2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练23　切线与公切线问题（含解析）

这是一份2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练23　切线与公切线问题（含解析），共8页。
1.(2025广东惠州模拟)曲线f(x)=12x2-2在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
A.π6B.π4
C.3π4D.5π6
2.(2025安徽合肥模拟)已知曲线f(x)=ln x+ex在点(1,f(1))处的切线与直线x-ay=0垂直,则a=( )
A.1+eB.11+e
C.-1-eD.-11+e
3.(2025山东青岛模拟)过点P(1,-1)作曲线f(x)=x3-x的切线,不同的切线条数为( )
A.0B.1
C.2D.3
4.(2025江西赣州模拟)函数f(x)=12ln x图象上的点P到直线y=x2的最短距离为( )
A.2B.22
C.55D.5(2-2ln2)5
5.(2025山东济宁模拟)已知函数f(x)=x2-3x,x∈[0,2],2f(x-2),x∈(2,+∞),则曲线f(x)在点(7,f(7))处的切线方程为( )
A.8x+y-40=0
B.4x+y-12=0
C.8x-y-72=0
D.x+4y-22=0
6.已知函数f(x)=2x2e2+ex,g(x)=3ln x,若直线l与曲线y=f(x)及y=g(x)均相切,且切点相同,则公切线l的一般式方程为 .
7.(2025河北石家庄模拟)若曲线f(x)=ax2与g(x)=ln x+1在公共点处存在公共的切线,则a= .
8.(2025浙江金华模拟)若直线mx-y+2m-6=0是曲线f(x)=x3-x的切线,则m的值可以是 .(写出一个值即可)
9.(2025山东济南模拟)若曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切线,则1a+1b的最小值为 .
关键能力提升练
10.(2025宁夏石嘴山三模)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=ln x,若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,则a的取值范围是( )
A.0,12e3B.12e3,12e
C.12e3,+∞D.12e,+∞
11.(2025河南周口二模)将曲线f(x)=ln1x绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则tan α=( )
A.-2eB.-e2
C.-2eD.-e
12.(2025山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数在该点处的切线的直线,称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线,则称该直线为两个函数的“公法线”.函数y=2x-x2与函数y=1+ex+1的“公法线”的一般式方程为 .
13.(2025浙江强基联盟一模)在动画和游戏开发中,相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线,且曲线不重合,则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=22x相切,则a= .
核心素养创新练
14.(多选题)(2025辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A,B处的切线完全重合,则称直线AB为曲线y=f(x)的“自公切线”,f(x)为“自公切线函数”,则下列选项正确的是( )
A.函数f(x)=x2+ex是“自公切线函数”
B.函数f(x)=x-cs x是“自公切线函数”
C.曲线f(x)=-x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1
D.曲线f(x)=x3+16x的“自公切线”方程为y=8x
答案：
1.B 解析 因为f(x)=12x2-2,
所以f'(x)=x,则f'(1)=1.
设切线的倾斜角为α,则tan α=1,
又α∈[0,π),所以α=π4.故选B.
2.C 解析 由f(x)=ln x+ex,得f'(x)=1x+ex,
即f'(1)=1+e,即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为1+e.
又曲线的切线与直线x-ay=0垂直,可得a≠0,所以1a(1+e)=-1,
解得a=-1-e.故选C.
3.C 解析 由题意设切点坐标为(x0,x03-x0),易知x0≠1.因为f'(x)=3x2-1,所以切线斜率3x02-1=x03-x0+1x0-1,又x0≠1,化简可得2x03-3x02=0,解得x0=0或x0=32,所以满足条件的切点有两个,对应切线有2条.故选C.
4.C 解析 设与直线y=x2平行且与曲线f(x)=12ln x相切的直线的切点坐标为x0,12ln x0.
因为f'(x)=12x,所以12x0=12,
解得x0=1,则切点坐标为(1,0).
最短距离为点(1,0)到直线y=x2的距离,即d=121+122=55.故选C.
5.A 解析 当x∈(0,2]时,f'(x)=2x-3,
当x∈(6,8]时,f(x)=2f(x-2)=8f(x-6),则f'(x)=8f'(x-6),
所以f(7)=8f(1)=-16,f'(7)=8f'(1)=-8,
则所求切线方程为y-(-16)=-8(x-7),即8x+y-40=0.
故选A.
6.3x-ey=0 解析 设切点为(x0,y0),
由f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),
得2x02e2+ex0=3ln x0,4x0e2-ex02=3x0,
解得x0=e,y0=3ln x0=3,
故切线方程为y-3=3e(x-e),
即3x-ey=0.
7.e2 解析 函数f(x)=ax2与g(x)=ln x+1的导数分别为f'(x)=2ax与g'(x)=1x,
设公共点坐标为(x0,y0),
则y0=ax02,y0=ln x0+1,2ax0=1x0,所以ln x0+1=ax02,
又2ax02=1,故ln x0=-12,
即x0=e-12,所以a=12x02=e2.
8.11或2(写出其中一个即可) 解析 设切点为(t,t3-t),f'(x)=3x2-1,f'(t)=3t2-1,所以切线方程为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),
整理得y=(3t2-1)x-2t3,
由mx-y+2m-6=0,得y=mx+2m-6,
所以m=3t2-1,2m-6=-2t3,
消去m,化简得(t-1)(t+2)2=0,
解得t=1或t=-2,则m=3-1=2或m=3×4-1=11,
所以m的值为2或11.
9.2 解析 (ex-a)'=ex,(ln(x+b))'=1x+b.
因为曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线的斜率为e0=1,
故曲线f(x)=ex-a(a>0)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x-0+e0-a=x+1-a.
设该直线与曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切点坐标为(m,ln(m+b)),
则1m+b=1,故m=1-b,故切点坐标为(1-b,0),
该切点在直线y=x+1-a上,
故0=1-b+1-a,即a+b=2,
故1a+1b=12(a+b)(1a+1b)=12(2+ba+ab)≥2,
当且仅当a=b=1时,等号成立,
故1a+1b的最小值为2.
10.C 解析 设公切线与曲线y=f(x)、曲线y=g(x)相切的切点分别为(t,at2+1),(x0,ln x0),
而f'(x)=2ax,g'(x)=1x,易验证当t=x0时不符合题意,所以有2at=1x0=at2+1-ln x0t-x0,则x0>0,
又a>0,则t>0,
消去x0,得at2-ln(2at)-2=0.
令函数h(t)=at2-ln(2at)-2(t>0),
由曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,得函数h(t)有两个不同的正零点.
h'(t)=2at-1t=2at2-1t,当00,
函数h(t)在0,12a内单调递减,在12a,+∞内单调递增,h(t)min=h12a=-12ln(2a)-32,
而当t从大于0的方向趋近于0时,h(t)→+∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,
则当且仅当-12ln(2a)-3212e3时,函数h(t)有两个不同的正零点,
所以a的取值范围是12e3,+∞.
故选C.
11.D 解析 根据题意,曲线f(x)=ln1x绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则y=tan3π2-α·x是曲线f(x)=ln1x过原点的切线.
设切点坐标为(x0,-ln x0),
又由f'(x)=-1x,即切点处切线的斜率满足tan3π2-α=-1x0.
把切点坐标代入方程y=tan3π2-α·x,得-ln x0=-1x0·x0,解得x0=e,
故tan3π2-α=-1e,所以sin3π2-αcs3π2-α=csαsinα=1tanα=-1e,故tan α=-e.故选D.
12.x+y-1=0 解析 易验证对y=2x-x2来说,当x=0或x=1时,都不满足题意.
由y=2x-x2求导得y'=1-x2x-x2,则法线斜率为-2x-x21-x,
则曲线y=2x-x2在点(a,2a-a2)(00,当x