山东省青岛市部分学校2026届高三下学期3月调研检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

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注意事项:
1. 本试卷共 4 页, 19 题. 全卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4. 考试结束后, 将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的。
1. 命题“ ∀x>y,x2>y2 ”的否定为
A. ∀x>y,x2≤y2 B. ∀x0 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ,则 ω=
A. 12 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上, 则该球的表面积为
A. 4π B. 6π C. 8π D. 10π
5. 若 an 为等比数列,则 “ a10 只有一个公共点，则 a= _____.
14. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c ， BC 边上的高为 h,h=b+c−a ，则 sinA 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥ 平面 ACD , AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1,
(1)求四面体 ABCD 的体积;
(2)求二面角 C−AB−D 的平面角的正切值.
16. (15 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F1,0 ，且过点 P−1,32 .
(1)求 C 的方程；
(2)设 Q 为 C 上一动点，当 PQ+QF 取得最大值时，求直线 QF 被 C 截得的弦长.
17. (15 分)
设 zn 为复数数列, z1=32+52i,zn+1=zn1+zni ,记 zn 的实部为 an ,虚部为 bn .
(1)求数列 an 的通项公式;
(2)证明:数列 lnbn−12 为等比数列；
(3)求 b1−12b2−12⋯bn−12 .
18.(17分)
已知函数 fx=ae−x+lnx−1 ， gx 为 fx 的导数.
(1)当 a=e 时,求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)讨论 gx 零点的个数；
(3) 设 x0 为 fx 的零点,证明: 当 0y,x2≤y2 ”, 故选: D.
2. C
【分析】先解分式与根式不等式, 再求交集即可.
【详解】 A=x x−100x1e ,
即 a=ex−1lnx+1 ,令 fx=ex−1lnx+1x>1e ,则 f′x=ex−11+lnx−1xlnx+12x>1e ,
而 ux=1+lnx−1x 在 1e,+∞ 单调递增,且 u1=0 ,
所以 x∈1e,1 时, f′x0,fx 单调递增,
而 x→1e 时, fx→+∞;x→+∞ 时, fx→+∞ ,
所以 a=f1=1 .
方法二: 由已知曲线 y=ex−1 与曲线 y=alnx+aa>0 只有一个公共点,
则曲线 y=ex−1 与曲线 y=alnx+aa>0 只有一个公切点,设其坐标为 x0,y0 ,
根据函数 y=ex−1 的图像与函数 y=lnx+1 的图像之间的关系,
所以有 y0=ex0−1=alnx0+aex0−1=ax0 ,
即 ax0=alnx0+a ,所以 1x0=lnx0+1 ,
设 hx0=1x0−lnx0−1 ,则 hx0 在 0,+∞ 单调递减,而 h1=0 ,
所以 x0=1 ,所以 a=1 .
方法三: 由于函数 y=ex−1 的反函数为 y=lnx+1 ,两函数关于 y=x 对称,
由于 y′=ex−1 ,令 ex−1=1 ,则 x=1 ,即函数 y=ex−1 与函数 y=x 相切于点 1,1 ,
同理, y′=1x ,令 1x=1,x=1 ,即函数 y=lnx+1 . 与函数 y=x 也相切于点 1,1 ,
于是函数 y=ex−1 与函数 y=lnx+1 相切于点 1,1 ,由选项可知, a=1 .
14. 2425/0.96
【分析】首先根据余弦定理,并结合三角形面积公式求出 h2a 与 tanA2 的关系; 通过几何图形作辅助线,构造可得 h2a≤13 ,求出 tanA2 的范围,进而根据二倍角公式,求得 sinA 的取值范围.
【详解】在 △ABC 中， b+c=a+h ，
csA=b2+c2−a22bc=b+c2−a2−2bc2bc=a+h2−a22bc−1=h2+2h2bc−1 ,
即 1+csA=h2+2ah2bc ;
又 12bcsinA=12ah,∴bc=ahsinA ，即 sinA=ahbc ，又 sinA>0 ；
故 1+csAsinA=h2+2ah2ah=1+h2a=2cs2A22sinA2csA2=1tanA2>0 ,
如图，在 △ABC 中，过 B 作 CB 的垂线 EB ，且使 EB=2h ，则 AE=AB=c ，

∵b+c=a+h≥CE ,即 a+h2≥a2+2h2=a2+4h2 ,可得
0e ,由 (2) 可知, gx 在区间 0,1 存在一个零点 x1 ,可得 fx≤fx1 ,可得 fx2=lnx2+1x2−1 ,进而构造函数 φx=fx+gx , 进而有 φx0=kx0,φx1=kx1 ,可得结论.
【详解】(1) 当 a=e 时, fx=e1−x+lnx−1 ,则 f′x=−e1−x+1x , 故 f1=0,f′1=0 ,曲线 y=fx 在点 1,0 处的切线方程为 y=0 .
(2)因为 gx=−ae−x+1x=ex−axxex ，且 xex>0 ，故 gx 零点的个数等价于函数 hx=ex−ax 在 0,+∞ 零点的个数.
当 a≤0 时， hx>0,hx 没有零点.
当 a>0 时, h′x=ex−a ,令 h′x=0 ,则 x=lna ,
且当 x0,hx 单调递增.
又 hx≥hlna=a1−lna ,当 0e ,则 hlna0,h1=e−a0 ,
结合 hx 的单调性可知, hx 在区间 0,1 和 lna,a 各恰有一个零点,
即 gx=f′x 在区间 0,1 存在一个零点 x1 ,在区间 lna,a 存在一个零点 x2 .
综上,当 ae 时, gx 有两个零点.
(3)(i)若 a≤e ，由(2)可知， hx 在区间 0,1 没有零点，且 f′x>0 ， 故 fx 在区间 0,1 单调递增， fx