人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.1 多边形与平行四边形

这是一份人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.1 多边形与平行四边形，共94页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2024·贵州）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=BCB．AD=BCC．OA=OBD．AC⊥BD
2．（2024·四川乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川资阳）一个正多边形的每个外角度数都等于60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．（2024·云南）一个七边形的内角和等于（ ）
A．540°B．900°C．980°D．1080°
5．（2025·湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A−1,2，则点C的坐标是（ ）
A．2,−1B．−2,1C．1,−2D．−1,−2
6．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
7．（2025·广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（ ）
A．20°B．40°C．70°D．110°
8．（2024·辽宁）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（ ）

A．4B．6C．8D．16
9．（2024·四川巴中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
10．（2025·山西）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A．OE=12ADB．OE=12BC
C．OE=12ABD．OE=12AC
11．（2024·四川德阳）已知，正六边形ABCDEF的面积为63，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
12．（2024·山东）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
13．（2024·河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M，N，如图所示，则a+β=（ ）
A．115°B．120°C．135°D．144°
14．（2024·吉林长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54∘B．60∘C．70∘D．72∘
15．（2024·西藏）已知正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的内角和为（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
16．（2024·江苏南京）如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（ ）

A．16B．18C．20D．36
17．（2024·四川攀枝花）五边形的外角和为（ ）
A．108°B．180°C．360°D．540°
18．（2025·四川凉山）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线
A．6B．7C．8D．9
19．（2025·四川自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
20．（2025·云南）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
21．（2025·四川眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．216°B．180°C．144°D．120°
22．（2025·四川南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12B．83C．16D．123
23．（2025·甘肃）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A．12B．11C．10D．9
24．（2025·四川遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
25．（2025·甘肃兰州）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
26．（2025·北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A．60B．90C．120D．150
27．（2024·河南）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（ ）
A．12B．1C．43D．2
28．（2025·安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（ ）
A．四边形EFGH的周长B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积D．线段FH的长
29．（2025·四川广元）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（ ）
A．1B．32C．2D．4
30．（2024·四川遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
31．（2024·内蒙古赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
32．（2024·山东青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
33．（2025·四川德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长AB=1，那么图中四边形GCHF的面积是（ ）
A．233B．3C．23D．33
34．（2025·四川广元）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，则∠AKH=（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
35．（2025·江苏淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
二、填空题
36．（2024·青海）正十边形一个外角的度数是 ．
37．（2024·四川巴中）经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线．
38．（2025·江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度．
39．（2025·吉林长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为 度．
40．（2025·新疆）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE= ．
41．（2025·江苏常州）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB=2，则AF= ．
42．（2024·广东广州）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE= ．
43．（2024·山东济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
44．（2024·甘肃临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 °．

45．（2024·山东日照）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是 边形．
46．（2024·江苏徐州）正十二边形的每一个外角等于 度．
47．（2025·江苏扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 ．
48．（2025·湖南）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB= °．
49．（2025·湖南长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= °．
50．（2025·宁夏）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
51．（2025·四川巴中）正多边形的一个内角是120°，这个正多边形是正 边形．
52．（2025·江苏无锡）正七边形的内角和为 度．
53．（2024·江苏镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l= （结果保留π）．
54．（2024·四川宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE=DF．当AE+CF的值最小时，则CE= ．

55．（2024·四川广安）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
56．（2025·江苏淮安）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC丄AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE=4，则OF= ．
57．（2024·四川宜宾）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．

58．（2024·山东威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG=20°，则∠ABI= ．
59．（2024·四川广元）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．

60．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC= °．
61．（2025·四川成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 ．
62．（2025·江苏宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 ．
63．（2025·山东济南）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1=37°时，∠2= °．
64．（2024·江苏淮安）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则EQ= ．
三、解答题
65．（2025·四川宜宾）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
66．（2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点E是AD的中点，连接OA,CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
67．（2024·四川泸州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．
68．（2024·吉林）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．
69．（2025·四川巴中）如图，已知∠1=40°，∠B=50°，AB⊥AC，AD=BC．
(1)求证：AD∥BC；
(2)求∠D的度数．
70．（2024·四川达州）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
71．（2024·新疆）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当BD=CE时，求证：▱DEFG是矩形．
72．（2024·湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
73．（2024·北京）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
74．（2024·广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)求证：AF与⊙O相切；
(3)若tan∠BAC=34，BC=12，求⊙O的半径．
75．（2024·湖北武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
76．（2024·四川雅安）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
77．（2024·黑龙江大庆）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
78．（2024·山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
79．（2024·内蒙古）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
80．（2024·山东青岛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
81．（2024·江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF, CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
82．（2024·青海西宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF=AD，连接CE，DF．
(1)求证：四边形DFCE是平行四边形．
(2)若∠DCE=30°，AC=2，求FC的长．
83．（2025·湖南长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接EF，若BC=12，BE=5，求EF的长．
84．（2025·青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
(2)若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
85．（2025·山东济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF=CE．求证：∠AEB=∠CFD．
86．（2025·江苏盐城）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上．若_________，则四边形BEDF是平行四边形．请从①BE=DF；②AE=CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
87．（2024·内蒙古包头）如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，且S△ABE=S△DCE．

(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG:GH:HC；
(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
88．（2024·广东深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE=2，则AE=______；AB=______；
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB′C，连接CB′，作射线CB′交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值．
89．（2025·广东广州）如图1，AC=4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．
(1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD，DC，并证明：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图2，延长AC至点F，使得CF=AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC=45°，且△ABC∽△FCE．
①求证：△ABC∽△CBE；
②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、选择题
1．（2024·贵州）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=BCB．AD=BCC．OA=OBD．AC⊥BD
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=OC，BO=OD，
故选B．
2．（2024·四川乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】边数为n的多边形的内角和=n−2×180°，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到．
【详解】解：三角形的内角和等于180°
四边形的内角和等于360°
五边形的内角和等于5−2×180°=540°
六边形的内角和等于6−2×180°=720°
所以三角形的内角和最小
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和=n−2×180°是解此题的关键．
3．（2024·四川资阳）一个正多边形的每个外角度数都等于60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360°，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于360°，即可得出答案．
【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，且这个每个外角都等于60°，
∴它的边数为360°÷60°=6.
故选：C．
4．（2024·云南）一个七边形的内角和等于（ ）
A．540°B．900°C．980°D．1080°
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和为n−2⋅180°求解，即可解题．
【详解】解：一个七边形的内角和等于7−2×180°=900°，
故选：B．
5．（2025·湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A−1,2，则点C的坐标是（ ）
A．2,−1B．−2,1C．1,−2D．−1,−2
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点A与点C关于坐标原点O中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的对角线交点在原点，
∴OA=OC，
∴点A与点C关于坐标原点O中心对称，
∵点A的坐标为A−1,2，
∴点C的坐标是(1,−2)，
故选：C．
6．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到AB=AE，进而推出△ABE为等边三角形，得到BE=AB=3，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：根据作图可知：AB=AE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC−BE=5−3=2；
故选D．
7．（2025·广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（ ）
A．20°B．40°C．70°D．110°
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到DE，DF是△ABC的中位线，得到DE∥AC，DF∥AB，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∴DE，DF是△ABC的中位线
∴DE∥AC，DF∥AB
∴∠DEB=∠A=70°
∵DF∥AB
∴∠EDF=∠DEB=70°．
故选：C．
8．（2024·辽宁）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（ ）

A．4B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由四边形ABCD是平行四边形得到DO=2.5，OC=1.5，再证明四边形OCED是平行四边形，则DE=OC=1.5,CE=OD=2.5，即可求解周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=12DB=2.5，OC=12AC=1.5，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴DE=OC=1.5,CE=OD=2.5，
∴周长为：2×1.5+2.5=8，
故选：C．
9．（2024·四川巴中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，
又∵E是BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，CE=12BC，
∵▱ABCD的周长为12，AC=4，
∴AB+BC=12×12=6，
∴△COE的周长为OE+CE+OC=12AB+BC+AC=12×6+4=5．
故选：B.
10．（2025·山西）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A．OE=12ADB．OE=12BC
C．OE=12ABD．OE=12AC
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得OE=12CD，进而由平行四边形的性质得OE=12AB，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE=12CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴OE=12AB，
故选：C．
11．（2024·四川德阳）已知，正六边形ABCDEF的面积为63，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可．
【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为120°，故正六边形是由6个正三角形构成的，过O点作OM⊥AB垂足是M，
设正六边形的边长为a，即OA=AB=a
在正三角形OAB中，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=a2，
在Rt△AMO中，OM=OA2−AM2=a2−a22=32a
一个正三角形的面积为：12⋅AB⋅OM=12×a×3a2=3a24，
正六边形的面积为：3a24×6=33a22，
∴33a22=63，
解得：a=2，
故选：C．
12．（2024·山东）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】解：∵正方形BCMN，
∴∠NBC=90°，
∵∠ABN=120°，
∴∠ABC=360°−90°−120°=150°，
∴正n边形的一个外角为180°−150°=30°，
∴n的值为360°30°=12；
故选A
13．（2024·河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M，N，如图所示，则a+β=（ ）
A．115°B．120°C．135°D．144°
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为：6−2×180°6=120°，
而六边形MBCDEN的内角和也为6−2×180°=720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720°，
∴∠ENM+∠NMB=720°−4×120°=240°，
∵β+∠ENM+α+∠NMB=180°×2=360°，
∴α+β=360°−240°=120°，
故选：B．
14．（2024·吉林长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54∘B．60∘C．70∘D．72∘
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．
【详解】解：∠α=180°−(5−2)×180°5=72°，
故选：D．
15．（2024·西藏）已知正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的内角和为（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键．
【详解】解：∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为360°÷60°=6，
∴这个正多边形的内角和为180°×6−2=720°，
故选：B．
16．（2024·江苏南京）如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（ ）

A．16B．18C．20D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角，
先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出∠BOC，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数．
【详解】解：如图所示，标准正方形的中心O，∠AOB为中心角，将正n变形看成一个圆，
∵∠1=20°，
∴∠BOC=2∠1=40°，
∴∠AOB=∠AOC=20°，
∴n=360°20°=18．
故选：B．

17．（2024·四川攀枝花）五边形的外角和为（ ）
A．108°B．180°C．360°D．540°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
【详解】解：正五边形的外角和是360°．
故选C．
18．（2025·四川凉山）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为n，n边形的内角和为180°⋅n−2，外角和为360°，从n边形的一个顶点出发可以引n−3条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出n的值即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，180°⋅n−2=360°×4，
解得n=10，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引10−3=7条对角线，
故选：B．
19．（2025·四川自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为180°−360°n，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴∠A=90°，∠B=180°−360°6=120°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∠1=α，∠2=β，
∴∠1+∠2=360°−90°−120°=150°，
∴α+β=∠1+∠2=150°，
故选：B．
20．（2025·云南）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握n边形内角和为n−2×180°是解题的关键．
根据多边形的内角和公式直接计算即可．
【详解】解：由题意得：6−2×180°=4×180°=720°，
故选：C．
21．（2025·四川眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．216°B．180°C．144°D．120°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出∠A=∠E=108°，再根据四边形的内角和是360度求出∠AMN+∠ENM，结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠A=∠E=3×180°5=108°，
∴∠AMN+∠ENM=360°−108°×2=144°，
∵∠AMN=∠1,∠ENM=∠2，
∴∠1+∠2=144°；
故选：C.
22．（2025·四川南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12B．83C．16D．123
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得∠ACB=60°，然后解直角三角形可得AB,AC,BF,DE，从而得到AF=23,AE=4，即可求解．
【详解】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴∠BCD=120°,∠A=90°，BC=CD=2，
∴∠ACB=60°，
∴AB=BC×sin∠ACB=2×32=3，AC=BC×cs∠ACB=2×12=1，
同理BF=3,DE=1，
∴AF=23,AE=4，
∴矩形的面积是AE×AF=4×23=83．
故选：B．
23．（2025·甘肃）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为n，根据内角和可解得n，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为n，
则可得180n−2=1620，
解得n=11，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为12，
故选：A．
24．（2025·四川遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键，
根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得：n−2×180°=4×360°
解方程，得n=10
因此，该多边形的边数为10，
故选：A．
25．（2025·甘肃兰州）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，求解即可．
【详解】解：正三角形的每个内角为180°3=60°，正方形的每个内角为360°4=90°，
∴∠ABC=60°+90°=150°，
故选：D．
26．（2025·北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A．60B．90C．120D．150
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，即n−2×180°，其中n为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是x°，
∴每个内角的度数为：x°=6−2×180°÷6=120°，
故选：C．
27．（2024·河南）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（ ）
A．12B．1C．43D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE=12OC=14AC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC，即EF4=14，
∴EF=1，
故选：B．
28．（2025·安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（ ）
A．四边形EFGH的周长B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积D．线段FH的长
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形EFGH各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ．
【详解】解：连接EG，
在▱ABCD中，E，G分别为AD，BC中点，
∵AD∥BC且AD=BC，AE=12AD，BG=12BC，
∴AE∥BG且AE=BG，
∴ 四边形ABGE是平行四边形，
∴AB∥EG，
同理EG∥CD，且EG=AB=CD．
∴四边形DCGE是平行四边形，
则△GEF与△GEH的面积分别为▱ABGE与▱EGCD面积的一半，
四边形EFGH的面积= S△GEF+S△GEH，
∴ 四边形EFGH的面积始终为▱ABCD面积的一半，是定值．
选项A：EF、FG等边长随F、H移动变化，周长不定，错误．
选项B：∠EFG随F位置改变，错误．
选项D：FH长度随F、H移动改变，错误．
综上，四边形EFGH的面积是定值，
故选：C．
29．（2025·四川广元）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（ ）
A．1B．32C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得OB=OD，即O为BD中点，又E是PD的中点，所以OE是△PBD中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，即O为BD中点，
∵E是PD的中点，
∴OE是△PBD中位线，
∴OE=12PB，
∵AB=8，点P是AB的中点，
∴PB=12AB=4，即OE=12PB=2，
故选：C．
30．（2024·四川遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为n，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和360°除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
则n−2×180°=1080°，
∴n=8，
∴这个正多边形的每个外角为360°÷8=45°，
故选：C．
31．（2024·内蒙古赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线l、m相交于点A，则∠A=60°，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=180°−60°2=60°，
∴n=360°60°=6，
故选：B．
32．（2024·山东青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．
根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE=∠E=5−2×180°5=108°，
∵四边形CDFG为正方形，
∴∠CDF=90°，∠CFD=45°，
∴∠FDE=108°−90°=18°，∠DFM=180°−45°=135°，
∴∠FME=360°−18°−135°−108°=99°，
故选：B．
33．（2025·四川德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长AB=1，那么图中四边形GCHF的面积是（ ）
A．233B．3C．23D．33
【答案】A
【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得∴AB=BC=AF=1，∠ABC=∠BAF =120°，由余弦函数得FG=AFcs∠AFB，四边形GCHF是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC=AF=1，
∠ABC=∠BAF
=180°−16×360°=120°，
∴∠BAC=12180°−∠ABC
=30°，
∴∠GAF=120°−30°=90°，
同理可求：∠AFB=30°，
在Rt△FAG中，
FG=AFcs∠AFB
=1cs30°
=233，
同理可求：FG=CG=CH=233，
∴四边形GCHF是菱形，
∴四边形GCHF的面积是：
CG⋅AF=1×233=233；
故选：A．
34．（2025·四川广元）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，则∠AKH=（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角和公式的运用以及三角形的外角，熟练掌握相关公式是解题关键．根据正多边形的内角和公式求出∠ABC=∠BAH=8−2×180°÷8=135°，然后根据三角形外角的性质求出∠AKH=45°即可．
【详解】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴ ∠ABC=∠BAH=8−2×180°÷8=135°，
∵八边形ABCDEFGH是正八边形
∴AH=BA，AB=BC，
∴ ∠BAC=∠ABC=180°−135°2=22.5°，
∵∠AKH是△ABK的外角
∴ ∠AKH=∠ABH+∠BAC=45°，
故选：D．
35．（2025·江苏淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．
延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到∠2=∠3，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：延长FA与直线b交于点H，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠F=6−2×180°6=120°,AF∥CD，
∴∠2=∠H，
∵a∥b，
∴∠3=∠H，
∴∠2=∠3=180°−∠F−∠1=180°−120°−40°=20°，
故选：B．
二、填空题
36．（2024·青海）正十边形一个外角的度数是 ．
【答案】36°/36度
【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式360°n求解即可．
【详解】解：正十边形的一个外角的大小是360°10=36°，
故答案为：36°．
37．（2024·四川巴中）经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线．
【答案】2
【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画n−3条对角线是解答的关键．据此求解即可．
【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出5−3=2条对角线，
故答案为：2．
38．（2025·江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度．
【答案】720
【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式n−2×180°进行计算即可．
【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形，
六边形的内角和为6−2×180°=720°，
故答案为：720．
39．（2025·吉林长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为 度．
【答案】36
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：180°−360°5=108°，再进一步求解即可.
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：180°−360°5=108°，
∴∠α=360°−3×108°=36°，
故答案为：36
40．（2025·新疆）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，则BE= ．
【答案】2
【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到AB∥CD,AD=BC=2，得到∠DCE=∠CEB，角平分线的定义，得到∠DCE=∠BCE，进而得到∠BCE=∠BEC，进而得到BE=BC即可．
【详解】解：∵▱ABCD，AD=2，
∴AB∥CD,AD=BC=2，
∴∠DCE=∠CEB，
∵∠BCD的平分线交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=2；
故答案为：2．
41．（2025·江苏常州）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB=2，则AF= ．
【答案】1
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得AB∥CD，CD=AB=2，证明△AEF∽△DEC，得出AFCD=AEDE，结合DE=2AE，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=2，
∴△AEF∽△DEC，
∴AFCD=AEDE，
∵DE=2AE，
∴AF2=12，
∴AF=1，
故答案为：1．
42．（2024·广东广州）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE= ．
【答案】5
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，AD=BC=2，BC∥AD，进而得出∠BAE=∠EBA，再由等角对等边的性质，得到BE=AE=3，即可求出DE的长．
【详解】解：在▱ABCD中，BC=2，
∴AD=BC=2，BC∥AD，
∴∠CBA=∠BAE，
∵BA平分∠EBC，
∴∠CBA=∠EBA，
∴∠BAE=∠EBA，
∴BE=AE=3，
∴DE=AD+AE=2+3=5，
故答案为：5．
43．（2024·山东济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】AD∥BC（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】解：添加条件：AD∥BC，
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOD和△COB中，
∠DAO=∠BCOAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCOASA
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）
44．（2024·甘肃临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 °．

【答案】120
【分析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为n−2×180°和正多边形的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为720°，再除以6即可．
【详解】解：∵正六边形的内角和为6−2×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为720°÷6=120°．
故答案为：120．
45．（2024·山东日照）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是 边形．
【答案】八
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为n−2×180°是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可．
【详解】设这个多边形是n边形，
由题意得(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
46．（2024·江苏徐州）正十二边形的每一个外角等于 度．
【答案】30
【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．
【详解】解：∵多边形的外角和为360度，
∴正十二边形的每个外角度数为：360°÷12=30°．
故答案为：30．
47．（2025·江苏扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是40°，再根据多边形的外角和等于360°求解即可得．
【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是140°，
∴这个多边形的每个外角都是180°−140°=40°，
∴这个多边形的边数为360°÷40°=9，
故答案为：9．
48．（2025·湖南）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB= °．
【答案】45
【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出∠ABC=∠BCD=135°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠BCA，∠CBD的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠ABC=∠BCD=180°×8−28=135°，AB=BC=CD，
∴∠BCA=∠BAC=180°−∠ABC2=22.5°，
同理可得∠CBD=22.5°，
∴∠AMB=∠CBD+∠BCA=45°，
故答案为：45．
49．（2025·湖南长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= °．
【答案】205
【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可．
【详解】解：多边形的内角和为180°×(n−2)，
∴五边形ABCDE的内角和为180°×(5−2)=540°，
∴∠A+∠E=540°−∠B−∠C−∠D=540°−120°−110°−105°=205°，
故答案为：205．
50．（2025·宁夏）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
【答案】24n
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°=24，
则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步，
故答案为：24n．
51．（2025·四川巴中）正多边形的一个内角是120°，这个正多边形是正 边形．
【答案】六
【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和360°除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是120°，
∴正多边形的一个外角是180°−120°=60°，
∴这个正多边形的边数为360°÷60°=6，
即正多边形是正六边形，
故答案为：六．
52．（2025·江苏无锡）正七边形的内角和为 度．
【答案】900
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式(n−2)×180°计算即可得出答案．
【详解】解：正七边形的内角和为7−2×180°=900°，
故答案为：900．
53．（2024·江苏镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l= （结果保留π）．
【答案】13π/π3
【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定ΔABE是等边三角形，得到∠BAE=60°．
由平行四边形的性质推出∠B=∠D=60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，由弧长公式即可求出BE⏜的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，
由题意得：AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∵AB=1，
∴l=60π×1180=13π．
故答案为：13π．
54．（2024·四川宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE=DF．当AE+CF的值最小时，则CE= ．

【答案】23
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长BC，截取CG=CD，连接GE，AG，证明△CDF≌△GCE，得出CF=GE，说明当AE+EG最小时，AE+CF最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，AE+EG最小，即AE+CF最小，再证明△AED∽△GEC，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长BC，截取CG=CD，连接GE，AG，如图所示：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=2，AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵CD=CG，DF=CE，
∴△CDF≌△GCE，
∴CF=GE，
∴AE+CF=AE+EG，
∴当AE+EG最小时，AE+CF最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，AE+EG最小，即AE+CF最小，且最小值为AG的长，

∵AD∥CG，
∴△AED∽△GEC，
∴ADGC=DECE，即42=2−CECE，
解得CE=23．
故答案为：23．
55．（2024·四川广安）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
【答案】41
【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH=A′H，AH⊥BC，AM′=A′M′，当M,M′重合时，MA+MD最小，最小值为A′D，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH=A′H，AH⊥BC，AM′=A′M′，
∴当M,M′重合时，MA+MD最小，最小值为A′D，
∵AB=4，∠ABC=30°，在▱ABCD中，
∴AH=12AB=2，AD∥BC，
∴AA′=2AH=4，AA′⊥AD，
∵AD=5，
∴A′D=42+52=41，
故答案为：41
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．
56．（2025·江苏淮安）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC丄AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE=4，则OF= ．
【答案】4
【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到BC=2AE=8，根据平行四边形的性质，推出OF是△BCD的中位线，进而得到OF=12BC，即可得出结果．
【详解】解：∵AC丄AB，
∴∠BAC=90°，
∵点E为BC的中点，
∴AE=12BC，
∴BC=2AE=8，
∵▱ABCD，
∴OB=OD，
又∵点F为CD的中点，
∴OF=12BC=4；
故答案为：4．
57．（2024·四川宜宾）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．

【答案】25+2/2+25
【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出AF=AB=4，再证明△BCF∽△ACB，根据相似三角形的性质求出CF，最后由线段和差即可求出AC的长．
【详解】解：如图，连接BD交AC于点F，

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BCD=5−2×180°5=108°，AB=BC=CD=4，
∴∠BCA=∠BAC=180°−108°2=36°，
∴∠ABF=108°−36°=72°，
∵∠AFB=∠CBD+∠BCA=36°+36°=72°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∵∠BCF=∠ACB，∠BAC=∠CBF，
∴△BCF∽△ACB，
∴BCAC=CFBC，
即4CF+4=CF4，
解得CF=25−2或CF=−25−2（舍去），
∴AC=CF+AF=25−2+4=25+2，
故答案为：25+2．
58．（2024·山东威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG=20°，则∠ABI= ．
【答案】50°/50度
【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为120°，即∠EFA=∠FAB=120°，则可求得∠GFA的度数，根据平行线的性质可求得∠FAH的度数，进而可求出∠HAB的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠ABI的度数．
【详解】解：∵正六边形的内角和=(6−2)×180=720°，
每个内角为：720°÷6=120°，
∴∠EFA=∠FAB=120°，
∵∠EFG=20°，
∴∠GFA=120°−20°=100°，
∵AH∥FG，
∴∠FAH+∠GFA=180°，
∴∠FAH=180°−∠GFA=180°−100°=80°，
∴∠HAB=∠FAB−∠FAH=120°−80°=40°，
∵BI⊥AH，
∴∠BIA=90°，
∴∠ABI=90°−40°=50°．
故答案为：50°．
59．（2024·四川广元）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．

【答案】18°/18度
【分析】连接BD，BE，根据正多边形的性质可证△ABE≌△CBDSAS，得到BE=BD，进而得到BG是DE的垂直平分线，即∠DFG=90°，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到∠FDG=72°，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：连接BD，BE，

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=AE，∠A=∠C
∴△ABE≌△CBDSAS，
∴BE=BD，
∵点F是DE的中点，
∴BG是DE的垂直平分线，
∴∠DFG=90°，
∵在正五边形ABCDE中，∠CDE=5−2×180°5=108°，
∴∠FDG=180°−∠CDE=72°，
∴∠G=180°−∠DFG−∠FDG=180°−90°−72°=18°．
故答案为：18°
【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
60．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC= °．
【答案】81
【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出∠BCD，进而求出∠BCH，最后根据BC=HC求解．
【详解】解：∵正五边形ABCDE中，∠BCD =15×5−2×180°=108°，BC=DC，
正方形CDFH中，∠HCD= 90°，HC=DC，
∴ ∠BCH=∠BCD−∠HCD=108°−90°=18°，HC=BC，
∴ ∠BHC=∠HBC，
∴ ∠BHC=12180°−∠BCH=12×180°−18°=81°，
故答案为：81．
61．（2025·四川成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接AC，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出∠BCA的度数，进而推出△ACD为含30度角的直角三角形，进行求解即可．
【详解】解：连接AC，
∵正六边形ABCDEF，
∴AB=BC=CD=1，∠ABC=∠BCD=∠CDE=16×6−2×180°=120°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴∠ACD=120°−30°=90°，
∵正六边形为轴对称图形，
∴∠CDA=12∠CDE=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=2CD=2；
故答案为：2．
62．（2025·江苏宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 ．
【答案】72°
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出∠B=∠BCD=108°，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出∠ACB，最后由∠ACD=∠BCD−∠ACB即可求解．
【详解】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴BA=BC，∠B=∠BCD=5−2×180°5=108°，
∴∠ACB=∠CAB=180°−∠B2=36°，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=72°，
故答案为：72°．
63．（2025·山东济南）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1=37°时，∠2= °．
【答案】97
【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
正六边形内角和为：6−2×180°=720°，
∴ ∠ABC=16×720°=120°，
∵ ∠1=37°，
∴ ∠3=∠ABC−∠1=120°−37°=83°，
∵ l1∥l2，
∴ ∠3+∠2=180°，
∴ ∠2=180°−∠3=97°，
故答案为：97．
64．（2024·江苏淮安）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则EQ= ．
【答案】107/137
【分析】延长QP、CB交于点G，作QH⊥CB于点H，PI⊥CB于点I，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到CH=HG，设BG=a，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在Rt△BPI中，由三角函数求出PI和BI长度，连接EC，如图所示，易证EQHC是矩形，得到EQ=CH，过点D作DK⊥EC，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到QH=23，最后利用△PGI∽△QCH的性质列式求参数a=67即可得到答案．
【详解】解：延长QP、CB交于点G，作QH⊥CB于点H，PI⊥CB于点I，如图所示：
则∠QHC=∠PIC=90°，
在正六边形ABCDEF中，EF∥CH，则QH⊥EF，
∴由反射光线的性质可知∠GQH=∠CQH，
∴90°−∠GQH=90°−∠CQH，即∠G=∠QCH，
∴QG=QC，
∵QH⊥GC，
∴CH=HG，
设BG=a，则GC=a+2，
∴CH=12CG=a+22，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=6−2×180°6=120°，
∴∠ABG=60°，
∵P是AB中点，
∴BP=12AB=1，
在Rt△BPI中，PI=BP⋅sin60°=32，BI=BP⋅cs60°=12，
∴GI=a−12，
在正六边形ABCDEF中，∠EDC=∠DEF=∠BCD=120°，DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠QEC=∠ECH=90°，
∵∠QHC=90°，
∴四边形EQHC是矩形，
∴QH=EC，EQ=CH，
过点D作DK⊥EC，如图所示：
∴由等腰三角形三线合一性质可知DK平分∠EDC，且DK是边EC上的中线，
在Rt△DCK中，QH=EC=2KC=2DC⋅cs30°=3DC=23，
∵∠QHC=∠PIC=90°,∠G=∠QCH，
∴△PGI∽△QCH，
∴PIGI=QHCH，则32a−12=23a+22，解得a=67，
∴CH=a+22=107，
∴EQ=CH=107，
故答案为：107．
【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键．
三、解答题
65．（2025·四川宜宾）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
【答案】见解析，10
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到BC=AD=5，BC∥AD，则由平行线的性质可得∠EFC=∠EAD，∠ECF=∠EDA，再证明CE=DE，即可利用AAS证明△ADE≌△FCE，则可得到CF=AD=5，据此可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，BC∥AD，
∴∠EFC=∠EAD，∠ECF=∠EDA，
∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，
∴CE=DE，
∴△ADE≌△FCEAAS，
∴CF=AD=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10．
66．（2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点E是AD的中点，连接OA,CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径BC的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到AE∥OC，AE=12AD,OC=12BC，即AE=OC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵BC是直径，
∴运用尺规作直径BC的垂直平分线角BC于点O，
∴点O即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC，
∵点O,E分别是BC,AD的中点，
∴AE∥OC，AE=12AD，OC=12BC，即AE=OC，
∴四边形AOCE是平行四边形．
67．（2024·四川泸州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥CB，则∠ADE=∠CBF，再证明△ADE≌△CBFSAS，即可证明∠1=∠2．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBFSAS，
∴∠1=∠2．
68．（2024·吉林）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，再由线段中点的定义得到OA=OB，据此可证明△AOE≌△BOCAAS，进而可证明AE=BC．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴△AOE≌△BOCAAS，
∴AE=BC．
69．（2025·四川巴中）如图，已知∠1=40°，∠B=50°，AB⊥AC，AD=BC．
(1)求证：AD∥BC；
(2)求∠D的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)∠D的度数为50°．
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质．
（1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得∠ACB=∠1，即可证得结论；
（2）由（1）得AD∥BC，结合已知可证四边形ABCD是平行四边形，从而可得∠D的度数．
【详解】（1）证明：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°−∠B=90°−50°=40°，
∵∠1=40°，
∴∠ACB=∠1，
∴AD∥BC．
（2）解：由（1）得AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=50°，
∴∠D的度数为50°．
70．（2024·四川达州）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】(1)见解析
(2)四边形AECF是平行四边形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：
（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接AF、CE即可；
（2）先证明△ABO≌△CDOASA，得到OA=OC，再证明AE∥CF，∠AEO=∠CFO=90°，进而证明△AOE≌△COFAAS，得到AE=CF，即可证明四边形AECF是平行四边形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，∠OAB=∠OCD，
又∵AB=CD，
∴△ABO≌△CDOASA，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEO=∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COFAAS，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
71．（2024·新疆）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当BD=CE时，求证：▱DEFG是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解题的关键是：
（1）利用三角形中位线定理可得出DE=FG=12BC，DE∥FG∥BC，然后利用平行四边形的判定即可得证；
（2）利用平行四边形的性质得出EO=GO=12EG，DO=FO=12DF，结合点G是OC的中点，可得出EO=GO=CO=13EC，同理DO=13BD，则可得出EO=DO，EG=DF，然后利用矩形判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵△ABC的中线BD，CE交于点O，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∵点F，G分别是OB，OC的中点，
∴FG=12BC，FG∥BC，
∴DE=FG，DE∥FG，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）证明：∵四边形DEFG是平行四边形，
∴EO=GO=12EG，DO=FO=12DF，
∵G是CO中点，
∴GO=CG，
∴EO=GO=CO=13EC，
同理DO=13BD，
∵BD=CE，
∴EO=DO，
∴EG=DF，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴▱DEFG是矩形．
72．（2024·湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
【答案】(1)①或②，证明见解析；
(2)6
【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得出DE=BC=10，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：选择①，
证明：∵∠B=∠AED，
∴DE∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，
证明：∵AE=BE，AE=CD，
∴CD=BE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
（2）解：由（1）得DE=BC=10，
∵AD⊥AB，AD=8，
∴AE=DE2−AD2=6．
73．（2024·北京）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
【答案】(1)见详解
(2)13
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到EF∥AD，而AF∥DC，即可求证；
（2）解Rt△EFB求得FB=3，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到CF=AD=2，最后对Rt△CFB运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵E是AB的中点，DF=FB，
∴EF∥AD，
∵AF∥DC，
∴四边形AFCD为平行四边形；
（2）解：∵∠EFB=90°，
∴∠CFB=180°−90°=90°，
在Rt△EFB中，tan∠FEB=FBFE=3，EF=1，
∴FB=3，
∵E是AB的中点，DF=FB
∴AD=2EF=2，
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CF=AD=2，
∴在Rt△CFB中，由勾股定理得CB=CF2+FB2=13．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
74．（2024·广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)求证：AF与⊙O相切；
(3)若tan∠BAC=34，BC=12，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)10
【分析】（1）先证明BD=CD，DE=EF，再证明△AEF≌△CED，可得AF=CD，∠F=∠EDC，再进一步解答即可；
（2）如图，连接AD，证明AD⊥BC，可得AD过圆心，结合AF∥BD，证明AF⊥AD，从而可得结论；
（3）如图，过B作BQ⊥AC于Q，连接OB，设BQ=3x，则AQ=4x，可得CQ=AC−AQ=x，求解x=1210=6105，可得AB=5x=610，求解AD=AB2−BD2=18，设⊙O半径为r，可得OD=18−r，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴BD=CD，AE=CE，
又∵∠AEF=∠CED，DE=EF，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，∠F=∠EDC，
∴AF=BD，AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD过圆心，
∵AF∥BD，
∴AF⊥AD，
而OA为半径，
∴AF为⊙O的切线；
（3）解：如图，过B作BQ⊥AC于Q，连接OB，
∵tan∠BAC=34，
∴BQAQ=34，
设BQ=3x，则AQ=4x，
∴AC=AB=AQ2+BQ2=5x，
∴CQ=AC−AQ=x，
∴BC=BQ2+CQ2=10x，
∴10x=12，
∴x=1210=6105，
∴AB=5x=610，
∵AB=AC，BC=12，AD⊥BC，
∴BD=CD=6，
∴AD=AB2−BD2=18，
设⊙O半径为r，
∴OD=18−r，
∴r2=18−r2+62，
解得：r=10，
∴⊙O的半径为10．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
75．（2024·湖北武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加AF=BE（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，结合已知条件可得DF=BE，即可证明△ABE≌△CDF；
（2）添加AF=BE，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵AF=CE，
∴AD−AF=BC−CE即DF=BE，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△CDFSAS；
（2）添加AF=BE（答案不唯一）
如图所示，连接EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形．
76．（2024·四川雅安）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)60cm
【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）由题目中的▱ABCD中，O为对角线的中点，可以得出OD=OB，∠OED=∠OFB，结合∠DOE=∠BOF，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；
（2）由（1）中得到的结论可以得到DE=BF，结合DE∥BF得出四边形BEDF是平行四边形，进而利用EF⊥BD证明出四边形BEDF为菱形，根据DE=15cm即可求出菱形的周长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED=∠OFB，
∵点O是▱ABCD对角线的交点，
∴OD=OB，
在△△ODE和△OBF中，∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，
∴△ODE≌△OBFAAS．
（2）由（1）知，△ODE≌△OBF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形，
∴DF=BF=BE=DE=15cm，
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60cm，
∴四边形BEDF的周长为60cm．
77．（2024·黑龙江大庆）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)S△GDF=233．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD，AD∥BC，结合角平分线的条件得到∠DAE=∠BCF，由AD∥BC得到∠DFC=∠BCF，∠DAE=∠DFC，根据平行线的判定得到AE∥FC，根据平行四边形的判定即可得到AECF是平行四边形；
（2）求得△DFC是等边三角形，得到DF=DC=CF=2，CE=AF=1，证明△DFG∽△ECG，求得FG=43，作GH⊥DF于点H，在Rt△FGH中，求得GH=233，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DAE=∠DFC，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）得∠DFC=∠BCF，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵∠ADC=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴∠DFC=60°，
∵DF=2AF=2，
∴DF=DC=CF=2，CE=AF=1，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△ECG，
∴FGCG=DFCE=21=2，
∴FG=23CF=43，
作GH⊥DF于点H，
在Rt△FGH中，∠GFH=60°，FG=43，
∴GH=FG⋅sin60°=233，
∴S△GDF=12DF×GH=12×2×233=233．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
78．（2024·山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，即得∠EAH=∠FCG，由折叠的性质可得AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，即得CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，进而得AH=CG，即可由ASA证明△AEH≌△CFG；
（2）由（1）得∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，EH=FG，进而即可求证；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠EAH=∠FCG，
由折叠可得，AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，
∴CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，
∴AH=CG，
在△AEH和△CFG中，
∠EAH=∠FCGAH=CG∠AHE=∠CGF=90°，
∴△AEH≌△CFGASA；
（2）证明：由（1）知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
79．（2024·内蒙古）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形BGED为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出∠CAB=∠BAF，由平行线的性质可得出∠EFD=∠BAF，等量代换可得出∠CAB=∠EFD，利用ASA证明△ACB≌△FED ，由全等三角形的性质得出AB=FD，结合已知条件可得出四边形ABDF是平行四边形．
（2）由已知条件可得出∠BGE=∠DEG=90°，由平行四边形的性质可得出BD∥AE，BD=AF，根据平行线的性质可得出∠GBD=90°，∠EDB=90°，由全等三角形的性质可得出CB=ED，等量代换可得出BD=ED， 即可得出四边形BGED为正方形．
【详解】（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAF，
∵AB∥DF，
∴∠EFD=∠BAF，
∴∠CAB=∠EFD，
在△ACB和△FED中，
∠ACB=∠FEDAC=FE∠CAB=∠EFD，
∴△ACB≌△FEDASA，
∴AB=FD，
由∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
（2）四边形BGED是正方形．
过点B作BG⊥AE于点G，
∴∠BGE=∠DEG=90°，
∵四边形ABDF是平行四边形．
∴BD∥AE，BD=AF，
∴∠GBD+∠BGE=180°，∠DEG+∠EDB=180°，
∴∠GBD=90°，∠EDB=90°，
由（1）△ACB≌△FED，
∴CB=ED，
∵CB=AF，
∴ED=AF，
∴BD=ED，
∴四边形BGED是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键．
80．（2024·山东青岛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由见解析，此时BCAB=3
【分析】（1）先证明AB∥CD得到∠EAB=∠FCD，再由垂线的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，据此证明△AEB≌△CFDAAS，得到AB=CD，由此即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，利用三角形内角和定理得到∠BAO=60°，则可证明△AOB是等边三角形，得到OA=OB，进而可证明AC=BD，则四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=3．
【详解】（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
又∵BE=DF，
∴△AEB≌△CFDAAS，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=30°，
∴∠BAO=60°，
又∵AB=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OB=OD=OA=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
即当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=3．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
81．（2024·江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF, CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
【答案】(1)见解析
(2)165
【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由中心对称的性质证明DF=AC，DF∥AC即可证明；
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出OC，利用勾股定理求AO即可．
【详解】（1）证明：∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴△ABC≌△DEF
∴∠BAC=∠EDF，DF=AC，
∴DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：连接CF，
∵△DEF和△ABC关于点O对称，四边形ACDF是平行四边形；
∴F,O,C三点共线，
∵∠ACB=90°, AC=4, BC=3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵四边形ACDF是菱形，
∴CF⊥AD，
∵12AC⋅CB=12AB⋅CO，
∴CO=125，
∴AO=AC2−OC2=42−1252=165．
82．（2024·青海西宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，延长BC到点F，使CF=AD，连接CE，DF．
(1)求证：四边形DFCE是平行四边形．
(2)若∠DCE=30°，AC=2，求FC的长．
【答案】(1)见解析
(2)3−1
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，进而证明∠A=∠AED得AD=DE，再证明DE=CF，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=CF，设AD=DE=FC=x，则DC=AC−AD=2−x，再由含30°角的直角三角形的性质得CE=2DE=2x，然后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°（等边对等角）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE（等角对等边）．
∵FC=AD，
∴DE=FC．
又∵DE∥FC，
∴四边形DFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（2）解：设AD=DE=FC=x，
∴DC=AC−AD=2−x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，
∴EC=2DE=2x（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∵DE2+DC2=EC2（勾股定理），
∴x2+2−x2=2x2，解得x1=3−1，x2=−3−1（舍去），
∴FC=3−1．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
83．（2025·湖南长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接EF，若BC=12，BE=5，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)237
【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB∥CD且AB=CD．结合BE=DF，得出AE=CF．结合AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形．
（2）过点E作EH⊥CD于点H．根据四边形ABCD是正方形，BC=12，得出CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°．结合∠EHC=90°，证出四边形EBCH是矩形．得出EB=HC=5,EH=BC=12．结合DF=BE=5，得出HF=2．在Rt△EHF中，由勾股定理求出EF．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB=CD．
又∵BE=DF，
∴AB−BE=CD−DF．
∴AE=CF．
又∵AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，BC=12，
∴CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°．
又∵∠EHC=90°，
∴四边形EBCH是矩形．
∴EB=HC=5,EH=BC=12．
又∵DF=BE=5，
∴HF=CD−DF−CH=12−5−5=2．
在Rt△EHF中，由勾股定理得EF=EH2+FH2=122+22=148=237．
84．（2025·青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
(2)若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明△AEO≌△BDOAAS，可得AE=BD，结合AE∥BD可得结论；
（2）由AB=AC，点D是BC边上的中点，可得AD⊥BC即∠ADB=90°，结合由（1）得四边形AEBD是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点O为AB的中点
∴OA=OB，
∵AE∥BC
∴∠EAO=∠OBD，∠AEO=∠BDO，
在△AEO和△BDO中
∠EAO=∠OBD∠AEO=∠BDOOA=OB
∴△AEO≌△BDOAAS，
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）证明：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形，
理由如下：
∵ AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴ AD⊥BC即∠ADB=90°，
∵ 由（1）得四边形AEBD是平行四边形，
∴ 四边形AEBD是矩形.
85．（2025·山东济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF=CE．求证：∠AEB=∠CFD．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由AD∥BC可得∠DAE=∠AEB，再证四边形AFCE是平行四边形，推出AE∥CF，∠DAE=∠CFD，等量代换即可得出∠AEB=∠CFD．
【详解】证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠DAE=∠AEB，
∵ AD∥BC，AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴ AE∥CF，
∴ ∠DAE=∠CFD，
∴ ∠AEB=∠CFD．
86．（2025·江苏盐城）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上．若_________，则四边形BEDF是平行四边形．请从①BE=DF；②AE=CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】②或③，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③BE∥DF为条件，证明△ABE≌△CDFAAS得出BE=DF，即可得证．
【详解】解：添加②AE=CF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．
理由如下，如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形．
添加③BE∥DF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．
理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△CDFAAS，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
选择①无法得出四边形BEDF是平行四边形．
87．（2024·内蒙古包头）如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，且S△ABE=S△DCE．

(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG:GH:HC；
(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①见解析；②AG:GH:HC=2:1:3
(2)AM=3AN，理由见解析
【分析】（1）①根据S△ABE=S△DCE，得出E为AD的中点，证明出△AHE≌△CHF即可；②先证明出△AGB∽△HGE得到ABEH=AGGH=2，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；
（2）连接BD交CN于点F，证明△AEB≌△DEM(AAS)，进一步证明出四边形ABDM为平行四边形，得出DF为△CMN的中位线，得到DF=12MN，再证明出△AEN≌△DEF得到DF=AN，再通过等量代换即可求解．
【详解】（1）解：①∵S△ABE=S△DCE，
∴E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵F是边BC的中点，
∴BF=CF，
∴AE=CF，
在▱ABCD中，AD∥BC
∴∠EAH=∠FCH，
又∵∠AHE=∠CHF，
∴△AHE≌△CHF(AAS)，
∴AH=CH，
∴H是AC的中点；
②∵AE=BF,AE∥BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AB∥EF，
∴△AGB∽△HGE，
∴ABEH=AGGH，
∵△AHE≌△CHF，
∴EH=FH，
∴ABEH=AGGH=2，
∴AG=2GH，
∴GH=13AH=13HC，
∴AG:GH:HC=2:1:3；
（2）解：线段AM与线段AN之间的数量关系为：AM=3AN，理由如下：
连接BD交CN于点F，如下图：

由题意，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N，
∵AE=DE,∠AEB=∠DEM，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CM，
∴∠ABE=∠DME，
∴△AEB≌△DEM(AAS)，
∴AB=DM，
∴四边形ABDM为平行四边形，
∴AM=BD,AB=MD，
∵ AB=CD，
∴DM=CD，
∴D为CM的中点，
∵DF∥MN，
∴CDCM=CFCN=12，
∴F为CN的中点，
∴DF为△CMN的中位线，
∴DF=12MN，
∵AE=DE,∠AEN=∠DEF,∠NAE=∠FDE，
∴△AEN≌△DEF(ASA)，
∴DF=AN，
∴DF=AN=12MN，
∴MN=2AN，
∴AM=AN+MN=3AN，
∴AM=3AN．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解．
88．（2024·广东深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE=2，则AE=______；AB=______；
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB′C，连接CB′，作射线CB′交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值．
【答案】(1)1，17
(2)AF=2CD，理由见解析
(3)①见解析；②PE=3414或3412
【分析】（1）由“垂中平行四边形”的定义可得AF∥BC，AD=BC，AF=12AD=12BC，AC⊥BF，从而可得BC=AD=2AF=25，由勾股定理得出BE=BC2−CE2=4，证明△AEF∽△CEB，得出AE=12CE=1，再由勾股定理计算即可得解；
（2）由“垂中平行四边形”的定义可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，BF=12BC=12AD，证明△AED∽△FEB，得出AEEF=DEBE=ADBF=21=2，设BE=x，则DE=2x，AB=BD=3x，由勾股定理可得AE=AB2−BE2=22x，求出EF=12AE=2x，从而可得AF=AE+EF=32x，即可得解；
（3）①根据“垂中平行四边形”的定义画出图形即可；②根据①中画出的图形，分别结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为“垂中平行四边形”，
∴AF∥BC，AD=BC，AF=12AD=12BC，AC⊥BF，
∵AF=5，
∴BC=AD=2AF=25，
∴BE=BC2−CE2=4，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AECE=AFBC=12，
∴AE=12CE=1，
∴AB=AE2+BE2=17；
（2）解：AF=2CD，理由如下：
∵四边形ABCD为“垂中平行四边形”，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，BF=12BC=12AD，
∴△AED∽△FEB，
∴AEEF=DEBE=ADBF=21=2，
设BE=x，则DE=2x，
∴AB=BD=3x，
∴AE=AB2−BE2=22x，
∴EF=12AE=2x，
∴AF=AE+EF=32x，
∴AF=2AB，
∴AF=2CD；
（3）解：①第一种情况：如图①，作BC的平行线AD，并使得DA=CB，连接CD，则四边形ABCD为平行四边形，
延长BE交AD于F，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AFBC=AECE，
∵CE=2AE，
∴AF=12BC=12AD，
∴F为AD的中点，
∴四边形ABCD即为所求的“垂中平行四边形”；
第二种情况：如图②，作∠ABC的平分线，并取CH=CB交∠ABC的平分线于点H，延长CH交BE的延长线于点D，在射线BA上取AF=AB，连接DF，故点A为BF的中点，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵CH=CB，
∴∠CHB=∠CBH，
∴∠CHB=∠ABH，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∵CE=2AE，
∴CD=2AB，
∴CD=BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，
∴四边形BCDF为所求的“垂中平行四边形”；
第三种情况：如图③，作AD∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，在DA的延长线上取点F，使得AF=AD，连接BF，则点A为DF的中点，
同理可得证明AD=12BC，则DF=BC，则四边形BCDF为平行四边形，
故四边形BCDF为所求的“垂中平行四边形”；

②若按照上图①作图，
由题意可得，∠ACB=∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ACB=∠PAC，
∴∠ACP=∠PAC，
∴△PAC是等腰三角形，
作PH⊥AC于H，则AH=HC，
∵BE=5，CE=2AE=12，
∴B′E=BE=5，AC=CE+AE=18，
∴AH=CH=12AC=9，
∴EH=AH−AE=3，
∵PH⊥AC，B′E⊥AC，
∴△CPH∽△CB′E，
∴PHB′E=CHCE，
∴PH=CH⋅B′ECE=154，
∴PE=EH2+PH2=3414；
若按照上图②作图，
延长CA、DF交于点G，
同理可得，△PGC是等腰三角形，
连接PA，
∵GF∥BC，
∴△GAF∽△CAB，
∴AFAB=AGAC=1，
∴AG=AC，
∴PA⊥AC，
同理可得△CPA∽△CB′E，
∵AE=6，EC=12，B′E=BE=5，
∴B′EPA=CEAC，
∴PA=B′E⋅ACCE=152，
∴PE=PA2+AE2=3412；
若按照上图③作图，则没有交点，不存在PE，故不符合题意，
综上所述，PE=3414或3412．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
89．（2025·广东广州）如图1，AC=4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．
(1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD，DC，并证明：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图2，延长AC至点F，使得CF=AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC=45°，且△ABC∽△FCE．
①求证：△ABC∽△CBE；
②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②22
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD=OB，连接AD,CD，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）①根据△ABC∽△FCE得出∠BCE=∠F=∠BAC，ABFC=BCCE，根据已知CF=AC可得△ABC∽△CBE；
②根据∠AEC=45°，AC=4，得出E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O'，设EF与⊙O交于点G，连接AG，证明△BAC∽△GFA得出BC=12AG，当AG为⊙O'的直径时，AG取得最大值为42，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵O为AC中点，
∴AO=OC，
根据作图可得BO=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
（2）①∵△ABC∽△FCE，
∴∠F=∠BAC,∠ACB=∠FEC，
∵∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB，
∴∠BCE=∠F=∠BAC，
∵△ABC∽△FCE，
∴ABFC=BCCE且CF=AC，
∴ABAC=BCCE，
∴△ABC∽△CBE，
②∵∠AEC=45°，AC=4，
∴E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O'
如图，设EF与⊙O'交于点G，连接AG，
∴∠AO'C=2∠AEC=90°
∴O'A=O'C=22AC=22
∵CG⏜=CG⏜
∴∠GAF=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB
∴∠GAF=∠BCA
又∵∠F=∠BAC
∴△BAC∽△GFA
又CF=AC，则AF=2AC，
∴BCAG=ACAF=12
∴BC=12AG
∴当AG为⊙O'的直径时，AG取得最大值为42
∴BC的最大值为22