【九上HK数学】安徽省六安市第九中学2025——2026学年 上学期 九年级期末数学试卷

这是一份【九上HK数学】安徽省六安市第九中学2025——2026学年 上学期 九年级期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2
1．二次函数 = 1 ( + 2)2 + 3 的顶点坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3） 2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（）
A．B．C．D．
明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失 430 年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间。人物面部表情丰富，被游戏《黑神话·悟空》引用，动漫
《西行记》也涉及相关神话人物名称。古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度 3m，则腰部以下约为（）
A．1.854 mB．1.584 mC．1.416 mD．1.236 m
第 3 题图第 4 题图第 5 题图
近年，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小蕊、小翀同学设计了一款二维码，打印在面积为 16 的正方形纸片上，如图，她在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在白色部分面积的频率稳定在 0.4 左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A．9.6B．11.2C．6.4D．0.4
如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AC，AB 上，△ADE∽△ABC，M，N 分别是 DE，BC 的中点，若? = 1，
则△? =（）
△?
11
?2
11
2
A．2B．3C．4D．
一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒，经过 t（秒）时球距离地面的高度 h（米）适用公式 h
＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间 t（秒）是（）
A．5B．10C．1D．2
如图，◻ABCD 中，E 为 BC 中点，延长 CB 至点 F，使 BF=BC，连接 AE，取 AE 中点 G，连接 FG 并延长交 AB 于点 H，交 CD 于 M．若 DM=1，则 AH=（）
85
A．2B．3C．3D．2
某地有一座弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长 AB）20m，拱高（弧的中点到弦的距离 CD）4m，
第 7 题图第 8 题图
二次函数 y＝ax2+bx+ 1（a＜0）的图象过点（﹣1，0），且对称轴不在 y 轴左侧，设 t＝1a2+b，则 t 的
22
最小值是（）
111
A．0B．8C．4D．2
如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，E 为 AD 边上动点，以 AE 为直径作圆，连接 BE 交圆于点 F．点
）
第 10 题图
P 在边 CD 上运动，连接 BP、PF．下列结论错误的是（
A．BE2+ED2 的最小值是 12
B．?最小值是 3
3
C．连接 CF，△BCF 面积的最小值为5
65
D．BP+PF 的最小值是− 1
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
2+
11．若 = 3，则 的值为．
如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上两点，若∠CAB＝50°，则∠D 的度数为．
如图，反比例函数 y= 的图象经过◻ABCD 对角线的交点 P，已知点 A，C，D 在坐标轴上，BD⊥DC，
◻ABCD 的面积为 6，则 k＝．
第 12 题图第 13 题图第 14 题图
如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，E 为 BC 中点，沿直线 DF 翻折△ADF，使点 A 的对应点 A'恰好落在线段 AE 上．
（1）DF＝；
（2）分别在 AD，A'D 上取点 M，N，沿直线 MN 继续翻折，使点 A'与点 D 重合，MN=．三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
计算：sin45°•cs45°－tan60°÷cs30°．
如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E、D 分别是 BC、AC 上的点，且∠AED＝45°，若 AB＝5，BE= 2，求 AD 长．
则拱桥的半径为（
）
A．13m
B．10.5m
C．12m
D．14.5m
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，A（﹣1，0），
B（﹣2，﹣1），C（0，﹣3）．
以原点 O 为位似中心，相似比为 2，作△ABC 的位似图形，得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1（点 A1，B1， C1 分别为点 A，B，C 的对应点）；
若将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△A2B2C2，请在图中作出△A2B2C2（点 A2，B2，C2 分别为点 A，B，C的对应点）；旋转过程中，点 B 经过的路径长为．
明朝郑和率船队七下西洋，远航太平洋、印度洋，那时中国的造船术领先世界，配备了多桅多帆，可灵活调整桅杆利用多面来风．下图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠DBA 为 65°，帆与航行方向的夹角∠DBE 为 25°，风对帆的作用力 F 为 500N．根据物理知识， F 可以分解为两个力 F1 与 F2，其中与帆平行的力 F1 不起作用，与帆垂直的力 F2 又可以分解为两个力 f1 与 f2，f1 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若 F＝AB＝500，求推动帆船前行的动力 f2 的值．（精确到 0.1N．参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 = 的图象交于 A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
求△AOB 的面积；
观察图象直接写出不等式 ＞ + 的解集．
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，过点 B 的切线交 AC 的延长线于点 D，连接 DO 并延长，交⊙O 于点 E，连接 AE，CE．
求证：∠ADB＝∠AEC；
3 ，求
若 AB＝4，cs∠AEC= 5
OD 的长．
六、（本题满分 12 分）
钱学森在弥留之际写下 14 字遗言：“毛泽东思想活着，中国就永远年轻！”近期老师发现小璇、小森同学在收集有关毛主席的卡片，下面是四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有毛主席语录和图片（分别记作 A，B，C，D），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，品读毛主席语录．
从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是“不是先学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习”（D）的概率是；
小璇同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后小森同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的概率．
ABCD
七、（本题满分 12 分）
已知点 E 是矩形 ABCD 边 DA 延长线上一点，且 AE＝AC，O 是对角线 AC 和 BD 的交点．连接 CE，交 AB 于 F，交 BD 于 G，连接 OF，如图 1，
求证：CE 平分∠ACB．
若 AB＝3，AD＝4，求 tan∠AOF 的值．
?2
若 AB＝AD，如图 2，求2的值．
八、（本题满分 14 分）
已知抛物线 y＝ax2-2x（a 为常数）的对称轴与抛物线 y＝x2-4x 的对称轴是同一条直线．
求 a 的值；
若点 A（x0，y0）是抛物线 y＝ax2-2x 上的动点，随着点 A 的移动，点 B（mx0+t，my0+h）（m，t，h
为常数，且 m≠0）恰好在抛物线 y＝x2-4x 上运动．
求 m，t，h 的值；
过 A、B 作直线，直线 AB 对应的一次函数解析式为 y=kx+b，随着点 A、B 的移动，直线 AB 过一个定点 P，求定点 P 坐标．
2025-2026 学年度秋学期九年级期末考试数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
C
C
D
B
D
B
C
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
5
5
3；12.40° ；13. ﹣3；14.
4
；．
3
7．【解答】解：延长 AD、FM 于点 N，设 BE=a，
?
?
?3
则 AD=2a，EF=3a
∴?? =
??
，即
5−? = 2
∵AD∥CF，AG=EG
∴AH=3
故选：B．
∴△AGN≌△EGF
∴AN=EF=3a，DN=a
∵AD∥CF
∴△DMN∽△CMF
?? = ??
1 =
∴?
∴CM=4，AB=CD=1+4=5
∵AD∥CF
∴△AHN∽△BHF
?，即?4
【解答】解：设拱桥的半径为 r 设拱桥的圆心为 O，连接 OD，OA．由题意可得：OD⊥AB，CD＝4m，AB＝20m，
2
∴? = ?? = 1 ? = 10，
OD＝OC﹣CD＝r﹣4，
∵OA2＝AD2+OD2
∴r2＝102+（r﹣4）2O
∴r＝14.5故选：D．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+ 1的图象过
点（﹣1，0）
2
∴a﹣b+ 1 =0
2
∴b＝a+ 1
1
2∴b≥0，
2
∴a+ 1 ≥0，
2
∴a≥− 1，
∴− 1 ≤a＜0，
2
而 t＝
2
a2+b
∵t＝1a2+a+ 1的对称轴为 a=﹣110
1122
，且2＞
2
∴t＝
a2+a+
2
∴当− 1 ≤a＜0 时，t 随 a 的增大而增大
2
∵二次函数 y＝ax2+bx+ 1图象对称轴不在 y 轴左侧
2
∴当 a=− 1t=1 − 1 + 1=1
2
∴− ≥0，而 a＜0
2时， min 8
故选：B．

22 8
【解答】
【A】设 AE＝x，则 ED＝4﹣x，则 BE2+ED2＝BA2+AE2+ED2
＝22+x2+（4﹣x）2
＝2x2﹣8x+20
＝2（x﹣2）2+12
∴当 AE＝x＝2 时，BE2+ED2 的值最小，最小值为 12．
【B】连接 AF，
∵AE 为直径
∴∠AFE=90°，∠AFB=90°
∴F 在以 AB 为直径的一段圆弧上运动
∴当 O、F、P 共线且 OP⊥CD 时，
PFmin=OP－OF=4－1=3
【C】当 E 在 D 处时，点 F 到 BC 距离最小，△BCF 面积最小．
过 F 作 FG⊥AB，
∵tan∠ADB=2
4
∴tan∠BAF=tan∠
1
ADB=
2
∴BF:AF:DF=1:2:4
∴BG:AG=BF:DF=1:4
∴12
BG=5AB=5
∴△BCF 面积最小值为1×4×2 4
65
5
2=5
【D】作点 B 关于 CD 对称的 B'，连接 OB'.
82 + 12
当 F、P 在线段 OB 上时，BP+PF=B'P+PF=OB'－OF=
【解答】解：如图，过点 P 作 PE⊥y 轴于点 E．
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB＝CD， 又∵BD⊥x 轴，
∴ABDO 为矩形，
∴AB＝DO，
∴S 矩形 ABDO＝S◻ABCD＝6，
∵P 为对角线交点，PE⊥y 轴，
∴四边形 PDOE 为矩形面积为 3，即 DO•EO＝3，
∴设 P 点坐标为（x，y），k＝xy＝﹣3．
− 1=− 1
【解答】
5
解：（1）由折叠得，AE⊥DF，易证△DAF≌△ABE，∴AF=BE=1，DF= 22 + 12=
（2）如图，MN 为折痕，即点 N 为 A'D 的中点，
过点 A 作 AH⊥A'D 于点 H，设 DF 与 AE 交于点 O，
∵沿直线 DF 翻折△ADF，使点 A 的对应点 A'恰好落在线段 AE 上，
??
∴? =2，
设 AO＝k，则 DO＝2k．
∵AO2+DO2＝AD2，
∴k2+（2k）2＝22．
2 5
解得：k＝± 5 （负数不合题意舍去）．
∴AO＝OA'= 255，DO= 455．
∵= 1 × ′⋅ ?? = 1 × ′? ⋅ ?，
∴DF 为 AA'的垂直平分线．
∴DA＝DA'＝2，FA＝FA'，
∵∠DAA'+∠EAB＝90°，
∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠DAA'＝∠AEB，
△′?2
5
∴AH= 8．
?2 − ?2
∴DH=
2
5
= 6．
，
∴tan∠DAA'＝tan∠AEB= ?
?4
∴= ．
?
??3
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝2．
∵E 为 BC 中点，
2BC
∴BE= 1＝1．
∴tan∠DAA'＝2．
?，
∵tan∠DAA'= ??
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
2
3
【解答】解：sin45°•cs45°﹣tan60°÷cs30°
∵MN⊥A′D，AH⊥A′D，
∴MN∥AH．
???4
∴?? = ?? = 3．
∵点 N 为 A'D 的中点，DA'＝2，
∴DN＝1．
3
∴MN= 4．
2
= 2
× 2
−÷ 2
3
2
= 1 −2
2
=− 3．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC＝5，
∴BC= 2AB＝5 2，
?
∴ =
?
，
∵BE= 2，
∴EC＝4 2，
在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
5
∴
?
4 2
2
=，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED，
?
5
∴CD= 8，
∴AD＝AC﹣CD＝5− 8 = 17．
∴△ABE∽△ECD，55
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
【解答】
解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求．
（2）如图，△A2B2C2 即为所求．
由勾股定理得，OB=
= 5，
22 + 12
90× 55
∴旋转过程中，点 B 经过的路径长为
180=2 ．
5
2
故答案为：．
【解答】解：∵∠DBA＝65°，∠DBE＝25°，
∴∠ABE＝∠DBA﹣∠DBE＝65°﹣25°＝40°，
∵AK∥EB，
∴∠KAB＝∠ABE＝40°，
在 Rt△AKB 中，AB＝500，∠AKB＝90°，‘
∴F2＝KB＝AB•sin∠KAB＝500•sin40°＝500×0.64＝320，由题意可知，KB⊥BE，
∴∠KBC+∠CBG＝90°，
∴∠KBC＝90°﹣∠CBG＝65°，
在 Rt△KCB 中，KB＝320，∠KCB＝90°，
∴f2＝CB＝KB•cs∠KBC＝256×cs65°＝320×0.42＝134.4．答：推动帆船前行的动力 f2 的值约为 134.4N．
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
，
【解答】解：（1）把 A（﹣4，2）的坐标代入 =
如图，设直线 AB 与 x 轴交于点 C，
−4
得：2 = ， 解得：m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为 =− 8；把 B（n，﹣4）的代入 =− 8， 得：−4 =− 8，
解得：n＝2，
在 y＝﹣x﹣2 中令 y＝0，则 x＝﹣2，即直线与 x
轴交于点 C（﹣2，0）．
∴△?? = △? + △??
= 1 × 2 × 2 + 1 × 2 × 4 = 6；
∴B（2，﹣4）．22
把 A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入 y＝kx+b，
得 −4 + = 2， 2 + =− 4
解得： =− 1，
=− 2
∴一次函数的解析式为 y＝﹣x﹣2．
由图象得，当 x＞2 或﹣4＜x＜0 时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方，
∴不等式 ＞ + 的解集为x＞2 或﹣4＜x＜0．
【解答】（1）证明：∵BD 为⊙O 的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
在 Rt△ABD 中，∵cs∠ADB= ?? =
?
∴设 BD= 5x，AD＝3x，
5，
3
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADB+∠BAD＝90°，
∠ABC+∠BAD＝90°，
22 + (2 5)2
∴∠ADB＝∠ABC，
∴AB=
(3)2 − ( 5)2
即 2x＝4，解得 x＝2，
∴BD＝2 5，
=2x，
∵∠ABC＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC；
在 Rt△OBD 中，∵OB＝2，BD＝2 5，
（2）解：∵∠ADB＝∠AEC，
3
∴cs∠ADB＝cs∠AEC= 5，
∴OD=
=2 6．
六、（本题满分 12 分）
1
【解答】解：（1）4．
（2）列表如下：
共有 16 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片中恰好有 A 的结果有：（A，A），（A，B），（B，A），
（A，C），（C，A），（A，D），（D，A），共 7 种，
7
∴抽到的两张卡片中恰好有 A 的概率为16．
七、（本题满分 12 分）
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠BCF，
∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACF，
∴CE 平分∠ACB；
解：在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，如图 1，过 F 作 FH⊥AC 于 H，
?2 + ?2
∴FB⊥BC，
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
在直角三角形 ABC 中，由勾股定理得： =
∴AE＝AC＝5，? = 1 = 5，
= 5，
22
由（1）得 CE 平分∠ACB，
∴FB＝FH，
∵BC∥AD，
∴△BCF∽△AEF，
???4
∴? = = 5，
又∵FB+FA＝AB＝3，
∴?? = 3 × 4 = 4，
93
3，
∴?? = 4
∵∠FHC＝∠FBC＝90°，
∴△BCF 和△HCF 是直角三角形，在 Rt△BCF 和 Rt△HCF 中，
?? = ??，
? = ?
∴Rt△BCF≌Rt△HCF（HL），
∴CH＝BC＝4，
∴?? = ? − ? = ? − 1 = 4 − 5 = 3，
222
∴∠?? = ?? = 8
??9；
解：【法一】∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形，
设 AB＝BC＝CD＝AD＝a，则 = = 2，由（2）知：△BCF∽△AEF，
???1
2
∴? = =2，
2
2
∴?? = 1 ? = (
1+
− 1)，? = − (
− 1) = (2 − 2)，
∴?2 = ??2 + ?2 = (4 − 2 2)2，
∵∠FAC＝∠CBG＝45°，CF 平分∠BCA，
∴∠ACF＝∠BCG＝22.5°，
∴△AFC∽△BGC，
?
∴? =
?
?
，
?
∴? = ，
(6−4 2)2
(4−2 2)2
2− 2
2
?2?2
∴2 = ?2 =
=．
P
【法二】过 G 过∥作 GP⊥BC，
∵CE 平分∠ACB
∴GO＝GP
设 GO＝m，则 GP＝m，
∵∠CBG＝45°
∴BP＝m，BG＝ 2m OC=OB=m+ 2m
∴CG2=OC2+GO2=（m+ 2m）2+m2=4m2+2 2m
?2
∴2 =
2
( 2)2
42+2 2
= 4+2 2 =
2− 2
2
【法三】∵BC∥DE∴? =
?
∴
?
= 即? =
?+?
+
??
∴? = ??
( 2)2
12+( 2+1)2
?2??2
4+2 2
22− 2
∴2 = 2 =
八、（本题满分 14 分）
【解答】
解：（1）由已知得
==2
−2−4
− 2a =− 2
1
∴ a 
2
（2）（ⅰ）∵点 A（x0，y0）是抛物线 y  1 x2  2x 上的动点
2
∴ y  1 x 2  2x ①
02 00
∵点 B（mx0+t，my0+h）是抛物线 y＝x2-4x 上的动点
∴my0+h＝（mx0+t）2-4（mx0+t） ②
①代入②，得
1
m( 2 x0
2  2x )  h＝(mx  t)2
 4(mx0  t)
00
1 mx 2  2mx  h＝m2 x 2  (2mt  4m)x  t 2  4t
20000
∵A、B 为动点
∴x0 为变量
∴对于任意的 x0， 1 mx 2  2mx
 h＝m2 x 2  (2mt  4m)x
 t 2  4t 都成立
2
2
1 m=m2
∴ −2m=2mt−4m h=t2−4t
0000
又 m≠0
m= 1
2
∴ t=1P
h=−3
（ⅰⅰ）由题意得
00B( x
A（x ，y ）、1
2
0 1, 2 y0
1
 3) 在直线 y=kx+b 上

 y0  kx0  b③
y
∴  1
 2
0  3 
1
k (2 x0
1)  b④
④×2－③，得
－6=2k+b b=－2k－6
∴直线 AB 解析式为 y=kx－2k－6，即 y=k（x－2）－6
∴直线过定点 P(2，－6)