山东省青岛市2026年高三年级上学期部分学生1月调研检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知 ,则
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
2.已知 为实数，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
3.已知函数 则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 即
则
,故选A.
4.已知圆台的上、下底面半径分别为 1,2,侧面积为 ,则面积为 ,则这个圆台的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为，母线长为，高为，体积为，
因为，由圆台侧面积公式可得，
解得，所以，
所以支圆台的体积.
5.过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆: ,易得
则 .
6.设集合 中最大元素与最小元素分别为 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由 ,当且仅当 时取等,故
由 ,当且仅当 时取等,故
故 .
7.已知实数 满足 ,则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】由 是奇函数,且 ,则 .
8.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，直线 与 相交于另一点 ，当 为等腰三角形时， 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不妨设 ,显然 ,故只有
设 ,则 ,又
则 ,则
在 中,易得 ,则
又 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 在区间 上有且只有三个零点,则
A. 是 的一个周期 B. 的最大值为 1
C. 的取值范围是 D. 有两个极大值点
【答案】BD
【解析】因，设，则，作出函数的图象如下：
要使函数在区间上有且只有三个零点，
需使，解得，故C错误；
不是取，则，
因，故不是的一个周期，故A错误；
又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为 1 ，故B，D正确．
10.已知抛物线的焦点为，圆与有且只有一个公共点，圆与轴相切于点，点在圆上，且与轴平行，则
A．B．C．D．圆D的半径为
【答案】ACD
【解析】由抛物线，可得其焦点为，
如图所示，不妨设点在第一象限，其坐标为，其中，
再设圆的半径为，由圆与轴相切于点，可得圆心为，
所以圆的方程为，
当时，由，可得，则，可得，
因为，可得，所以，即切线的斜率为，
所以抛物线在点的切线方程为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以的方程为，
将点代入直线的方程，可得，①
又由点在圆上，可得，②，
联立①②及，可得，
即点，圆的方程为，
因为点在圆上，与轴平行，设点，
代入圆的方程，可得，解得，所以，
则，，
且，所以，且.
11.已知函数的定义域为，是单调函数，，且，则
A．的图象关于直线对称B．
C．在上单调递减D．
【答案】ABC
【解析】依题意，，其中，
对不等式两边除以，
得恒成立，
因该式对任意成立，故为常数.
设，则，
由于是单调函数，所以，所以.
A：图象关于直线对称，A正确；
B：，B正确；
C：在上单调递减，C正确；
D：，求和得，D错误.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在 1 与 4 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则插入的 3 个数的乘积为________.
【答案】8
【解析】设插入的3个数为，则, 4成等比数列，设公比为，故是1，4的等比中项，且，得：，即，又，故．
13.已知 ，则 _______.
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
整理得，解得或，
由则，，
所以．
14.已知正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点在圆O上，则的最大值为________.
【答案】24
【解析】由题知正n边形顶点为，设和夹角为，
由题意可得，满足的顶点仅个，
不等式两边平方可得，
因为正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，
所以，且，
所以，则，故，
故满足条件的顶点只能为这三个，
所以有，解得，又为偶数，故；
，
下面求的最大值.
如图，由正三角形中，取中点，连接，
则，故三点共线，设，
则，
所以，当时，等号取到，
故，且当时，取到最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中，已知 为边 上一点， ， .
(1)证明: ；
(2)若 ，求 .
【解析】(1) 设 . 则 . .
在 中，由正弦定理得
则
(2)由题可知
在 中，由正弦定理得: .
所以
所以 ，所以 .
又因为 ,所以 .
16.已知双曲线 的焦距为 4,焦点到渐近线的距离为 ,过左焦点 的直线 交 于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 与坐标轴均不垂直，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 的值.
【解析】(1) 由题可知 ,焦点 ，其到渐近线 的距离为
故 .所以 的方程为
(2)由题知直线 斜率存在，设其方程为 .
. 线段 的中点为 .
联立方程 得 恒成立，
所以
线段 的中垂线方程为 ，当 时， ，
所以
所以 .
17.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 在线段 上运动(包含端点)，点 为 的中点，设平面 与平面 的交线为 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求 ；
(3)求平面 截直三棱柱所得的截面面积的最大值.
【解析】
(1)因为三棱柱 为直三棱柱. 所以平面 平面 .
又因为平面 平面 . 且平面 平面 .
所以 .
又因为 平面 , 平面 .
所以 /平面
(2)方法一:综合法
过点 向 作垂线，记垂足为 ，连接 ，因为 ，所以 平面 ，
故 为 在平面 内的射影， 为直线 与平面 所成的角
在直角三角形 中， .
所以 ， ，
又因为三角形BCQ是边长为2的等边三角形，所以 为 的中点,即 为 的中点,
故
方法二: 向量法
，
如图，以点为原点，以为x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，
平面的一个法向量为，
设与平面的夹角为，
则
解得：，
所以；
(3)过点 作 . 则梯形 为平面 与直三棱柱的截面图形 .
.
因为 相似于 . 所以 .
所以
点 到 的距离 .
令 ,则 .
恒成立，故 在 上单调递减，
故当 时， 最大，此时截面面积有最大值 12 ，
当 在 时，截面为 ，其面积为 ，
所以，平面 被直三棱柱所得的截面面积的最大值为 12 .
18.设函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为 3 .
(1)求 的值；
(2)设函数 .
(i) 讨论 极值点的个数;
(ii) 若 ,求 的最小值.
【解析】(1) 由题得 ,所以
(2)(i) . 则 .
令 .
在 上大于 0,在 上小于 0,
故 在 上单调递增. 在 上单调递减.
① 当 时， ，故 在 上恒成立，所以 在 上递调递减，此时 无极值点.
② 当 时，
令 .
在 上大于 0,在 上小于 0,
故 . 故有 ,故 ,
当 时, ;
又因为 时, ;
故 在 和 上各有一个零点. 共有两个零点.
此时 有两个极值点.
综上所述，当 时， 有两个极值点；当 时， 无极值点
(ii) 由 得
下面证明 符合要求
当 时,令 ,
则 ,
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增. 在 上单调递减
所以 ,即 恒成立,
因此 符合题意
综上所述， 的最小值为 3.
19.已知数列 满足如下条件:
① ;
② ;
③存在正整数 ，使得 ；
④对任意正整数 满足 ,都有 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)设 的最大值为 ，求 的值；
(3)当 取最大值 时，求 的最小值.
【解析】（1）若，当时，则只需，即，
当时，则只需，即，所以的最大值为 4052 ．
（2）由题得，所以，
相加得，即，变形得：，
又因为，所以，所以，解得．
当时，数列符合题意，
所以
(3)当时,
,
由（2）知，又因为，所以，
分析：
若且上述不等式均取等号时，，此时，不含 2026；
当且时，则，不合题意；
同理，也不合题意；
当时，，即使，不合题意；
同理，也不合题意；
当且，上述不等式均取等号时，此时；
存在数列0,1034,1546,1802,1930,1994,2026,2042,2050,2054,2056,2057,2058满足
综上，的最小值为 2058 ．