广东省广州市第十六中学2025届高三上期末数学试题（原卷版）-A4

这是一份广东省广州市第十六中学2025届高三上期末数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1 ，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①函数的最小正周期为；
②是函数图象一个对称中心；
③函数图象的一个对称轴方程为；
④函数在区间上单调递增
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（ ）
A. B. C. .D.
6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是（ ）
A. 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B. 函数可以是某个圆的“太极函数”
C. 正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
D. 是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”
10. 已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（ ）
A. 曲线是中心对称图形
B. 曲线圈成图形的面积为
C. 的最大值为
D. 的面积最大值为
11. 如果拉伸两个端头，哪一根绳子会打结？（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正数x，y满足，则的最大值为______．
13. 如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有______种．
14. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中.
分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）.
（1）根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，
（i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）；
（ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大?
参考公式: ；参考数据:.
16. 设数列的首项为常数，且．
（1）证明：等比数列；
（2）若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
（3）若是递增数列，求取值范围．
17. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若函数存在零点，求a的取值范围；
（3）若，证明：．
18. 已知点是双曲线上任意一点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）已知点，求的最小值．
19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.
48.7
3.5
91
1204
1.1
9.4
388.1