高考数学二轮专题复习——公切线问题

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∴ 曲线 y=fx 上过点 x1,ln x1 的切线方程为
y=1x1x-x1+ln x1 ，即 y=1x1x+ln x1-1 .
gx=-14x-12-1=-14x2+12x-54 ，
设曲线 y=gx 上一点为 (x2 , -14x22+12x2-54) ，
又 g'x=-12x+12 ， ∴g'x2=-12x2+12 ，
∴ 过点 (x2 , -14x22+12x2-54) 的切线方程为
y=-12x2+12x-x2-14x22+12x2-54 ，即 y=(-12x2+12)x+14x22-54 .
若 y=1x1x+ln x1-1 与 y=-12x2+12x+14x22-54 为同一直线，
则 &-12x2+12=1x1,&14x22-54=ln x1-1, 解得 &x1=1,&x2=-1,∴ 公切线的方程为 y=x-1 .
2.已知函数 f x= x- a2 ， g x=- x- b2 .
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f x 在 x=0 处的切线方程.
（2）若 a+ b=1 ，是否存在直线 l 与曲线 y= f x 和 y= g x 都相切？若存在，求出直线 l 的方程（若直线 l 的方程含参数，则用 a 表示）；若不存在，请说明理由.
【解】(1)当 a=1 时， f 'x=2x-1 ， f0=1 ， f '0=-2 .
所以切线方程为 y-f0=f '0x-0 ，即 y=-2x+1 .
假设公切线l存在，
则设直线 l 与曲线 y=fx 相切于点 Ax1,y1 ，
因为 f 'x=2x-a ， g'x=-2(x-b) ，
所以l： y-x1-a2=2x1-ax-x1 ，
设l与曲线 y=gx 相切于点 Bx2,y2 . ，
则 -2x2-b=2x1-a 且 -x2-b2-x1-a2=2(x1-a)x2-x1* .
由 -2x2-b=2x1-a 可得 x1-a=-(x2-b) ，
则 x1+x2=a+b=1 ，代入 * 得
-x1-a2=x1-ax2-x1 ，
解得 x1=a 或 x2=a .
当 x1=a 时， l:y=0 .
当 x2=a 时， x1=1-a ，l:y=21-2ax+2a-1 .
故存在直线 l 的方程为 y=0 或 y=21-2ax+2a-1 .
【规律方法】设公切线 l 在 y=fx 上的切点为 P1x1,fx1 ，在 y=gx 上的切点为 P2x2,gx2 ，则必定满足两切线方程的斜率相同，且两切点都在直线 l 上，从而得到关于 x1 和 x2 的方程组，消去 x1 或 x2 得关于 x2 或 x1 的方程，解方程进而求公切线.
二、判断或证明公切线条数
3.曲线 fx=e x-1 与曲线 gx=ln x 的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解】 设 x0,ex0-1 是函数 fx 图象上任意一点， f 'x=ex-1 ，所以 f 'x0=ex0-1 ，所以曲线 fx 在点 x0,ex0-1 的切线方程为
y-ex0-1=ex0-1x-x0 ，整理得 y=ex0-1⋅x+(1-x0)ex0-1① .
令 g'x1=1x1=ex0-1 ，解得 x1=e1-x0 ，则 gx1=1-x0 ，
所以曲线 gx 在点 e1-x0,1-x0
的切线方程为 y-1-x0=ex0-1x-e1-x0 ，整理得 y=ex0-1⋅x-x0② .
由于切线①②重合，故 1-x0ex0-1=-x0 ，即 x0-1⋅ex0-1-x0=0③ .
构造函数 hx=x-1ex-1-x ，则 h'x=xex-1-1 ，当 x0 ,所以 hxmin=h1=-10 ，h2=e-2>0 ,
所以函数 hx 有两个零点，所以曲线 fx 与曲线 gx 有2条公切线.
【归纳总结】判断两曲线公切线的条数的基本步骤
①分别设切点，求出切线方程；
②利用两切线重合，建立关于切点横坐标的方程组；
③消元得某一切点横坐标的方程；
④通过判断方程在规定范围内解的个数判定公切线的条数.
三、已知公切线或公切线条数求参数值（范围）
4.已知函数 f x=ln x ， x∈0,+∞ ， g x= x2- x+1 ， x∈R
（1）求函数 hx=fx-gx 在区间 0,+∞ 上的极值；
（2）判断曲线 y=fx 与曲线 y=gx 有几条公切线，并给予证明.
【解】 hx=ln x-x2+x-1 ， x>0 ，
h'x=1x-2x+1=-2x2-x-1x=-2x+1x-1x ，
当 00 ，所以 F'x=1x-1+x2x3=2x+1x-12x3 ，
当 00 ，所以 Fx 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增，所以 Fxmin=F1=-10 ，所以 Fx 在 1,+∞ 上有一个零点.由 Fx=ln x+12x+14x2-74 ，得 Fe-2=-2+e22+e44-74=e2-42+e4-74>0 ，所以 Fx 在 0,1 上有一个零点.故函数 Fx 在区间 0,+∞ 上有2个零点.故曲线 y=fx 与曲线 y=gx 有2条公切线.
5.若直线 x+y+a=0 是曲线 fx=x3+bx-14 与曲线 gx=x2-3 ln x 的公切线，则 a-b= ( )
A.26 B.23 C.15D.11
【解】 因为 gx=x2-3ln x ，所以 g'x=2x-3x ，由 2x-3x=-1 ，解得 x=1 或 x=-32 （舍去），所以切点为 1,1 .
因为切点在切线 x+y+a=0 上，所以 a=-2 ，所以切线方程为 x+y-2=0 .设直线 x+y-2=0 与曲线 fx=x3+bx-14 的切点为 t,t3+bt-14 ，
又 f 'x=3x2+b ，由题意得 &3t2+b=-1,&t+t3+bt-14-2=0, 解得 &b=-13,&t=-2, 所以 a-b=11 ，故选D.
6.已知函数 fx=2+aln x , gx=ax2+1 ，若存在两条不同的直线
与函数 y=fx 和 y=gx 的图象均相切，则实数 a 的取值范围为( )
A. 21+ln 2,+∞ B. -∞,1ln 2
C. -∞,0∪21+ln 2,+∞ D. (-∞,1ln 2]∪21+ln 2,+∞
【思路导引】设 fx 的切点坐标为 x1,2+aln x1 ， gx 的切点坐标为 x2,ax22+1 ，由导数求切点处切线的斜率，有 12x1=x2 ，由切点 (x1,2+aln x1) 求出切线方程，代入切点坐标 x2,ax22+1 ，得1a=1-14x12-ln x1 ，方程要有两个不同的实数根，构造函数 hx=1-14x2-ln x ，利用导数研究单调性，找最值，求得 1a 的取值范围，即可得实数 a 的取值范围.
解析 当 a=0 时， fx=2 ， gx=1 ，不合题意，故 a≠0 .
因为 fx=2+aln x ，所以函数 fx 的定义域为 0,+∞ ， f 'x=ax ，又 gx=ax2+1 ，所以 g'x=2ax .
相同的切线上，设 fx 的切点坐标为 x1,2+aln x1 ， gx 的切点坐标为 x2,ax22+1 ，则有
ax1=2ax2 ，即 12x1=x2 ，公切线方程为 y=ax1x-x1+2+aln x1=axx1-a+2+aln x1 ,代入点 x2,ax22+1 ，得 ax22+1=ax2x1-a+2+aln x1 ，即 a4x12+1=a2x12-a+2+aln x1 ，整理得 1a=1-14x12-ln x1 .
7.已知曲线 y=2x+ln x 在点 1,2 处的切线与曲线 y=x2+a+3x+3 相切，则 a= _ ___.
解析 因为 2x+ln x'=2+1x ，所以切线斜率为3，
则所求的切线方程为 y-2=3x-1 ，即 y=3x-1 .
由 &y=x2+a+3x+3,&y=3x-1, 消去 y 得 x2+ax+4=0 ，
Δ=a2-16=0 ，解得 a=±4 .
（直线与二次曲线的相切问题均可使用判别式法）
8. 已知函数 fx=ln x , gx=12x2+m .若曲线 y=fx 与曲线
y=gx 有公切线，则实数 m 的取值范围为_ _________.
解析 f 'x=1x ，设切点坐标 Ax1,ln x1x1>0 ，则切线斜率 k1=f 'x1=1x1 ，故切线方程为 y-ln x1=1x1x-x1 ，整理得 y=1x1x+ln x1-1 .
又 g'x=x ，设切点坐标 Bx2,12x22+m ，则切线斜率 k2=g'x2=x2 ，故切线方程为 y-12x22+m=x2x-x2 ，整理得 y=x2⋅x-12x22+m .
由题意可得 &1x1=x2,&ln x1-1=-12x22+m, 整理得 12x22-ln x2-1=m , x2>0 ，
构造 Fx=12x2-ln x-1 , x>0 ，则 F'x=x-1x=x+1x-1x ， x>0 ，
∵x>0 ，可得 x+1>0 ，
令 F'x>0 ，解得 x>1 ；令 F'x