安徽省含山县部分学校2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

这是一份安徽省含山县部分学校2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷，共28页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 抛物线经过点，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列事件中，是必然事件的是（）
A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
B. 掷一次骰子，向上一面的点数是3
C 射击运动员射击一次，命中靶心
D. 任意画一个三角形，其内角和是
5. 如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（ ）

A. B. C. D.
6. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 直线与双曲线交于、两点，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____．
12. 在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______．
13. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______．
14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为_____；
（2）在滑动过程中，的最大值是_____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
16. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图是由边长为1个单位长度小正方形组成的网格，已知的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出；
（2）画出关于原点成中心对称的．
18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）若两个实数根和满足，求值．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d．
20. 一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能．你同意他的说法吗？为什么？
（2）如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率；
（3）搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？
六、（本题满分12分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标．
七、(本题满分12分）
22. 如图，在中，以边为直径作，交边于点D，延长交于点E，连交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若为，，求图中阴影部分的面积．
八、(本题满分14分）
23. 二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．九年级数学（人教版）
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故该选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：A．
2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径即可解答．
【详解】解：的半径为3，点P在内，
，
的长可能是2．
故选：A．
3. 抛物线经过点，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质
抛物线开口向上，对称轴为 ，距离对称轴越远的点函数值越大．计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴点距离对称轴越远，函数值越大．
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵，
∴．
故选：C．
4. 下列事件中，是必然事件的是（）
A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
B. 掷一次骰子，向上一面的点数是3
C 射击运动员射击一次，命中靶心
D. 任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查事件的分类．必然事件指一定发生的事件．根据三角形内角和定理，任意三角形内角和恒为180°，故D为必然事件；A、B、C均为随机事件．
【详解】解：A：书页页码可能奇数也可能偶数，是随机事件；
B：骰子点数可能为1至6，点数是3是随机事件；
C：射击可能命中也可能不中，是随机事件；
D：根据三角形内角和定理，任意三角形内角和均为，是必然事件．
故选：D．
5. 如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可．
【详解】解：如图，连接、，

∵正六边形是的内接正六边形，
，
，
故选：C．
6. 为解决群众看病贵问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价售价为，则第二次售价为，由题意得：
．
故选：A．
7. 直线与双曲线交于、两点，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答．
【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称，
，
又，在双曲线上，
，，
．
故选：B．
8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
根据旋转的性质即可得到，，，，再根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出，进而可求出．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到．
∴，，，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵，，三点在同一条直线上，
∴
∴
故选D．
9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点可得，，据此可判断A；根据当时，，得到，则可推出，据此可判断B；根据对称性推出当时，，则，据此可判断C；根据可判断D．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，故B结论正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴，即，故C结论正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解．
【详解】解：点
∴
的横坐标为6，且，
的横坐标为，
……
∴的横坐标为，纵坐标为
点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求解即可，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为：．
12. 在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题结合化学知识（水的组成元素）考查概率计算，关键在于正确运用组合数公式计算所有可能的选取情况，并准确识别符合要求的情况，体现了跨学科知识的综合应用．要解决该问题，需先明确水的组成元素，再计算从给定的四种元素中任意选取两种的所有可能组合数，接着找出其中恰好包含水的组成元素的组合数，最后根据概率公式（概率=符合条件的组合数÷总组合数）计算概率．
【详解】解：∵从H、、、O四个元素中任意选择两种化学元素，
∴所有可能的结果有，共6种．
其中，恰好都是水的组成元素（即H和O）的结果只有这1种．
因此，所求概率为．
故答案为：．
13. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例数的的几何意义，平行四边形的性质，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上，
∴
∴
故答案为：．
14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为_____；
（2）在滑动过程中，的最大值是_____．
【答案】 ①. 3 ②. 3
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，连接，

∵，
∴，
∴，是等边三角形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
（2）如图所示，延长交于点，连接，

∵，是直径，
∴，即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
当为直径时，即，的值最大，则的值最大，
∴的最大值是；
故答案为：①；② ．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
即，
16. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象与性质．根据对称轴公式，以及将点代入抛物线表达式得到方程组求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达式为．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出；
（2）画出关于原点成中心对称的．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—旋转、中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据关于原点对称的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）若两个实数根和满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式，当时方程有两个实数根，据此列不等式求的取值范围；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出和的值，代入已知等式求解，再结合（1）中的范围确定最终值．
【小问1详解】
解：∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根，
∴ ，
，
，
；
【小问2详解】
解：∵ 对于方程，根据韦达定理，，，
又∵ ，
∴ ，
解得，
∵ ，符合（1）中的取值范围，
∴ ．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，，
∴，
∵，
∴，
∵纸条宽为，，．
∴，，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径长为．
20. 一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？
（2）如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率；
（3）搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？
【答案】（1）不同意，理由见详解
（2）
（3）添加5个红球
【解析】
【分析】本题考查了求简单事件的概率及用树状图或列表法求稍复杂事件的概率，分式方程的应用，解答本题的关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验，同时熟记概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）求出分别摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率即可；
（2）用画树状图法列出所有可能的结果即可判断；
（3）设应添加x个红球，根据摸出红球的概率为即可列方程求解．
【小问1详解】
解：不同意，理由如下：
∵一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，
∴搅匀后从中任意摸出一个球，白球概率是；红球概率是；
∵，
∴摸出白球和摸出红球这两个事件不是等可能的；
【小问2详解】
解：树状图如图：
∴P（两个球都是白球）；
【小问3详解】
解：设应添加x个红球，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解；
∴应添加5个红球．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把点代入，求出反比例函数的表达式为，再把代入，求出一次函数的表达式为，即可作答．
（2）理解题意，设，因为平行于轴，所以，即，结合，得，解得，即点的纵坐标为，把代入得，即可作答．
【小问1详解】
解：把点代入，
得，
解得，
∴反比例函数的表达式为，
把代入，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）得，
设，
∵过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵平行于轴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，
∴点的坐标为．
七、(本题满分12分）
22. 如图，在中，以边为直径作，交边于点D，延长交于点E，连交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若为，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见详解
（2）阴影部分的面积是
【解析】
【分析】（1）首先连接，再利用角度转化得到，即可得到，再利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到；
（2）首先连接，，再发现阴影部分的面积是，即先根据已知条件利用三角函数求得的面积，再求得的大小，即可求得阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，，
∵为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积是．
【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
八、(本题满分14分）
23. 二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）①，；②
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）①依题意，，解方程组即可求解；
②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；
（2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证．
【小问1详解】
解：①依题意，，
解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．