安徽安庆市怀宁县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试题卷

这是一份安徽安庆市怀宁县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试题卷，共32页。
1．你拿到的试卷，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请务必在“答题卷”上答题．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，标志着我国近地空间运营保障与应急响应能力实现新突破．下列有关航空航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ）

A. B. C. D.
3. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
4. 两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（ ）
A. 60B. 40C. 36D. 16
5. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 《南京照相馆》以南京大屠杀中平民守护罪证底片的视角，讲述了普通人在民族危亡之际坚守正义、铭记历史的动人故事，一上映便引发全民情感共鸣，首日票房就突破3亿元．若以后每天票房收入按相同的增长率增长，上映三天后累计票房收入达10亿元，设增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，反比例函数的图象上有A，两点，过点作轴于点，交于点．若，的面积为2，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（ ）
A B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝______．
12. 五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，如果，则线段的长为__________．
13. 如图1所示是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______．
14. 已知，是抛物线上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且设，两点的横坐标分别为，
（1）若是抛物线的顶点，则点的坐标是______；
（2）的值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 已知线段，满足，若线段是线段，比例中项，求线段的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点(网格线的交点)
（1）先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为(点，，的对应点分别为)，请画出，并写出点的坐标__________；
（2）画出将绕点顺时针旋转后的(点，，的对应点分别为)，并求出点旋转到所经过的路径长．
18. 独秀山是一座历史文化名山，某校九年级学生开展综合实践活动一一丈量独秀山的“身姿”．为了求出山峰高度，选择在山脚下的两处观测点，对山顶的标志物进行测量，如图，，与山脚处点在同一条直线上，已知测角仪的高度是米，第一次在处测得仰角为，第二次在处测得仰角为，且米．求山峰高度是多少米？(参考数据：，结果精确到1米．)
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若与相交于点，且，求的面积．
20. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE=CB；
（2）若AC=，CE=，求AE的长．
六、（本题满分12分）
21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为，的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出的解集．
（3）在轴上取一点，当取得最大值时，求出点的坐标．
七、（本题满分12分）
22. 如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE=CE，CD=1，求DF的长．
八、（本题满分14分）
23. 二次函数的图象经过点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，交于点，过点作轴于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）是否存在点，使得取到最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，当时，求直线的表达式．2025-2026学年度第一学期期未教学质量检测
九年级数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请务必在“答题卷”上答题．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，标志着我国近地空间运营保障与应急响应能力实现新突破．下列有关航空航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形定义进行逐一判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有A选项绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形．
故选：A．
2. 如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，即，解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解．
【详解】解:根据分式有意义可得: ,
根据二次根式有意义可得:解得: ,
综合可得:.
故选D.
【点睛】本题主要考查分式有意义和二次根式有意义的条件,解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义和二次根式有意义的条件．
4. 两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（ ）
A. 60B. 40C. 36D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似多边形的性质．
利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可．
【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为，
∴它们的相似比为．
∵相似多边形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比为．
设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为，
∵它们的周长之差为20，
∴，
解得，
∴较大多边形的周长为．
故选：A．
5. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先把一般式化为顶点式，得出函数图象的对称轴为直线，开口向上，算出，，对应的函数值，即可得出y的取值范围．
【详解】解：，
∴函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
∴y的取值范围是：，
故选：B．
6. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
8. 《南京照相馆》以南京大屠杀中平民守护罪证底片的视角，讲述了普通人在民族危亡之际坚守正义、铭记历史的动人故事，一上映便引发全民情感共鸣，首日票房就突破3亿元．若以后每天票房收入按相同的增长率增长，上映三天后累计票房收入达10亿元，设增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，关键是理解票房的增长规律，分别表示出三天的票房后，根据累计票房列出方程．先根据增长率的计算方法，依次表示出第二天、第三天的票房收入，再将三天的票房收入相加，使其等于累计的亿元，即可得到对应的方程．
【详解】解：∵首日票房为3亿元，增长率为，
∴第二天的票房收入为亿元，第三天的票房收入为亿元，
又∵三天累计票房收入达亿元，
∴可列方程为．
故选：D．
9. 如图，反比例函数的图象上有A，两点，过点作轴于点，交于点．若，的面积为2，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．作轴于点E，轴于点F，轴于点G，设点，，则点，根据点B的坐标可得，根据，可得点A坐标为，根据的面积为2，可得，而，用含a，b的代数式代入即可求出，从而得到k的值．
【详解】解：作轴于点E，轴于点F，轴于点G，如图所示：
设点，，则点，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A坐标为，
∵，且，
∴，
∵
，
即，
∴，
∴．
故选：B．
10. 在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，利用三角形的面积公式可得的长，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：∵在等腰 中，，
，
设，
，
，
，
，
如图，连接，交于点，过点作于点，
由折叠的性质得：垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
∴在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝______．
【答案】17
【解析】
【详解】试题解析：二次函数的顶点在x轴上，

解得：
故答案为
点睛：二次函数的顶点在x轴上，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点.
12. 五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，如果，则线段的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割的定义及线段的和差计算，熟练掌握黄金分割点的比例关系并结合线段和差进行推导是解题的关键．利用黄金分割点的定义，先求出线段和的长度，再结合线段的和差关系推导出的长度．
【详解】解：∵，为线段的黄金分割点，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
14. 已知，是抛物线上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且设，两点的横坐标分别为，
（1）若是抛物线的顶点，则点的坐标是______；
（2）的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】若是抛物线的顶点，则点，则，即可求解；
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解．
本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点、的坐标是解题的关键．
【详解】解：若是抛物线的顶点，则点，
为线段的中点，
则，
解得：，
则点，
故答案为：；
由题意得，点、的坐标分别为：、，则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
，
则的值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数、实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识点．先分别计算每一项的值，再按照从左到右的顺序进行加减运算．
【详解】解：原式
．
16. 已知线段，满足，若线段是线段，的比例中项，求线段的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例线段、比例中项的定义以及一元一次方程的应用．先利用与的比例关系设未知数，代入已知方程求出、的具体值；再根据比例中项的定义计算的长度．
【详解】解：∵，
∴设()，则；
将，代入，得，
解得；
∴，；
∵线段是线段，的比例中项，
∴；
∵是线段长度，
∴(舍去负根)．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点(网格线的交点)
（1）先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为(点，，的对应点分别为)，请画出，并写出点的坐标__________；
（2）画出将绕点顺时针旋转后的(点，，的对应点分别为)，并求出点旋转到所经过的路径长．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、旋转变换作图以及弧长的计算，核心知识为平移的坐标规律、旋转的坐标规律和弧长公式．
（1）先确定原三角形各顶点的坐标，依据“向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加”的规则求出平移后各顶点的坐标，再顺次连接得到平移后的三角形，进而得到点的坐标；
（2）根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出旋转后各顶点的坐标，顺次连接得到旋转后的三角形；再计算原点到点的距离，结合旋转角，利用弧长公式计算点旋转的路径长．
【小问1详解】
解：如图所示为所求的三角形，此时点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示，为所求的三角形，
，
∴，
点旋转到所经过的路径长．
18. 独秀山是一座历史文化名山，某校九年级学生开展综合实践活动一一丈量独秀山的“身姿”．为了求出山峰高度，选择在山脚下的两处观测点，对山顶的标志物进行测量，如图，，与山脚处点在同一条直线上，已知测角仪的高度是米，第一次在处测得仰角为，第二次在处测得仰角为，且米．求山峰高度是多少米？(参考数据：，结果精确到1米．)
【答案】山峰的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及仰角的定义、正切的定义以及一元一次方程的求解，关键是通过构造两个共直角边的直角三角形，利用正切表示出的长度，再根据不变列方程求解，最后结合测角仪高度得到山峰总高度．
【详解】解：由题意可知，、、三点在同一条直线上，测角仪高度米，且与均垂直于地面，故米，．
设米，
∵米，
∴（米）；
∵在中，，，
∴（米）；
∵在中，，，
∴（米）；
∴，解得，
∴（米）；
山峰高度（米）；
答：山峰高度约为米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若与相交于点，且，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，是几何核心知识点的综合应用．
（1）先利用直角三角形斜边中线的性质得到，再通过证明得到，进而推出，结合证明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明；
（2）先通过勾股定理求出的长度，由得到，结合得到相似比为，从而推出；再利用三角形中线的性质求出的面积，结合菱形的性质得到的面积，最后根据等高三角形的面积比等于底的比求出的面积．
【小问1详解】
证明：，是的中点，
；
，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：在中，，，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
．
即的面积为．
20. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE=CB；
（2）若AC=，CE=，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）3.
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用切线性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE=AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE==1，故AE=AD﹣ED=3．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠1=∠3．
又OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，∴CE=CB；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=，CB=CE=，
∴AB= = =5．
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，∴△ADC∽△ACB，
∴，即，
∴AD=4，DC=2．
在直角△DCE中，DE==1，
∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．
六、（本题满分12分）
21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为，的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出的解集．
（3）在轴上取一点，当取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、反比例函数的几何意义、不等式与函数图象的关系以及利用轴对称求线段差的最值，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、函数解析式的求法和几何最值的转化方法是解题的关键．
（1）先利用的面积和反比例函数的几何意义求出反比例函数的值，确定其解析式；再将、两点坐标代入反比例函数求出、的值；最后将、坐标代入一次函数解析式，通过解方程组求出、，得到一次函数解析式．
（2）将不等式转化为一次函数值小于等于反比例函数值的情况，结合函数图象的交点，直接写出满足条件的的取值范围．
（3）利用三角形两边之差小于第三边的几何原理，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，此时取得最大值；再求出直线的解析式，计算其与轴交点的坐标，即为点的坐标．
【小问1详解】
解：轴，点在反比例函数图象上，且的面积为．
，
反比例函数图象分布在第二、四象限，
，
反比例函数解析式为，把点和点坐标代入反比例函数解析式得：，
将代入得，
，
解得，
一次函数解析式为．
【小问2详解】
解：∵，即，，
∴不等式的解集为：或．
【小问3详解】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，此时点满足取得最大值，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
当时，
．
七、（本题满分12分）
22. 如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE=CE，CD=1，求DF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DF．
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明即可．
（3）过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．利用相似三角形的性质证明△END是等腰直角三角形，再证明△EMF≌△CDF即可解决问题．
【详解】（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）∵△ADB∽△AEC，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE=EC，∠BEC=90°，
∴BCBE，
∵∠BDC=90°，
∴BD3．
∵∠EFB=∠DFC，∠BEF=∠CDF=90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴，
∴，
∵∠EFD=∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF=∠BCF=45°．
∵∠NED=90°，
∴∠END=∠EDN=45°，
∴EN=ED．
∵∠BEC=∠NED=90°，
∴∠BAE=∠CED．
∵BE=CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN=CD=1，DN=BD﹣BN=2．
∵EN=ED，EM⊥DN，
∴MN=DM=1，
∴EM=MN=MD=1．
∵∠EMF=∠CDF=90°，∠EFM=∠CFD，EM=CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF=DF，
∴DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 二次函数的图象经过点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，，交于点，过点作轴于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）是否存在点，使得取到最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，当时，求直线的表达式．
【答案】（1）；
（2）存在，最大值为，此时点坐标为；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的表达式、二次函数的最值求解、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，通过作辅助线构造相似三角形转化线段比值，利用角的倍分关系结合平行线性质推出等腰三角形，借助勾股定理求解线段长度．
（1）将已知点、的坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程组求出系数、，进而确定二次函数表达式；
（2）先求出点坐标和直线的解析式，作辅助线构造相似三角形，将转化为两条线段的比值，设出点的坐标表示出相关线段长度，将比值表示为关于变量的二次函数，利用配方法求其最大值并得到点坐标；
（3）利用平行线的性质将转化为，结合角的倍分关系推出为等腰三角形，设未知数表示相关线段，利用勾股定理列方程求出未知数的值，得到直线与轴交点的坐标，再用待定系数法求出直线的表达式．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点、，
将两点代入得，解得，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，代入得，点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入得，解得，
直线的表达式为．
如图，设线段与直线的交点为，过点作轴的平行线交直线于点，
当时，，，．
轴，轴，
，
，
．
设，则，
，
．
，
当时，取得最大值，此时，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：如图，轴，设与轴交于点，则，
，
，
又，
，
．
设，则．
在中，，由勾股定理得，
即，解得，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将、代入得，解得，
直线的表达式为．