江西省南昌市南昌县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江西省南昌市南昌县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（ ）
A．B．2C．3D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
5．（3分）等腰三角形一内角为100°，则底角度数是（ ）
A．100°或40°B．100°C．50°D．40°
6．（3分）已知△ABC的周长是24，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（3分）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）△ABC的两条中线AD、BE交于点F，连接CF，若△ABC的面积为24，则△ABF的面积为（ ）
A．10B．8C．6D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若一个正多边形的一个外角等于18°，则这个正多边形的边数是 ．
10．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 ．
11．（3分）如图，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为 °．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠B＝ °．
13．（3分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠（如图），点C、D分别落在M、N的位置上，已知∠EFB＝78°，那么∠AEM＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（12，6），∠ABO＝90°，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线BO运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持OA＝CD．当点C经过 秒时，△OAB与△OCD全等．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．（6分）已知：如图，D是△ABC中BC上一点，且BD＝CD，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，垂足为F．求证：BE＝CF．
16．（6分）已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝EB，∠A＝∠E，BC与DF交于点G．
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠CGD＝110°时，求∠GBD的度数．
17．（6分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
18．（6分）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）如图，AB＝AC，DB＝DC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）延长CD与AB的延长线交于E，延长AD到F，使DF＝DC，连接EF，若∠C＝100°，∠BAC＝40°，求证：△EBD≌△EFD．
20．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣5，4），B（﹣5，1），C（﹣1，1），D（﹣1，4）．若点P（a﹣1，b+2）在第一象限．且点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若将点P向左平移2个单位后，点P恰好落在长方形ABCD内（不含边界），求a的取值范围．
21．（8分）如图所示，根据图中的对话回答问题．
（1）王强是在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角为多少度？
五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
22．（10分）定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2．
①如图（2），当∠ACB＝90°时，求证：S1＝S2．
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，解答即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．
【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，则x的不可能的值是9，
故选：D．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（ ）
A．B．2C．3D．
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角Rt△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，DE＝1，
∴CD＝DE＝1，
又∵Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．掌握性质定理是解题的关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点A（2，3）关于y轴对称点的坐标为B（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3分）等腰三角形一内角为100°，则底角度数是（ ）
A．100°或40°B．100°C．50°D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵100°＞90°，
∴100°的角为等腰三角形的顶角，
∴这个等腰三角形的两个底角都＝＝40°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）已知△ABC的周长是24，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】首先我们根据已知推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，且AD⊥BC
∴BD＝DC＝BC
∵AB+BC+AC＝2AB+2BD＝24，
∴AB+BD＝12
∴AB+BD+AD＝12+AD＝20
解得AD＝8
故选：B．
【点评】做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求．
7．（3分）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形．
根据概念就可找到它们之间的关系．
【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：C．
【点评】考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．
8．（3分）△ABC的两条中线AD、BE交于点F，连接CF，若△ABC的面积为24，则△ABF的面积为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【分析】由中线得：S△ABD＝S△ADC、S△BDF＝S△FDC，同理得：S△ABF＝S△BFC，所以三角形ABF的面积等于24÷3＝8．
【解答】解∵AD是中线，
∴S△ABD＝S△ADC，S△BDF＝S△FDC，
∴S△ABD﹣S△BDF＝S△ADC﹣S△FDC，
即S△ABF＝S△ACF，
同理得：S△ABF＝S△BFC，
∴S△ABF＝S△ACF＝S△BFC，
∴S△ABF＝S△ABC＝×24＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积问题，应用了三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，与各三角形面积的和与差相结合，分别求出各三角形的面积；本题是求三角形的面积，思考的方法有两种：①直接利用面积公式求；②利用面积的和与差求；本题采用了后一种方法．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若一个正多边形的一个外角等于18°，则这个正多边形的边数是 20 ．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷18°＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
10．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为 3cm ．
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7（cm），而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故答案为：3cm
【点评】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
11．（3分）如图，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为 28 °．
【分析】如图，由平行线的性质可求得∠1＝∠C，再根据三角形外角的性质可求得∠A．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠C＝50°，
又∠1＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠1﹣∠B＝50°﹣22°＝28°，
故答案为：28．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠B＝ 60 °．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A+∠B的度数，结合∠A﹣∠B＝30°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝30°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣30°＝150°，
又∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠B＝＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
13．（3分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠（如图），点C、D分别落在M、N的位置上，已知∠EFB＝78°，那么∠AEM＝ 24° ．
【分析】由折叠、平行的性质，得到∠CEF与∠EFB的度数，再利用平角、角的和差关系求出∠AEM即可．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠EFB＝∠CEF＝78°．
由折叠的性质知∠CEF＝∠MEF＝78°．
∴∠AEM＝180°﹣∠CEF﹣∠MEF
＝180°﹣78°﹣78°
＝24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了平行线和折叠，掌握平行线、折叠的性质是解决本题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（12，6），∠ABO＝90°，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线BO运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持OA＝CD．当点C经过 0秒或3秒或9秒或12秒． 秒时，△OAB与△OCD全等．
【分析】根据已知条件得到AB＝6，OB＝12，当OC＝OB＝12时，当OC＝AB＝6时，当OC＝AB＝6时，△OAB与△OCD全等，于是得到结论．
【解答】解：∵点A（12，6），∠ABO＝90°，
∴AB＝6，OB＝12，
∵OA＝CD，
∴如图1，当OC＝OB＝12时，△OAB与△OCD全等，
∴BC＝24，
∴24÷2＝12秒；
当OC＝AB＝6时，△OAB与△OCD全等，
∴BC＝6，
∴6÷2＝3秒；
如图2，当OC＝AB＝6时，△OAB与△OCD全等，
∴BC＝18，
∴18÷2＝9秒．
t＝0时，也符合题意，
综上所述，当点C经过0秒或3秒或12秒或9秒时，△OAB与△OCD全等．
故答案为：0秒或3秒或12秒或9秒．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．（6分）已知：如图，D是△ABC中BC上一点，且BD＝CD，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，垂足为F．求证：BE＝CF．
【分析】根据AAS证△BDE≌△CDF，根据全等三角形的判定推出即可．
【解答】证明：∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDE≌△CDF，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS．
16．（6分）已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝EB，∠A＝∠E，BC与DF交于点G．
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠CGD＝110°时，求∠GBD的度数．
【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△EDF即可；
（2）由全等三角形的性质得∠ABC＝∠EDF，即∠GBD＝∠GDB，再由三角形的外角性质得∠GBD+∠GDB＝∠CGD＝110°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD＝EB，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝ED，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ABC≌△EDF，
∴∠ABC＝∠EDF，
即∠GBD＝∠GDB，
∵∠GBD+∠GDB＝∠CGD＝110°，
∴．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，证明△ABC≌△EDF是解题的关键．
17．（6分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用角平分线的性质，作∠ABC的平分线与直线l的交点解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及轴对称变换等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（6分）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度．
【分析】根据方向角的定义可以得到AD∥CE，则可以求得∠DAC的度数，根据∠BAC＝∠BAD+∠DAC即可求解．
【解答】解：根据题意得：∠ACE＝30°，∠BAD＝55°
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝55°+30°＝85°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣85°﹣30°＝65°．
故从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是65度．
【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）如图，AB＝AC，DB＝DC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）延长CD与AB的延长线交于E，延长AD到F，使DF＝DC，连接EF，若∠C＝100°，∠BAC＝40°，求证：△EBD≌△EFD．
【分析】（1）利用SSS证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质可得∠CAD＝∠BAD，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠CAD＝∠BAD＝20°，从而利用三角形内角和定理可得∠CDA＝60°，然后利用全等三角形的性质可得∠CDA＝∠BDA＝60°，从而利用平角定义可得∠BDE＝60°，再利用对顶角相等可得∠EDF＝∠ADC＝60°，从而可得∠BDE＝∠EDF＝60°，最后根据等量代换可得DB＝DF，从而利用SAS证明△EBD≌△EFD，即可解答．
【解答】证明：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠CAD＝∠BAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝20°，
∵∠C＝100°，
∴∠CDA＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝60°，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠CDA＝∠BDA＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠CDA﹣∠BDA＝60°，
∵∠EDF＝∠ADC＝60°，
∴∠BDE＝∠EDF＝60°，
∵DB＝DC，DF＝DC，
∴DB＝DF，
在△EBD和△EFD中，
，
∴△EBD≌△EFD（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣5，4），B（﹣5，1），C（﹣1，1），D（﹣1，4）．若点P（a﹣1，b+2）在第一象限．且点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若将点P向左平移2个单位后，点P恰好落在长方形ABCD内（不含边界），求a的取值范围．
【分析】（1）根据点P在第一象限可得a﹣1＞0，b+2＞0，再根据点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍得到b+2＝2（a﹣1），整理可得答案；
（2）将点P向左平移2个单位后，点P的横坐标为a﹣1﹣2，再根据点P恰好落在长方形ABCD内求出a的取值即可．
【解答】解：∵点P（a﹣1，b+2）在第一象限，
∴a﹣1＞0，b+2＞0，
∵点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，
∴b+2＝2（a﹣1），
∴b＝2a﹣4；
（2）∵将点P向左平移2个单位后，点P恰好落在长方形ABCD内（不含边界），
∴﹣5＜a﹣1﹣2＜﹣1，1＜b+2＜4，
∴﹣5＜a﹣3＜﹣1，1＜2a﹣4+2＜4，
∴﹣2＜a＜2，1.5＜a＜2，
∴1.5＜a＜2．
【点评】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形的变化—平移，解题的关键是掌握各个象限点的坐标特征以及平移的性质．
21．（8分）如图所示，根据图中的对话回答问题．
（1）王强是在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角为多少度？
【分析】（1）根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可；
（2）利用（1）中所求边数得出答案．
【解答】解：（1）1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
答：王强在求九边形的内角和；
（2）180°﹣60°＝120°，
答：少加的那个内角为120度．
【点评】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
22．（10分）定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2．
①如图（2），当∠ACB＝90°时，求证：S1＝S2．
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出AC＝DC，BC＝FC，∠ACB＝∠DCF＝90°，就可以得出△ABC≌△DFC而得出结论；
（2）如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ＝AP而得出结论；
（3）如图1，根据（2）可以得出S＝3S△ABC，要使S最大，就要使S△ABC最大，当∠AVB＝90°时S△ABC最大，就可以求出结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵正方形ACDE和正方形BCFG，
∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°．
在△ABC和△DFC中，
，
∴△ABC≌△DFC（SAS）．
∴S△ABC＝S△DFC，
∴S1＝S2．
（2）S1＝S2．
理由如下：
解：如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．
∴∠APC＝∠DQC＝90°．
∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，
∴AC＝CD，BC＝CF，
∵∠ACP+∠ACQ＝90°，∠DCQ+∠ACQ＝90°．
∴∠ACP＝∠DCQ．
在△APC和△DQC中
，
∴△APC≌△DQC（AAS），
∴AP＝DQ．
∴BC×AP＝DQ×FC，
∴BC×AP＝DQ×FC
∵S1＝BC×AP，S2＝FC×DQ，
∴S1＝S2；
（3）由（2）得，S是△ABC面积的三倍，
要使S最大，只需三角形ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，S有最大值．
此时，S＝3S△ABC＝3××3×4＝18．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．