1.1 集合（精练）（试卷版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

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1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．B．
C．或D．
【答案】A
【解析】，即，解得或，
所以或，又，
所以或，
阴影部分所表示的集合为.
故选：.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数，可得，解得，所以，
又由，解得或，所以或，
则，，且，，
故选：D.
3.（2025·新疆·三模）已知全集，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，故，，
若，此时，满足要求，
若，此时，不合要求，
若，此时，不合要求，
综上，.
故选：C
4．（2025·河北·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．⫋
C．⫋D．
【答案】B
【解析】等价于且，
故解不等式得，
所以，，
所以可得：⫋，.故ACD错，B对.
故选：B.
5．（24-25广西桂林）已知集合，则等于（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【解析】设，则
当时，；当时，；
所以，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；
所以，当时，函数取极小值，也是最小值.
所以，即，当且仅当时取等号；
故选：D
6．（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以当时满足题意，此时，
当时，要满足题意，则有
综上实数的取值范围为.
故选：A
7．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）下列集合之间关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，，，故，A错；
对于B选项，，，
故，B对；
对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错；
对于D选项，，
故，D错.
故选：B.
10.（2024湖南）设集合A＝，集合B＝.则AB＝（ ）
A． B． C． D．R
【答案】D
【解析】由得，所以，
，时，，
，，由勾形函数知在上递减，在上递增，
时，，时，，时，，所以，
所以，即，，所以．故选：D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25四川成都·期末）已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．的子集个数为8
C．D．
【答案】BC
【解析】由题设且子集有个，B对，
又，则，A、D错；
由，则，C对；
故选：BC
10．（2025·贵州黔东南·一模）已知集合，，，则（ ）
A．
B．中元素的个数为8
C．是A的一个真子集
D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种
【答案】ABD
【解析】，
由条件可得，正确；
，有8个元素，正确；
，，显然C错误；
由条件可知中有个整数，其中有6个奇数，
所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确；
故选：ABD
11．（2024广东佛山 ）（多选）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（ ）
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集M一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】AD
【解析】因为P是一个数集，且至少含有两个数，可知P中必有一个非零实数，
对于选项A：当时，、，故A正确；
对于选项B：例如，，但，不满足条件，故B错误；
对于选项C：例如，取，，但，所以数集M不是一个数域，故C错误；
对于选项D：由选项A可知：数域必含有0，1两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有，必为无限集，故可知D正确．故选：AD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·湖北）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是
【答案】
【解析】由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，故，解得
13（24-25广东）已知集合，，则的子集个数为 ．
【答案】4
【解析】由，解得或，中有个元素，故的子集个数为为.
故答案为：4.
14．（24-25上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 .
【答案】
【解析】由题意可知：方程有且仅有一解，
等价于有一个不等于3的实数解，
1.当时，解为，满足题意；
2.当时，只有一解时，
则，解得，
若，则，解得，符合题意；
3.当时，且有两解但3是方程的解，
故，解得；
综上所述，实数取值集合为.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25上海·期末）已知，集合，．
(1)求集合A；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，解得，
当时，
若，由，得，解得，
所以，又可得，即，
当时，由，可得，所以，
又，可得，
综上所述：实数a的取值范围为．
16．（24-25河北保定·阶段练习）已知集合集合，集合.
(1)若，求和；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）已知，解不等式：
移项可得，通分得到，即.
此不等式等价于.
解，可得，所以.
已知，当时，.
解不等式，可得，即，所以.
所以. .
（2）已知，解不等式，可得，即，所以.
因为是成立的必要不充分条件，所以.
则有（不能同时取等号），解得.
所以实数的取值范围是
17．（24-25江苏苏州·阶段练习）已知，．试问：
(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点?
(2)从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个?
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，，
所以，，
中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有个，
中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有个，
其中重复的有，
所以不同的点有个；
（2）因为，，
所以，
要满足从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字逐渐减小，
即从个元素中选个元素的组合数，
所以，所以满足要求的三位数有个.
18．（24-25河北保定·阶段练习）设集合，．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)，
(3)
【解析】（1）由题意得，因为，所以，，
所以即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，满足，
所以或．
（2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，
所以且，，
所以，．
（3）因为，所以，又，
所以或或或，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，所以；
当时，则，无解，
综上，的范围为．
19．（2025北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”．
(1)判断是否为“好集”，并说明理由；
(2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”；
(3)求所有的集合，使得
①；
②是“好集”；
③不存在“好集”，使得是的真子集．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)，，，，.
【解析】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”.
（2）显然此时，，而，故，所以是“好集”.
（3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个.
那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”.
再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，.