初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）第十二章 三角形二、全等三角形12.4 全等三角形综合训练题

这是一份初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）第十二章 三角形二、全等三角形12.4 全等三角形综合训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形 ABCD中， E，F分别是 BC，AB上的点， DE，CF相交于点 M，N是 DF的中点，若 AF=1 ， CE=BF=2 ， 则 MN的长为（ ）
A . 32 B . 102 C . 2 D .5
2.下图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断 △ACD 与下列哪一个三角形全等？（ ）
A . △ACF B . △AED C . △ABC D . △BCF
3.数学课上，小王同学用尺规在黑板上作 ∠AOB的角平分线，先以点 O为圆心，适当长度为半径画弧，交 OA，OB于点 D，E ， 分别以点 D，E为圆心，以大于 12DE的长为半径画弧，两弧在 ∠AOB内交于点 C ， 作射线 OC ， 则 OC就是 ∠AOB的平分线．根据全等知识我们知道 △EOC≌△DOC ， 则 △EOC≌△DOC所用到的判定定理是（ ）
A . AAS B . ASA C . SAS D .SSS
4.下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A .
B .
C .
D .
5.如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
​
A . SSS B . SAS C . ASA D . AAS
6.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若 a＞1且 b＞1 ， 则 a+b＞2；③全等三角形对应角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个
7.在衣柜抽屉中杂乱无章地放着10只红色的袜子和10只蓝色的袜子．这20只袜子除颜色不同外，其他都一样．现在房间中一片漆黑，你想从抽屉中取出两只颜色相同的袜子．最少要从抽屉中取出（ ）只袜子才能保证其中有两只配成颜色相同的一双．
A . 2只 B . 3只 C . 4只 D . 5只
二、填空题
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ________
2.如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ________ ．
3.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 ________
4.三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝2，AH＝6，那么四边形ABCD的面积等于 ________ .
5.如图，正方形 MNKT由8个全等的直角三角形和正方形 EFGH拼接而成，记图中正方形 MNKT ， 正方形 ABCD ， 正方形 EFGH的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ， 若 S1−S2+S3=10 ， 则边 AB的长度为 ________ ．
6.对顶角相等的逆命题是 ________ 命题（填写“真”或“假”）．
7.数学来源于生活，又服务于生活．如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是 ________
8.说说你的理由：
如图，这使一个栅栏不变形，工人在栅栏的背面加钉了一根木条，这样做的道理是： ________ ．
9.如图，在直线上依次摆着 7个正方形，已知倾斜放置的 3个正方形的面积分别为 1 ， 2 ， 3 ， 水平放置的 4个正方形的面积是 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 则 S1+2S2+2S3+S4= ________ ．
10.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 ABCD、 BEFG、 AHIG均为正方形．若 AD=5 ． EI=7 ， 则正方形 AHIG的面积为 ________ ．
三、综合题
1.若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，
解决下列问题：
（1） 如图1，正方形 ABCD中， E是 CD上的点，将△ BCE绕 B点旋转，使 BC与 BA重合，此时点 E的对应点 F在 DA的延长线上，则四边形 BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2） 如图2，已知四边形 ABCD是“直等补”四边形， AB＝ BC＝5， CD＝1， AD＞ AB ， 点 B到直线 AD的距离为 BE ．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
2.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1） 思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ________ ，故EF、BE、DF之间的数量关系
为 ________ ．
（2） 类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为 ________ ，并给出证明．
（3） 联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的长．
3.【综合与实践学习】：
阅读下面的证明过程：如图1， △ACB、 △ADC和 △BEC都是直角三角形，其中 AC=BC ， 且直角顶点都在直线l上，求证： △ACD≌△CBE ．
证明：由题意， ∠BCE+∠ACD=180°−90°=90° ， ∠DAC+∠ACD=90° ．
∴ ∠DAC=∠BCE ．
在 △ACD和 △CBE中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC ，
∴ △ACD≌△CBE ．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
请结合以上阅读，解决下列问题：

（1） 如图2，在 △ABC中， ∠BAC=90° ， AB=AC ， 过点A作直线 AE ， BD⊥AE于点D， CE⊥AE于点E，探索 BD、 DE、 CE之间的数量关系，并证明你的结论．
（2） 如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过 90°到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆 OM的高度是 ． （不必书写解题过程）
（3） 如图4， △ABC和 △ADE都是等腰直角三角形， ∠ACB=∠AED=90° ， AC=BC ， AE=DE ， 且点E在 BC上，连接 BD ， 思考： BD与 CE之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．
4.（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， 点E是 BC的中点，若 AE是 ∠BAD的平分线，试判断 AB ， AD ， CD之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长 AE交 DC的延长线于点F，易证 △AEB≌△FEC ， 得到 AB=CF ， 从而把 AB ， AD ， CD转化在一个三角形中即可判断： AB ， AD ， CD之间的等量关系为 ；
（2）如图②，在 △ABC中， ∠B=90° ， AB=1 ， AD是 △ABC的中线， CE⊥BC ， CE=3 ， 且 ∠ADE=90° ， 求 AE的长；
（3）如图③， CB是 △AEC的中线， CD是 △ABC的中线，且 AB=AC ， 判断线段 CE与线段 CD的数量关系，并证明 ∠BCD=∠BCE ．
5.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
（1） 如图1，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围.
我们可以延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，根据SAS可证△ADC≌△MDB，所以BM=AC.接下来，在△ABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： ________ ；
（2） 如图2，AD是△ABC的中线，点E在AC边上，BE交AD于点F，且AE=EF，请参考（1）中的方法求证：AC=BF；
（3） 如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB的中点，连接CE，ED，且CE⊥DE，试猜想线段BC，CD，AD之间的数量关系，并予以证明.
四、解答题
1.图为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离（不能直接测量），请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB的长（要求画出草图，写出测量方案和理由）．
2.小明是这样完成“作∠MON的平分线”这项作业的：
“如图，①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B；②分别作线段OA、OB的垂直平分线l1、l2（垂足分别记为C、D），记l1与l2的交点为P；③作射线OP，则射线OP为∠MON的平分线”．
你认为小明的作法正确吗？如果正确，请你给出证明，如果不正确，请指出错在哪里．
3.如图点 C在线段 AB上， AD∥ EB ， AC=BE ， AD=BC ， F是 DE的中点，试探索 CF与 DE的位置关系，并说明理由.
4.我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄 AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 ∠BAC ， 且 AE=AF=DE=DF ．

（1） 求证： ∠DAE=∠DAF ．
（2） 由（1）可得伞圈 D在伞圈 AP上滑动．如图1，伞打开时 ∠BAC=120° ， AE=20cm；当伞缩拢到图2状态时， ∠BAC=60°时，伞圈 D下滑的距离 DD1长是多少？
5.在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 ABCD进行测量规划使用，如图，点 E、F处是它的两个门，且 DE=CF ， 要修建两条直路 AF、BE ， AF与 BE相交于点 O（两个门 E、F的大小忽略不计）．
（1） 请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
（2） 同学们测得 AD=4米， AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形 OBCF地上再修一条 2.5米长的直路，这条直路的一端在门 F处，另一端 P在已经修建好的路段 OB或花园的边界 BC上，并且另一端 P与点B处的距离不少于 1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
五、阅读理解
1.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边 ΔABC中， M是 BC边上一点（不含端点 B ， C) ， N是 ΔABC的外角 ∠ACH的平分线上一点，且 AM=MN ． 求证： ∠AMN=60° ．
（1） 点拨：如图②，作 ∠CBE=60° ， BE与 NC的延长线相交于点 E ， 得等边 ΔBEC ， 连接 EM ． 易证： ΔABM≅ΔEBM(SAS) ， 请完成剩余证明过程；
（2） 拓展：如图③，在正方形 A1B1C1D1中， M1是 B1C1边上一点（不含端点 B1 ， C1) ， N1是正方形 A1B1C1D1的外角 ∠D1C1H1的平分线上一点，且 A1M1=M1N1 ， 求证： ∠A1M1N1=90° ．
（3） 思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明 ∠AMN=60°、（2）中证明 ∠A1M1N1=90°是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．
2.阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为 90° ， 于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1） 问题解决：如图1，在等腰直角 △ABC中， ∠ACB=90° ， AC=BC ， 过点C作直线 DE ， AD⊥DE于D， BE⊥DE于E，求证： △ADC≌△CEB；
（2） 问题探究：如图2，在等腰直角 △ABC中， ∠ACB=90° ， AC=BC ， 过点C作直线 CE ， AD⊥CE于D， BE⊥CE于E， AD=3.2cm ， DE=2.3cm ， 求 BE的长；
（3） 拓展延伸：在平面直角坐标系中， A5，2 ， 点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， △ABC为等腰直角三角形；
①如图3，当 ∠CBA=90°时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
3.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．