海南省文昌中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

这是一份海南省文昌中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知函数 f 等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合 A   1，0，1，2， B  x | 1  x  2，则 A  B  （
A．  1，0，1，2B． 0，1，2C．  1，0，1
2．已知复数 z  i(2  i) ，则 z  （）
）
D． 0，1
A．1B．2C． 2
3．已知锐角α满足5csα 1 ，则2 tanα 3sinα （）
D． 5
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A． 26 6
5
B． 2 6
5
C． 12 6D． 6
5
6
5
4．已知函数 f ( x) 
1
lga x
(a＞0 且 a≠1)
，若 f (2)  f (4)  3 ，则a  （
）
A．3
B．2
C．4
D．1
1  9x
函数 f ( x)  3x ( x4  1)
的部分图象大致为（）
B．
C．D．
sinθ sinθ π  1sinθ 5π 
3
6
已知
，则

（）

6
3
3
3
C． 3D． 6
33
x
若 f  x  ln x2 1  1 ，设a  f 3, b  f ln2, c  f 20.3  ，则a, b, c 的大小关
系为（）
c  a  b
b  c  aC． a  b  c
π
3
4
2x  π
D． a  c  b
已 知 函 数 f ( x)  2 cs x  2 cs x  1, 3 ,在 x θ处 取 得 最 小 值 ， 则
sinθ 3 sinθ 3π  （）
2


3
3
A．B．1C．3D． 2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
下列说法正确的是（）
函数 y  x3 是奇函数且在(0, ) 单调递增
4  x
2x  3
函数 f ( x) 
的定义域为
若0  a  b 且c  0 ，则 b  c  b
a  ca
若 f 2x 1  2x2  x ，则 f  x  x  x
22
已知实数a  0, b  0 ，且满足a  b  2 ，则（）
a2  b  0B． a2  b2  2
1  1  2
ab
lg
2 a  lg2
b ≤ 0
若函数 f ( x)  sin x  a cs x
图象的一条对称轴方程为 x  2π，则（）
3
a 3 3
a  
π
3
3
 π 5π
f ( x) 图象的一条对称轴为直线 x  
3
f ( x) 在

, 上单调递增
36 
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。
小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图 1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇
5π
形石雕的形状(如图 2)，在扇形 AOB 中，∠AOB= 6 ，OA=10 cm，则扇形 AOB 的
面积为cm2.
已知函数 f (x) 
ax1, (x  1)
，满足对任意 x
 x ，都有 f (x1 )  f (x2 )  0 成立，
(a  2)x  3a,(x  1)
则 a 的取值范围是．
x1  x2
12
设函数 f  x 的定义域为R ，满足 f 1 x   f 1 x, f 1 x  f 1 x ．当x 1, 1时， f  x  x2 1 ，则函数 f ( x) 最小正周期为；方程 f  x  lg x  0 有且仅有个实数解
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 13 分）
nn
已知数列a 的前n 项和 S  n2 ，其中n  N* .
求数列an的通项公式；
若对于任意正整数n ，都有
1
a1a2
 1
a2a3
L
1
anan1
 λ，求实数λ的最小值.
16.（本小题满分 15 分）
已知函数 f ( x)  cs(2π x) cs x  csπ x  cs x .
2
 

求 f ( x) 的单调递增区间；
把 f ( x) 的图象向左平移φ(φ 0) 个单位长度，得到 g( x) 的图象. 若 g( x) 的图
象关于直线 x  π对称，求φ的最小值.
3
17.（本小题满分 15 分）
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC .
求证：平面 PAC⊥平面 PBC；
若 AC=5，BC=12，三棱锥 P-ABC 的体积为 100，求二面角 A-PB-C 的余弦值.
18.（本小题满分 17 分）
已知函数 f ( x)  a ln x  1  a , a  R .
x
若a  2 ，求曲线 y  f ( x) 在点1, f (1)处的切线方程；
当a  0 时，求 f ( x) 的单调区间；
若 1  a  1 ，求函数 g( x)  f ( x)  1 的零点个数.
22
19.（本小题满分 17 分）
3
x2  y2 2
已知椭圆 C： a2
（a＞b＞0）的离心率为
b22
，短轴长为2，F1, F2 分别
为椭圆的左右焦点，点 A 是椭圆 C 上一动点.
求椭圆 C 的方程；
已知直线 x  my  3 与椭圆 C 交于 P, Q 两点.
① 若 P, Q
中点的横坐标为
3 ，求
2
m 的值；
② 已知点 D(2,1)，直线 DP, DQ 与直线 x  3 分别交于点 M , N，平面内是否存在一点 H，使得四边形 DMHN 为平行四边形. 若存在，求出点 H 的坐标，
若不存在，请说明理由.
2025—2026 学年度第一学期高三第一次月考答案
数学
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
A
B
D
A
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
BC
12． 125π13． 0  a  3
14．8；6
34
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．解：
n1
（1）当n  2 时， S (n 1)2 ，3 分
nnn1
则a  S  S n2  (n 1)2  2n 1，5 分
当n  1 时， a1  S1  1 ，满足上式，所以an  2n 1
…6 分
1
（2）由1
 1 1
1
…8 分


anan1(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1
1 1L1 1 1 1   1  1  1  L 1 11

a aa aa a
2 3 
2  35 
 2n 12n 1 
1 22 3
n n1

…10 分
 1 1 1  1  1 L11  1 11  1………12 分
2 3352n 12n 1 2 2n 1 2

所以λ 1 ，即λ的最小值为 1
…13 分
22
解：
f ( x)  cs(2π x) cs x  csπ x  cs x  cs2 x  sin x cs x1 分
2
 

 1  cs 2x  1 sin 2x 
2 sin 2x  π  1
…3 分
4

2

222
, k
由2kπ π  2x  π  2kπ π Z
…5 分
242
, k
得 kπ 3π  x  kπ π Z
…6 分
π
8
88
所以 f ( x) 的单调递增区间为kπ 3π π
(k  Z )
…7 分
8 , k
g( x) 2 sin 2x  2φ π  1
4
2
2
由 (1) 知

…9 分
若 g( x) 的图象关于直线 x  π对称,
3
sin 2 ππ
11π
则   2φ   sin 2φ
34
  1
12
…11 分

, k
所以 2φ 11π  kπ π N *
…13 分
122
, k
解得 φ 1 kπ 5π N *
…14 分
224
因为φ 0 ，所以取k  1，得φ的最小值为 7π15 分
24
解：
证明：由题意得 PA⊥平面 ABC，因为 BC  平面 ABC，所以 PA⊥BC …3 分又因为 AC⊥BC， PA, AC  平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC, ……5 分又因为 BC  平面 PCB，所以平面 PAC⊥平面 PBC.……6 分
因为 AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以 S
ABC
 1 12  5  30
2
又因为三棱锥 P-ABC 的体积为 100，即得100  1  PA  30PA  10
3
由题意可得以 A 为原点，分别以平行于 BC，及 AC, AP
所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图, 则
n  PB  12x  5 y  10z  0
n  AP  10z  0
……8 分
令 x  5 ，得 y  12, z  0 ，则n  (5,12,0)
设平面 PBC 的一个法向量为m  (a,b, c) ，则令b  2 ，得a  0, c  1 ，则m  (0,2,1)
……11 分
m  PB  12a  5b  10c  0
m  CB  10a  0
…13 分

设二面角 A-PB-C 为θ，则csθ| cs  n, m | | m  n | 
| m || n |
2 12
 24
13  5
65
5 14 分
所以锐二面角 A-PB-C 的余弦值为 24 5
65
…15 分
解：
（1）若a  2 ，则 f ( x)  2 ln x  1 ， f ( x)  2  1
，x>01 分
x
所以 f (1)  3 ， f (1)  1

xx2
…3 分
因此曲线 y  f ( x) 在点1, f (1) 处的切线方程为 y  3x  4
（2） f ( x)  a  1  a  ax  (1  a) ，x>0

…4 分
xx2x2
令 f ( x)  0 ，得
x  1  a
a
…5 分
x  0, 1  a 
x  1  a ,
当 00

xx2x2
令 f ( x)  0 ，得
x  1  a  0
a
…11 分
所以当0  x  1  a 时， f ( x)  0 ， f ( x) 单调递减;
a
当 x  1  a 时,
a
f ( x)  0 ， f ( x) 单调递增，
f ( x)
 f  1  a 
a
因此min

…13 分
11  a
f  1  a   f (1)  1  a  1
a
当  a  1 时, 0 
2a
 1 , 且 

214 分
由 (2) 可知，存在 x
(1,2) ，满足 f ( x )  1 ,
0
又当 x  0 且 x  0 时,
02
f ( x)  
…16 分
故 g( x) 有两个零点17 分
解：
6
因为离心率为
2 ，所以 c 2 , 故a 
…2 分
2a2
所以c  3 ，所以b2  a2  c2  3
x2  y2 
…3 分
故椭圆 C 的方程为 631
…5 分
①设 P( x1, y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ,
x  my  3
由x2  y2
63
，得（m2  2) y2  6my  3  0
 1
由  36m2 12(m2  2)  0 ，得m2  1
y1  y2
  6m m2  2
， y1 y2
3
m2  2
…7 分
 2
设 PQ 中点坐标为 3 , y

 ，则 y
0 
0
 y1  y2  
2
3m m2  2
…9 分
因为 3 , y
 在直线 PQ 上，所以 3  my
 3 ，即 y
  3
……10 分
2


所以
0 

3m  3
20
2
，解得m  
02m
…11 分
m2  22m
②存在点 H ( xH , yH ) 使得四边形 DMHN 为平行四边形，因为 D(2,1)在椭圆上，所以易知 x1  2 ， x2  2
设直线 DM 的方程为 y 1 
y1 1 ( x  2)
x1  2
…12 分
令 x  3 ，得 y
 y1 1  1 
y1 1
 1  (m  1) y1
M
x1  2
my1  1
my1  1
同理得 y
 (m  1) y2
…14 分
2
Nmy  1
又由①知 y1 y2
  1 2m
( y1
 y2 )
所以 y
 y  (m  1) y1  (m  1) y2  2(m  1)my1 y2  (m  1)( y1  y2 )

MN
my1  1
my2  1
(my1
 1)(my2
 1)
2(m  1)m 1 ( y  y )  (m  1)( y
 y )


2m  12
12
 0………16 分
(my1  1)(my2  1)
所以线段 MN 的中点坐标为(3,0)
连接 DH，则线段 DH 的中点坐标也为(3,0)，
xH  2  3
2
yH  1  0
2
由 D(2,1)，可得，
所以点 H 的坐标为 H (4,1)
…17 分