安徽省阜阳市临泉县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷-A4

这是一份安徽省阜阳市临泉县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷-A4，共27页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，耐心做一做等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010
C．1.582×1011D．1.582×1012
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3+5x3＝6x4B．x6÷x3＝x5
C．（a2）3＝a7D．（ab）3＝a3b3
3．（4分）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
4．（4分）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2﹣2
5．（4分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
7．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x2＜x1D．x2＜x1＜x3
8．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
9．（4分）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）已知在△ABC中，点D是边AB的中点，∠ACD＝∠B，BD＝4，那么AC的长是 ．
12．（5分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
13．（5分）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．从点C测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，则杨树AB的高度为 米．
14．（5分）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，矩形纸片ABCD中，点E为AB的中点，将△ADE沿DE折叠后得到△GDE，且点G在矩形ABCD内部，延长DG交BC于点F．请探究下列问题：
（1）若∠CDF＝∠EDG，则的值为 ；
（2）若点F恰为BC中点，则的值为 ．
三、耐心做一做（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再代入求值：，其中．
16．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
18．（8分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
20．（10分）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
六、（本题满分12分）
21．（12分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年安徽省阜阳市临泉县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010
C．1.582×1011D．1.582×1012
【分析】根据科学记数法表示数的方法，对所给较大数进行表示即可．
【解答】解：由题知，
1582亿＝1582×108＝1.582×103×108＝1.582×1011．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟知科学记数法表示较大数的方法是解题的关键．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3+5x3＝6x4B．x6÷x3＝x5
C．（a2）3＝a7D．（ab）3＝a3b3
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x3+5x3＝6x3，故A选项错误；
B、x6÷x3＝x3，故B选项错误；
C、（a2）3＝a6，故C选项错误；
D、（ab）3＝a3b3，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．（4分）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．（4分）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2﹣2
【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减的原则得出解析式即可．
【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1．
将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
5．（4分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．
【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB＝，
∴AM＝＝4，
∴BM＝．
又∵AB＝AC，
∴BC＝2BM＝6．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形是解题的关键．
7．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x2＜x1D．x2＜x1＜x3
【分析】根据反比例函数性质即可判断．
【解答】解：∵k＝5＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
∵点B（x2，1），C（x3，5），都在反比例函数的图象上，1＜5，
∴x2＞x3＞0．
∵﹣1＜0，A（x1，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴x1＜0，
∴x1＜x3＜x2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，正确进行计算是解题关键．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE＝AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE＝OC＝AC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴EF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
9．（4分）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确．
【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，
函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误；
y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误；
当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，关键在于掌握二次函数图象的特征．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】连接BD，过B作BE⊥AD于E，根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根据相似三角形的性质得到∠ANM＝∠AEB＝90°，当0≤x＜2时，点M在AB上，当2≤x≤4时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上，
在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，
∵AM＝2x，AN＝x，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABE，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴＝x，
∴y＝x×x＝x2，
当2≤x≤4时，点M在BC上，
y＝，
综上所述，当 0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）已知在△ABC中，点D是边AB的中点，∠ACD＝∠B，BD＝4，那么AC的长是 4 ．
【分析】由点D是边AB的中点，得AD＝BD＝4，AB＝2BD＝8，由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，证明△ACD∽△ABC，则＝，求得AC＝＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点D是边AB的中点，BD＝4，
∴AD＝BD＝4，AB＝2BD＝8，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解题的关键．
12．（5分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
【分析】设抛物线为y＝a（x﹣5）2+4，把点，代入即可求出解析式；当y＝0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离OM．
【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4，
把点代入得：，
∴，
∴；
当y＝0时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离OM为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
13．（5分）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．从点C测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，则杨树AB的高度为 （1+3） 米．
【分析】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AB交DC于H，
则∠AHD＝90°，
∵∠BCH＝30°，BC＝6米，
∴BH＝BC＝3米，CH＝BC＝3米，
∵∠ADC＝45°，
∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，
∴AB＝AH﹣BH＝（4+3﹣3）米＝（1+3）米，
故答案为：（1+3）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（5分）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，矩形纸片ABCD中，点E为AB的中点，将△ADE沿DE折叠后得到△GDE，且点G在矩形ABCD内部，延长DG交BC于点F．请探究下列问题：
（1）若∠CDF＝∠EDG，则的值为 ；
（2）若点F恰为BC中点，则的值为 ．
【分析】（1）由矩形的性质得BC＝AD，AB＝CD，∠ADC＝90°，结合翻折的性质可得∠ADE＝∠CDF＝∠EDG＝30°，设AE＝x，则CD＝2x，在Rt△ADE中，可得AD＝＝，则BC＝.在Rt△CDF中，可得CF＝＝，则BF＝BC﹣CF＝，进而可得答案．
（2）连接EF，由矩形的性质得BC＝AD，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由翻折的性质得DG＝AD，AE＝EG，∠DGE＝∠A＝90°，则∠EGF＝90°，可证明Rt△BEF≌Rt△GEF，可得BF＝GF．设BF＝x，则FG＝CF＝x，BC＝AD＝DG＝2x，DF＝DG+FG＝3x．在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD＝＝，则AB＝，进而可得答案．
【解答】解：（1）由翻折得，∠ADE＝∠GDE，
∵∠CDF＝∠EDG，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠EDG．
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AB＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠EDG＝30°．
∵点E为AB的中点，
∴AB＝CD＝2AE．
设AE＝x，则CD＝2x．
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AE＝x，
∴AD＝＝，
∴BC＝．
在Rt△CDF中，∠CDF＝30°，CD＝2x，
∴CF＝＝，
∴BF＝BC﹣CF＝，
∴＝＝．
故答案为：．
（2）连接EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由翻折得，DG＝AD，AE＝EG，∠DGE＝∠A＝90°，
∴∠EGF＝90°．
∵点E为AB的中点，
∴BE＝AE，
∴BE＝EG，
∵EF＝EF，
∴Rt△BEF≌Rt△GEF（HL），
∴BF＝GF．
∵点F为BC中点，
∴．
设BF＝x，则FG＝CF＝x，BC＝AD＝DG＝2x，
∴DF＝DG+FG＝3x．
在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD＝＝，
∴AB＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、耐心做一做（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再代入求值：，其中．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
当时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞1；
解不等式②得，x＜5，
所以不等式组的解集为：1＜x＜5．
数轴表示如下：
．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
【分析】根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CB＝9，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，
∴BC＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
18．（8分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可；
（3）根据AB＝AC＝5，利用等腰三角形的性质解决问题（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图，画出△A1B1C1；
（2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8﹣2××2×4﹣2××4×8＝40；
（3）如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标（6，6）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会用分割法求四边形面积．
20．（10分）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可；
（2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，
∴BC＝AC＝20cm；
（2）由题可知ON＝EC＝AC＝10cm，
∴NB＝ON＝10cm，
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm，
∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
六、（本题满分12分）
21．（12分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【分析】（1）根据二次函数的性质，可得当t＝﹣时，离地面的高度最大；
（2）取t＝，h＝20，代入所给的关系式，即可求得小球被发射时的速度；
（3）把所给关系式中的v0换成（2）中求得的速度20，取h＝15，求得相应的时间，相减即为两次间隔的时间，即可判断小明的说法是否正确．
【解答】解：（1）∵﹣5＜0，
∴当t＝﹣＝时，离地面的高度最大．
故答案为：；
（2）当t＝ 时，h＝20．
．
解得：v0＝20（取正值）．
答：小球被发射时的速度是20m/s；
（3）小明的说法不正确．
理由如下：
由（2）得：h＝﹣5t2+20t．
当h＝15时，15＝﹣5t2+20t．
解方程，得：t1＝1，t2＝3．
∵3﹣1＝2（s），
∴小明的说法不正确．
【点评】本题考查二次函数的应用．应注意使用前一问中得到的结论，来解决后一问中的问题．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；
（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；
（3）利用相似三角形的性质分析求解．
【解答】（1）证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△OBF，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△OBF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BAF．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，
∴3OC＝2BF+9
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF•AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝90°得到△AOC是直角三角形，要使△BPD与△AOC相似，则△BPD也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B两点代入得，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴0≤m≤4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0
∴当m＝时，PD＝是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）法一：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∵OC＝OA＝4，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠OAC＝45°，
∴△BDP为等腰直角三角形，
∴PD＝BD，
由①知PD＝﹣m2+5m﹣4，
∵B（1，3），D（m，﹣m+4），
∴BD＝＝（m﹣1），
∵PD＝BD，
∴﹣m2+5m﹣4＝2（m﹣1），
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法二：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
过B作GH∥y轴，作PG⊥GH，作DH⊥GH，
则易证△PGB∽△BHD，
∴，
∵PG＝m﹣1，BG＝﹣m2+4m﹣3，BH＝m﹣1，DH＝m﹣1，
∴，
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法三：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝﹣1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得，
解得：或，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
B
B
B
C
A