安徽省合肥市一六八中学2026届高三下学期3月份规范训练数学试卷含解析（word版+pdf 版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则集合 的非空真子集个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】对于集合 ,解得 ,故 ,
所以 ,故 子集个数为 .
2. 已知 且 ，则 的最小值是
A. 3 B. 9 C. 5 D. 25
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,
解得 ,当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为:25.
3.设 是周期为 4 的奇函数，当 时， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 是周期为 4 的奇函数,.
4.从小到大排列的一组数据:80, 86, 90, 96, 110, 120, 126, 134，则这组数据的上四分位数为
A. 86 B. 88 C. 120 D. 123
【答案】D
【解析】因为 ,所以这组数据的上四分位数为 .
5.已知平面向量 ，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,由 得 ,解得 .
6.已知 ，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,
.
7.对于数列 ，定义 为数列 的 “优值”，现已知数列 的 “优值” ， 记数列 的前 项和为 ,则
A. 2027B. C. 2029D.
【答案】D
【解析】由 ,得 ,
②
①-②得 ，即 ， ，
所以 .
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，与双曲线 的右支交于点 . 若 为 的角平分线，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 双曲线 ,设双曲线半焦距为 ,
左、右焦点分别为 ,
是 中点,
,
是 中点, 是以 为圆心, 为半径的圆上的点,故 ,
设点 在双曲线渐近线 上,联立 得 ,
点 在双曲线渐近线 上,且 是 中点,
,故 ,解得 ,
的斜率 ,方程为 ,
联立直线与双曲线方程 ,得 ,解得 ,
在双曲线右支上, ,故点 ;
,
是 的角平分线,
,故 D 正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若复数 ，则下列选项正确的有
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【解析】由题意 ,则 ,故 正确;
的共轭复数为 ，故 错误；
，为实数，故 C 正确；
,在复平面内对应的点为 ,位于第四象限,故 正确.
10.如图, 为圆锥 的底面圆 的直径,点 是圆 上异于 的动点, ,则下列结论正确的是
A. 圆锥 的侧面积为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】在 Rt 中, ,则圆锥的母线长 ,半径 ,
对于 ,圆锥 的侧面积为: 错误;
对于 ,当 时, 的面积最大,此时 ,
则三棱锥 体积的最大值为: ，B 正确；
对于 是等腰三角形, ,又因为 ,则 ,
依题意, ,而 ,因此 正确;
对于 ,由 ，得 ，有 为等腰三角形，
将 以 为轴旋转到与 共面的位置，得到 为等腰三角形， ，
于是 ,


所以 , D 正确.
11.已知直线 与曲线 相交于不同两点 ,曲线 在点 处的切线与在点 处的切线相交于点 ,则
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对 ,令 ,则 ,
故 时 单调递增; 时 单调递减,
所以 的极大值 ,且 ,
因为直线 与曲线 相交于 两点,
所以 与 图象有 2 个交点,所以 ,故 正确;
对 ,设 ,且 ,可得 ,
在 点处的切线程为 ,
即 ,
因为 ,所以 ,即 ,故 B 错误;
对 ,因为 ,所以 ,
因为 为两切线的交点,
所以
,
即 ,所以 ,
所以
,故 C 正确;
对 ,因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,所以 ,
同理得 ,得 ,即 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,故 正确.
其中不等式 ①的证明如下:
不等式① (其中 ),
构造函数 ,则 .
因为 ,所以 ,所以函数 在 上单调递减,故 ,从而不等式①成立.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.“ ”是“函数 为幂函数,且在 上单调递减”的_____条件.
【答案】充分不必要
【解析】当 为幂函数时, ,解得 或 ,代入验证单调性都满足,所以 “ ” 是 “ 为幂函数”的充分不必要条件 .
13.若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_______.
【答案】
【解析】要使函数有意义,则 ,解得 ，取交集 .
14.如图将一个矩形划分为如下的 六个区域,现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域(顶点与边重合或顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有_____种不同的染色方案.
【答案】192
【解析】法一: 间隔元素分析法:
① 同色， 同色，则 有两种上色方式， 被 确定，故有 种；
② 同色， 不同色，则 仅有 1 中上色方式， 被 确定，故有 种；
③ 不同色， 同色，则若 与 同色，则 有 1 种上色方式；
若 与 不同色,则 只有 1 种上色方式;
故有 种;
④ 不同色， 不同色，
1) 同色,则有 种;
2) 不同色,则有 种.
综上,共有 种方式.
法二: 相邻最多元素优先分析法:
考虑到 影响的元素最多:
① 、 、 、 各不同色，1) 、 同色，则 有 3 种染色法，故共有 种；
2) 、 不同色，则 有 2 种染色法，故共有: 种；
② 、 同色，1) 、 同色，则 只有 1 种染色法(4 种颜色都要使用到)，
故有 种; 2) 不同色,则 有 2 种染色法,故有 种.
综上: 共有 种染色方案 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图,在平面凸四边形 中,已知
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【解析】 (1) 在 中,由余弦定理得 ,解得 ,
在 中,由余弦定理得 ,则 ,则
在 中,由正弦定理得
(2)因为 ，得 ，在 中，
在 中,由正弦定理得 ,
则由余弦定理: 得 .
16.已知函数 ，()
(1)设 ，讨论 的单调性；
(2)设 ，若 有解，求 的取值范围.
【解析】(1) .
所以 ,
所以 在定义域 单调递增;
(2)函数 为偶函数，由对称性可将问题转化为存在 ，使 有解； 而 ;
因为 ,所以 ,故 在 上为增函数;
当 时， ,所以 在 上为增函数;
故 ,所以 在 上为增函数,
故 ，不符合题意；
当 时， ， (前面已证)，
故 ,使 ,所以 时,有 为减函数,故 ,
所以 时,有 为减函数,故 ,符合题意,
综上所述 的取值范围是 .
17.如图所示，在四棱柱 中，底面 是梯形， ，侧面 为菱形， .
(1)求证: ；
(2)若 ， ，点 在平面 上的射影恰为线段 的中点，求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
证明: (1)连接 ,易知 ,又 为 的中点， ，又 ， 面 ， 面 ，
(2) 在面 为 ，又 ，则以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
令 ,则 ,
,则 ,
又 ,
设面 的法向量为 ,则 ,
令 , 又 ,
则 与平面 与所成角的正弦值为 .
18.已知抛物线 ， 为坐标原点，过点 作斜率为 的直线 交抛物线 于 两点，其中 在第一象限，直线 交抛物线 于另一点 ，其中 ，直线 与直线 交于点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)记 与 的面积分别为 .
① 当 四点共圆时，求直线 的方程；
② 求 的取值范围.
【解析】(1) 由点 得到 ,代入抛物线
得到:16=8P,得 .
故抛物线 的方程为: ;
(2) ① 设 ，
联立 ，得 ；
得到 ；
当 四点共圆时,则有 ,故 , 则 ,从而
由 ;
得到: ;
得: ,故 ;
所以直线 的方程为: ;
②由直线 的斜率 得到: ,
由 ,得到直线 ,
由 ,得 ,
直线 BD: ,
联立方程 ，解得
由
所以 ,
而 ,
由 ,得到: .
故 的取值范围为 .
19.线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景。某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由 0 和 1 组成的序列:
① 初始设置:前三位为 ；
② 生成规则:从第 4 位开始，计算公式为
其中 是正整数。
(1)求数列 的前 6 项；
(2)设 ，求 的通项公式；
(3) 设 ,求 的值.
【解析】(1)由递推关系得，
(2)观察:
数列 的周期 ,且
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
(3)由(2)得，数列 的前 20 项中有 12 个数字为 1，有 8 个数字为 0，故 共有 190(种)情况，分成 3 类
① 当 时，有 94 种情况，此时 ，故这类的和为 94;
② 当 时，有 54 种情况，此时 ，故这类的和为 162；
③ 当 时，有 42 种情况，此时 ，故这类的和为 63；
综上， .