江西省南昌市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

这是一份江西省南昌市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝2a5B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a）3＝﹣6a3D．a9÷a﹣3＝a12
3．（3分）把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，分式的值也扩大3倍，则在□中添加的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
4．（3分）如图，CA平分∠BCD，BC＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠CAE＝55°，则∠BAE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
5．（3分）小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．240°C．270°D．300°
6．（3分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图所示的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，面积记为S1，图中小正方形的面积记为S2．若S1＝8S2，则＝（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）北斗卫星导航系统（BDS）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到0.00000001秒．将0.00000001用科学记数法可表示为 ．
8．（3分）平面直角坐标系中，点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标是 ．
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 ．
11．（3分）已知2m＝a，8n＝b，m，n为正整数，则22m+3n＝ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝100°，若P是AB或AC上一点，当△DEP是以EP为底的等腰三角形时，则∠EDP的度数为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）（﹣1）2025+（π﹣3）0﹣2﹣1；
（2）（16a3﹣8a2+4a）÷4a．
14．（6分）先化简，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
15．（6分）解分式方程：．
16．（6分）如图，两个正方形边长分别为m，n．
（1）求阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）；
（2）当m+n＝8，mn＝12时，求此时阴影部分的面积的大小．
17．（6分）如图是8×7的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中过点A作AB的垂线l；
（2）在图2的AC上找一点D，使得∠ABD＝45°．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍．
（1）求奖品A，B的单价分别是多少元？
（2）根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？
19．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．
（1）如图1，若AD＝1.5，DE＝0.7，求BE的长；
（2）如图2，∠ACB的平分线与BE的延长线交于点F，连接AF，AF的延长线与CE的延长线交于点G，若∠GAD＝50°，求∠B的度数．
20．（8分）数学小组在研究式子M2﹣N2时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：
112﹣112＝0①
212﹣122＝1×3×99②
322﹣232＝1×5×99③
422﹣242＝2×6×99④
根据上述规律解决下列问题：
（1）填空：522﹣252＝ ×7×99；
（2）若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明；
（3）小智发现某一式子M2﹣N2（M≠N）的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，在AB的右侧作等边三角形ABD．
（1）若∠CAD＝30°，求∠CBD的度数；
（2）试判断∠CAD与∠CBD的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，作点D关于直线BC的对称点E，连接DE，CE，试判断∠BAC与∠ACE的数量关系，并证明．
2024-2025学年江西省南昌市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上）
1．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0．
解得；x≠1．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝2a5B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a）3＝﹣6a3D．a9÷a﹣3＝a12
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项不符合题意；
D、a9÷a﹣3＝a12，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，分式的值也扩大3倍，则在□中添加的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【分析】运用分数的基本性质进行变形求解．
【解答】解：∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为：
＝＝，
∴选项A不符合题意；
∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为：
＝＝，
∴选项B不符合题意；
∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为：
＝＝3×，
∴选项C符合题意；
∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为：
＝＝，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识对分式进行正确地变形．
4．（3分）如图，CA平分∠BCD，BC＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠CAE＝55°，则∠BAE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】由CA平分∠DCB，得∠ACB＝∠ACD，即可证明△ACB≌△ACD，得∠B＝∠D，所以∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD＝∠EAC＝55°，则∠BAC＝125°，所以∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝70°．
【解答】解：∵CA平分∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠D，
∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，
∵∠EAC＝∠D+∠ACD＝55°，
∴∠B+∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝125°﹣55°＝70°，
故选：C．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ACB≌△ACD是解题的关键．
5．（3分）小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．240°C．270°D．300°
【分析】根据三角形内角和定理得出∠BMC＝180°﹣（∠B+∠C），∠ANM＝180°﹣（∠D+∠E），结合对顶角相等得出∠AMN＝∠BMC，∠ANM＝∠DNE，在△AMN中，根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：如图，
在△BCM中，∠B+∠C+∠BMC＝180°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠B+∠C），
∵∠AMN＝∠BMC，
∴∠AMN＝180°﹣（∠B+∠C），
在△DEN中，∠D+∠E+∠DNE＝180°，
∴∠DNE＝180°﹣（∠D+∠E），
∵∠ANM＝∠DNE，
∴∠ANM＝180°﹣（∠D+∠E），
在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM＝180°，
∴∠A+180°﹣（∠B+∠C）+180°﹣（∠D+∠E）＝180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+180°，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝240°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
6．（3分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图所示的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，面积记为S1，图中小正方形的面积记为S2．若S1＝8S2，则＝（ ）
A．2B．C．D．
【分析】结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解．
【解答】解：由题意得，
（a+b）2＝8（a﹣b）2，
即a2+2ab+b2＝8（a2﹣2ab+b2），
整理，得18ab＝7（a2+b2），
∴＝，
∴＝＝，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识和数形结合思想．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）北斗卫星导航系统（BDS）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到0.00000001秒．将0.00000001用科学记数法可表示为 1×10﹣8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000001＝1×10﹣8．
故答案为：1×10﹣8．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（3分）平面直角坐标系中，点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标是 （1，﹣3） ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
9．（3分）计算：＝ ．
【分析】根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：•＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
10．（3分）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 220 ．
【分析】根据题干条件代值即可．
【解答】解：由题意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220．
故答案为：220．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键．
11．（3分）已知2m＝a，8n＝b，m，n为正整数，则22m+3n＝ a2b ．
【分析】将22m+3n变形为（2m）2•8n，然后代入计算即可．
【解答】解：∵2m＝a，8n＝b，
∴22m+3n＝22m•23n＝（2m）2•（23）n＝（2m）2•8n＝a2b，故答案为：a2b．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝100°，若P是AB或AC上一点，当△DEP是以EP为底的等腰三角形时，则∠EDP的度数为 20°或60°或80° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∠AED＝100°，
∴∠EDB＝60°，∠C＝∠B＝40°，
∵当△DEP是以EP为底的等腰三角形时，
当点P在AB上时，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠BED＝180°﹣100°＝80°，
∴∠EDP1＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
当点P在AC上时，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠CP2D＝∠BED＝80°，
∵∠EDG＝∠P2DH＝90°﹣80°＝10°，
∵DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∠C＝∠B＝40°，
∴∠CDH＝∠BDG＝50°，
∴∠EDP2＝180°﹣2×50°﹣2×10°＝60°，
当点P在AC上时，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH＝10°，
∴∠EDP3＝∠EDP2+∠P3DH+∠P2DH＝80°，
故答案为：20°或60°或80°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）（﹣1）2025+（π﹣3）0﹣2﹣1；
（2）（16a3﹣8a2+4a）÷4a．
【分析】（1）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2025+（π﹣3）0﹣2﹣1
＝
＝；
（2）（16a3﹣8a2+4a）÷4a
＝16a3÷4a﹣8a2÷4a+4a÷4a
＝4a2﹣2a+1．
【点评】本题考查了整式的除法，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（6分）先化简，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件把x＝0代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
∵x﹣1≠0且x+1≠0且x﹣2≠0，
∴x可以取0，
当x＝0时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
15．（6分）解分式方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程去分母得：得x+1﹣x+2＝﹣3x，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2得：x﹣2≠0．
所以，原分式方程的解为 x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．（6分）如图，两个正方形边长分别为m，n．
（1）求阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）；
（2）当m+n＝8，mn＝12时，求此时阴影部分的面积的大小．
【分析】（1）根据S阴影部分＝S△ADC﹣S△AEF进行解答即可；
（2）将S阴影部分＝化为[（m+n）2﹣3mn]再代入计算即可．
【解答】解：（1）如图，S阴影部分＝S△ADC﹣S△AEF
＝m2﹣n（m﹣n）
＝；
（2）∵m+n＝8，mn＝12，
∴S阴影部分＝；
＝（m2﹣mn+n2）
＝（m2+2mn+n2﹣3mn）
＝[（m+n）2﹣3mn]
＝×（64﹣3×12）
＝14．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
17．（6分）如图是8×7的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中过点A作AB的垂线l；
（2）在图2的AC上找一点D，使得∠ABD＝45°．
【分析】（1）取格点H，作直线AH即可；
（2）构造等腰直角三角形ABT，BT交AC于点D，点D即为所求．
【解答】解：（1）如图，直线l即为所求；
（2）如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍．
（1）求奖品A，B的单价分别是多少元？
（2）根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？
【分析】（1）设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即奖品A的单价），再将其代入（x+10）中，即可求出奖品B的单价；
（2）设购买m件奖品A，则购买（60﹣m）件奖品B，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是（x+10）元，
根据题意得：，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15+10＝25（元）．
答：奖品A的单价是15元，奖品B的单价是25元；
（2）设购买m件奖品A，则购买（60﹣m）件奖品B，
根据题意得：15m+25（60﹣m）≤1100，
解得：m≥40，
∴m的最小值为40．
答：奖品A至少需要购买40件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．
（1）如图1，若AD＝1.5，DE＝0.7，求BE的长；
（2）如图2，∠ACB的平分线与BE的延长线交于点F，连接AF，AF的延长线与CE的延长线交于点G，若∠GAD＝50°，求∠B的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）由“AAS”可证△BCF≌△ACF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°．
∴∠A+∠ACD＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°
∴∠A＝∠BCE．
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
∴CD＝BE，AD＝CE．
∵AD＝1.5，DE＝0.7，
∴BE＝0.8．
（2）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF．
∵AC＝BC，
∴△BCF≌△ACF（AAS）．
∴∠B＝∠CAF．
由（1）△ACD≌△CBE 可得∠B＝∠ACD．
∴∠CAF＝∠ACD．
∵∠GAD＝50°，∠ADC＝90°，
∴∠G＝40°，
∴∠GCA＝70°．
∴∠B＝70°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，由“AAS”可证△ADC≌△CEB是本题的关键．
20．（8分）数学小组在研究式子M2﹣N2时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：
112﹣112＝0①
212﹣122＝1×3×99②
322﹣232＝1×5×99③
422﹣242＝2×6×99④
根据上述规律解决下列问题：
（1）填空：522﹣252＝ 3 ×7×99；
（2）若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明；
（3）小智发现某一式子M2﹣N2（M≠N）的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值．
【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可．
（3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为112﹣112＝0×2×99＝（1﹣1）×（1+1）×99，
212﹣122＝1×3×99＝（2﹣1）×（2+1）×99，
322﹣232＝1×5×99＝（3﹣2）×（3+2）×99，
422﹣242＝2×6×99＝（4﹣2）×（4+2）×99，
所以522﹣252＝（5﹣2）×（5+2）×99＝3×7×99．
故答案为：3．
（2）我发现的规律是：（10a+b）2﹣（10b+a）2＝（a﹣b）×（a+b）×99．
证明如下：
左边＝100a2+20ab+b2﹣100b2﹣20ab﹣a2
＝99（a2﹣b2）
＝（a﹣b）×（a+b）×99
＝右边，
故此等式成立．
（3）因为M2﹣N2（M≠N）的结果恰好是一个整数的平方，
所以99（a﹣b）（a+b）是一个整数的平方．
因为99（a﹣b）（a+b）＝9×11×（a﹣b）（a+b），
又因为1≤a，b≤9，
所以，
解得，
所以M＝6×10+5＝65．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，在AB的右侧作等边三角形ABD．
（1）若∠CAD＝30°，求∠CBD的度数；
（2）试判断∠CAD与∠CBD的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，作点D关于直线BC的对称点E，连接DE，CE，试判断∠BAC与∠ACE的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据全等三角形的性质性质及等腰三角形的性质即可解答；
（2）设∠CAD＝α，根据全等三角形的性质性质及等腰三角形的性质即可解答；
（3）连接CD，BE，根据题意及全等三角形的性质，证明△BDE≌△ACD（SAS），得到△CDE 为等边三角形，则∠DCE＝60°，设∠BAC＝β，则∠CAD＝60°﹣β，利用等腰三角形的性质即可解答；
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAD＝∠ABD＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝75°﹣60°＝15°；
（2）∠CAD＝2∠CBD，理由如下：
设∠CAD＝α，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAD＝∠ABD＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣α，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠CAD＝2∠CBD；
（3），证明如下：
如图，连接CD，BE，
∵点D与点E关于BC对称，
∴△BDC≌△BEC．
∴∠DBC＝∠EBC，BD＝BE，
由（2）可知∠CAD＝2∠CBD，
∴∠DBE＝∠CAD，
∵AB＝AC，△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD，BD＝BE，
∴△BDE≌△ACD（SAS）．
∴CD＝DE，
∴△CDE 为等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
设∠BAC＝β，则∠CAD＝60°﹣β，
∵AC＝AD，
∴，
∴，
即．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
C
C
B
D