ ．
3.桥梁的斜拉钢索往往是三角形结构，这主要是利用了三角形的 ________ ．
4.大桥的钢梁，起重机的支架等，都采用三角形结构，这是因为三角形具有 ________ ．
5.“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是 ________ ，这个逆命题 ________ (填“成立”或“不成立”).
6.命题“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式是 ________ 它是 ________ 命题（填“真”或“假”）．
三、综合题
1.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
（1） 着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2） 若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
2.已知：∠AOB＝60°小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺来作∠AOB的角平分线.
（1） 如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线.试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
（2） 如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等.请问小新的观点是否正确，为什么？
（3） 如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由.
3.我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1） 如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB 2+CD 2＝AD 2+BC 2；
（2） 如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
4.根据题意，回答下列各题：
（1） 下列图中具有稳定性是 ________ （填序号）
（2） 对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
（3） 图5所示的多边形共 ________ 条对角线
四、解答题
1.▱ABCD中，点E在AD上，DE=CD，请仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，画出∠C的角平分线；
（2）在图2中，画出∠A的角平分线．
2.如图，点A、B，C、D在同一条直线上， △ACE≌△DBF ， 已知 AC=5 ， BC=2 ， 求AD的长．
3.如图，给出三个等量关系：①AD=BC ②∠D=∠C③∠DAB=∠CBA，请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出所有真命题（写成“已知…，求证…”的形式），并选其中一个加以证明．
五、阅读理解
1.在学习乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式 x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵ (x+2)2≥0，∴当 x=−2时， (x+2)2的值最小，最小值是0，
∴ (x+2)2+1≥1，∴当 x=−2时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴ x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 填空： m2+8m+_=(m+4)2；
（2） 若 y=x2+2x−3 ， 当 x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3） 已知a、b、c是 △ABC的三边长，满足 a2+b2=12a+8b−52 ， 且c的值为代数式 −x2+6x−5的最大值，判断 △ABC的形状，并说明理由．
2.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
3.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边 ΔABC中， M是 BC边上一点（不含端点 B ， C) ， N是 ΔABC的外角 ∠ACH的平分线上一点，且 AM=MN ． 求证： ∠AMN=60° ．
（1） 点拨：如图②，作 ∠CBE=60° ， BE与 NC的延长线相交于点 E ， 得等边 ΔBEC ， 连接 EM ． 易证： ΔABM≅ΔEBM(SAS) ， 请完成剩余证明过程；
（2） 拓展：如图③，在正方形 A1B1C1D1中， M1是 B1C1边上一点（不含端点 B1 ， C1) ， N1是正方形 A1B1C1D1的外角 ∠D1C1H1的平分线上一点，且 A1M1=M1N1 ， 求证： ∠A1M1N1=90° ．
（3） 思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明 ∠AMN=60°、（2）中证明 ∠A1M1N1=90°是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．