阜阳市临泉县2025~2026学年度第一学期期末考试九年级测评数学试卷

这是一份阜阳市临泉县2025~2026学年度第一学期期末考试九年级测评数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一符合题目要求）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在外B. 点P在上
C. 点P在内D. 无法确定
3. 在中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 直径是弦，弦是直径B. 过圆心的弦是直径
C. 在圆中，角所对的弦是直径D. 相等的圆心角所对的弧相等
6. 如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是上的三点，，的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函数部分图象如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
10. 如图，在平面内，，，是平面内的一动点，且满足，则的最大值为（ ）
A. 8B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果，那么的值是_____．
12. 若圆锥的侧面积为，底面半径为2，则该圆锥的母线长为_____．
13. 如图，四边形是的内接四边形，弦．若，则的度数为_____．
14. 如图，是正方形的对角线，将绕点按逆时针方向旋转，得到．
（1）的度数为_____．
（2）若，则，两点之间的距离为_____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标．
（2）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．
（1）_____，_____．
（2）当时，求的面积．
18. 观察下面的四个图形，并根据图中规律回答相关问题．
如图1，在中，是边的二等分点，图2中的是边的三等分点，图3中的是边的四等分点．……图4中的是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
①当是边的二等分点：；
②当，是边的三等分点：；
③当是边的四等分点：；
……
按照以上规律，解决下列问题．
（1）当是边的五等分点：____．
（2）请你猜想出的结果（用含的式子表示），并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，以为直径的经过的顶点，是的切线，过点作的垂线，并延长，交的延长线于点．延长，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
20. 如图1是小明老家的自建房，小明准备应用所学的三角函数知识测量出老家自建房的高度．如图2是房屋的侧面示意图．其中，与地面垂直，且，与底面平行，屋檐到的距离，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上的点、屋檐上的点、屋顶上的点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，求房屋的高．（参考数据：，，，，，）
六、（本题满分12分）
21 综合与实践
【项目主题】制作圆锥．
【项目准备】直径为的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶．
项目实施】
步骤1：确定圆形卡纸的圆心；
步骤2：如图2，把直径为的圆形卡纸剪出一个扇形（图3），；
步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处．
【项目探索】
（1）用无刻度的直尺和圆规在图1中找出圆心的位置（不写作法，保留痕迹）．
（2）求剪下的扇形的面积．
（3）求圆锥的高．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式．
（3）是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，和均为等腰直角三角形，，将绕点按逆时针方向旋转，连接，．
（1）求证：．
（2）如图2，当点恰好落在上时，，，求的长．
（3）在旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，过点作，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．九年级测评・数学上册第21章~下册第24章
说明：共八大题，23小题，满分150分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一符合题目要求）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在外B. 点P在上
C. 点P在内D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心的距离与圆的半径大小进行判断．
【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为4，
且，
∴点P在外，
故选：A．
3. 在中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了余弦、勾股定理，熟练掌握余弦的定义是解题关键．
先利用勾股定理可得，再根据余弦的定义求解即可得．
【详解】解：∵如图，中，，
∴，
∴，
故选：A．
4. 如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 直径是弦，弦是直径B. 过圆心的弦是直径
C. 在圆中，角所对的弦是直径D. 相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、圆心角和弧的性质，弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，据此可判断A、B；根据的圆周角所对的弦是直径可判断C；根据弧与圆心角之间的关系可判断D．
【详解】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
B、过圆心的弦是直径，原说法正确，符合题意；
C、在圆中，的圆周角所对的弦是直径，原说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用．
根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：∵，
A．若添加，能证明，不符合题意；
B．若添加，能证明，不符合题意；
C．若添加，能证明，不符合题意；
D．若添加，不能证明，符合题意；
故选：D．
7. 反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，．
【详解】解：∵
，
反比例函数图象在第一、三象限，
∴在每一象限内，随的增大而减小．
，
，，
，
故选B．
8. 如图，是上的三点，，的半径为5，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，先根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式计算即可求得结果，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵
∴
∵的半径为5，
∴的长为．
故选：A．
9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，的范围和与x轴的交点，确定代数式的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向上
∴，
∴，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①正确；
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
∴，即，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点
∴
∴，故⑤错误．
综上所述，正确结论的个数为4．
故选：C．
10. 如图，在平面内，，，是平面内的一动点，且满足，则的最大值为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接，证明出是等边三角形，得到，得到点A，B，C，D在同一个圆上，得到当是圆的直径时，取得最大值，然后利用含30度角直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∴点A，B，C，D在同一个圆上
∴如图所示，当是圆的直径时，取得最大值，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴的最大值为．
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，含30度角直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果，那么的值是_____．
【答案】
##
【解析】
【分析】将已知方程=分解为=，然后求解．
本题考查了分式的变形求值，灵活的将已知条件变形成含所求结果的形式是解题的关键．
【详解】由 = ，
可得 = ，
移项得 = = ．
故答案为：．
12. 若圆锥的侧面积为，底面半径为2，则该圆锥的母线长为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式．
根据圆锥的侧面积公式，其中为底面半径，为母线长，代入已知值求解即可．
【详解】解：由圆锥侧面积公式，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 如图，四边形是的内接四边形，弦．若，则的度数为_____．
【答案】##42度
【解析】
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点．
如图，连接，首先求出，然后由求出，进而利用同弧所对的圆周角相等求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
14. 如图，是正方形的对角线，将绕点按逆时针方向旋转，得到．
（1）的度数为_____．
（2）若，则，两点之间的距离为_____．
【答案】 ①. ##105度 ②. ##
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得到，由旋转得，进而求解即可；
（2）证明出为等边三角形，得到，然后根据线段垂直平分线的判定得到三点共线，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵是正方形的对角线，
∴
由旋转得，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接，，连接交于点O，
由旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴是的垂直平分线，即，
∴三点共线．
∵，
∴
∴
∵为等边三角形，
∴
∴
∴
∴，两点之间的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，负整数指数幂和实数的运算，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和绝对值，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标．
（2）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，点的坐标为；
（2）见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
∴点的坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．
（1）_____，_____．
（2）当时，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出，，然后利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，
∴，，
解得，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）可知反比例函数为，一次函数为，
当时，即点的横坐标为，
当时，，，
∴，，
∴的面积．
18. 观察下面的四个图形，并根据图中规律回答相关问题．
如图1，在中，是边二等分点，图2中的是边的三等分点，图3中的是边的四等分点．……图4中的是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
①当是边的二等分点：；
②当，是边三等分点：；
③当是边的四等分点：；
……
按照以上规律，解决下列问题．
（1）当是边的五等分点：____．
（2）请你猜想出的结果（用含的式子表示），并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（1）仿照上式即可写出；
（2）先仿照上式写出，根据面积比为相似比的平方证明即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，，，
类比可得，当是边的五等分点：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
图4中，是边的n等分点，过各等分点的线段分别与底边平行，
则从上到下各三角形相似比为：，
面积比为：，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，以为直径的经过的顶点，是的切线，过点作的垂线，并延长，交的延长线于点．延长，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图所示，连接，由切线得到，然后得到，然后结合等边对等角，等量代换得到，即可得到；
（2）如图所示，连接，由直径得到，利用勾股定理求出，利用三线合一得到，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接
∵是的切线
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接
∵为直径，，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
20. 如图1是小明老家的自建房，小明准备应用所学的三角函数知识测量出老家自建房的高度．如图2是房屋的侧面示意图．其中，与地面垂直，且，与底面平行，屋檐到的距离，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上的点、屋檐上的点、屋顶上的点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，求房屋的高．（参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
如图所示，设与交于点G，过点M作于点H，解直角三角形表示出，，联立求出，，然后解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，设与交于点G，过点M作于点H，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵与底面平行，与地面垂直，
∴四边形是矩形
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目主题】制作圆锥．
【项目准备】直径为的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶．
【项目实施】
步骤1：确定圆形卡纸的圆心；
步骤2：如图2，把直径为的圆形卡纸剪出一个扇形（图3），；
步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处．
【项目探索】
（1）用无刻度的直尺和圆规在图1中找出圆心的位置（不写作法，保留痕迹）．
（2）求剪下的扇形的面积．
（3）求圆锥的高．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在圆上取点D，E，F，G，连接，，作出，垂直平分线交于点O即为所求；
（2）如图所示，连接，，，过点O作于H，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长，得到，然后利用扇形面积公式即可得到答案；
（3）设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长求出r，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，圆心即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，，，过点O作于H，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴扇形的面积；
【小问3详解】
解：∵，
设圆锥的底面半径为r，
∴，
∴，
∴．
∴圆锥的高为．
【点睛】本题主要考查了尺规作圆的圆心，求圆锥的高，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式．
（3）是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标．
【答案】（1）
（2）抛物线顶点的坐标为，直线的函数表达式为
（3）
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，线段最值问题，解题的关键是正确求出表达式．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将抛物线配方成顶点式即可求出顶点坐标；利用待定系数法求出直线的函数表达式；
（3）设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得
∴该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵
∴抛物线顶点的坐标为；
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为
设直线的函数表达式为
将，代入得，
解得
∴直线的函数表达式为；
【小问3详解】
解：设，则
∴
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，有最大值
将代入得，．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，和均为等腰直角三角形，，将绕点按逆时针方向旋转，连接，．
（1）求证：．
（2）如图2，当点恰好落在上时，，，求的长．
（3）在旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，过点作，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或．
【解析】
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意得到，，，证明出，得到；
（2）如图所示，过点A作于点F，利用勾股定理求出，得到，利用勾股定理求出，进而求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论，当点D在上时和当点E在上时，过点作，交于点，由得到，然后得到，进而求解即可．
【小问1详解】
解：∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，过点A作于点F，
∵为等腰直角三角形，，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，当点D在上时，过点作，交于点，
由（1）得，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴
∴；
如图所示，当点E在上时，过点作，交于点，
同理可得，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴
∴．
综上所述，线段，，之间的数量关系为或．