江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：A.，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
B.，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
C.，该选项计算正确，故该选项符合题意；
D.，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 当时，下列二次根式没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：A． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意；
B． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意；
C． 当时，，该二次根式有意义，故本选项不符合题意；
D． 当时，，即没有意义，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
4. 如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：在直角三角形中，．
∴点P表示的数为．
故选：A．
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 小刚在化简时，整式看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
∵化简的结果是，
∴．
∴．
∴．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：____________．
答案：
解：

故答案：
8. __________．
答案：##
解：．
故答案为：．
9. 已知实数m满足，则代数式的值为__________．
答案：
解：，
，，
∴
．
故答案为：．
10. 如图，在中，，，，线段的垂直平分线交、于点和点，则的长度为__________．

答案：##
解：如图，连接，

在中，由勾股定理得，，
线段的垂直平分线交、于点和点，
，
设，则，
在中，
由勾股定理得，，
，
解得，
即．
故答案为：．
11. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时公里，则可列方程__________．
答案：
解：设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，
∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，
∴，
故答案为：
12. 如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为t秒．当是以为腰的等腰三角形时，则__________秒．
答案：或4
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
当时，，
则，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
；
当时，
，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形时，的值为或4，
故答案为：或4．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
答案：（1）（2）
解：（1）．
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：．
检验：当时，，，
是原方程的解．
14. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）图中线段BC的长为 ；
（3）ABC的面积为 ；
（4）点P在y轴上，且ABP的面积等于ABC的面积，则点P的坐标为 ．
答案：（1）A（3，4），B（0，2）；（2）；（3）；（4）（0，）或（0，）
解：（1）由图可知：
A（3，4），B（0，2）；
（2）BC==；
（3）S△ABC==；
（4）由题意可得：S△ABP=，
∵点P在y轴，则设P（0，a），
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为（0，）或（0，）．
15. 先化简：，再从中任选一个数，求式子的值．
答案：，（或）
解：
；
∵，
∴取时，原式=（或取，原式=）
16. 如图，图1为的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．

（1）图1中正方形的面积为___________，边长为___________
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：
Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ所作正方形的边长为．
②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹．
答案：（1）10，；
（2）①见解析；②见解析；
【小问1详解】
正方形的边长为：，面积为：，
故答案为：10，；
【小问2详解】
①如图所示的正方形即为所作；

②如图2中，正方形是所画的面积为8的格点正方形，
以点为圆心、为半径画弧，交数轴于点，则点的坐标为实数．

17. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
答案：（1），；
（2）
（3），理由见解析
【小问1详解】
解：，，
【小问2详解】
矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
【小问3详解】
剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：

①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝王明身高米；
（1）求风筝的垂直高度．
（2）若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
答案：（1）米；
（2）7米．
【小问1详解】
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
【小问2详解】
解：连接，由题意得，米，

，
（米），
（米），
他应该往回收线7米．
19. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
答案：（1）甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
（2）8件
【小问1详解】
解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据题意得：
解得∶，
经检验：是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
【小问2详解】
解：设甲种农机具最多能购买a件，则：
解得：
因为a为正整数，
所以甲种农机具最多能购买8件．
20. 课本上，我们利用数形结合思想探索了整式乘法的法则和一些公式．类似地，我们可以探索一些其他的公式．
【以形助数】
借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索．
（1）在其一角截去一个棱长为小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为___________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，因为，，，所以长方体①的体积为，类似地，长方体②的体积为___________，长方体③的体积为___________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果为___________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为___________．
【以数解形】
（5）对于任意数a、b，运用整式乘法法则证明（4）中得到的等式成立．
答案：（1）
（2），
（3）
（4）
（5）见解析
【小问1详解】
解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为，
所以截去后得到的几何体的体积为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：由题意得：．
故答案为：；
【小问4详解】
解：由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：
．
故答案为：；
【小问5详解】
解：∵
，
∴.
五、（本大题2小题，共18分）
21. 已知直线1为长方形的对称轴，，，点E为射线DC上一个动点，把沿直线折叠，点D的对应点恰好落在对称轴1上．

（1）如图，当点E在边上时，
①填空：点到边的距离是__________；（直接写出结果）
②求的长．
（2）当点E在边的延长线上时，（友情提醒：可在备用图上画图分析）
①填空：点到边距离是__________；（直接写出结果）
②填空：此时的长为__________．（直接写出结果）
答案：（1）①3 ②
（2）①8 ②10
【小问1详解】
解：设直线l交于点M，交于点N，
①如图1，点E在边上，则点在线段上，

四边形是长方形，，，
，，
直线l是矩形的对称轴，
，，，，
，，
由折叠得，，
，
点到边的距离是3，
故答案为：3．
②，，，
，
，
，，
，
解得，
的长为．
【小问2详解】
①如图2，点E在边的延长线上，则点线段的延长线上，

，，，
，
，
点到边的距离是8，
故答案为：8．
②，
，
，，，
，
解得，
故答案为：10．
22. 材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
答案：（1）①真；②
（2）或或或
【小问1详解】
解：①分式中，分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式；
②，
故答案为：①真；②；
【小问2详解】
解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或．
六、（本大题12分）
23. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．

（1）如图1，在中，，，D为垂足，为的“妙分线”．若
，则长为______；
（2）如图2，在中，，，D是延长线上一点，E为上一点，，连接并延长交于点F，平分，分别交，于点G，H，连接．求证：是的“妙分线”；
（3）如图3，在中，，．若为的“妙分线”，直接写出的长．
答案：（1）
（2）见解析 （3）3或
【小问1详解】
，，，
在中，由勾股定理有，
，
是的“妙分线”，
是等腰直角三角形，
；
【小问2详解】
，，平分，
，，
在和中
，
，即为等腰三角形，
，
在和中
，
，
，，
，
，即是直角三角形，
是的“妙分线”；
【小问3详解】
，
是等腰三角形，
是的“妙分线”，
点在的延长线上，，
∴当时，
，
在中，由勾股定理得①，
在中，由勾股定理得②，
②①得，解得，
将代入①，解得；
如图所示，当时，

设，
∴
∴
解得
∴
综上所述，的长为3或．