安徽省合肥一六八中学2026届高三上学期数学限时训练（三）试卷（Word版附解析）

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命题：范忠 审题：李卉
一、单选题
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合 B，进而可求并集.
【详解】因为集合 ，
且集合 ，所以 .
故选：C.
2. 若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数除法运算求出 ，找出其对应点所 象限.
【详解】因为 ，所以 ，
所以复数 在复平面内对应点 ，位于第四象限.
故选：D.
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用 的关系式以及均值不等式即可求出答案.
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【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为 .
故选：B.
4. 双曲线 C： 的右支上一点 P 在第一象限， 分别为双曲线 C 的左、右焦点，M 为
的内心，若内切圆 M 的半径为 1，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点 的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正
切公式求解.
【详解】双曲线 的实半轴长 ，焦点 ，
设圆 与 三边 分别相切于点 ，
则 ，
又 ，解得 ， ，
则点 ，因为 轴，所以由题 ， ，
所以直线 的斜率 .
故选：D
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5. 已知 均为单位向量，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用数量积的运算律求得 ，再结合数量积的定义即可求解.
【详解】由题意 ，则 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，
显然最大值为 ，此时 .
故选：C
6. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新
药进入了临床试验阶段，经检测，当患者 A 给药 3 小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过 2 小时检测
一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 ，当血药浓度为峰值的 时，给药时间
为（ ）
A. 11 小时 B. 13 小时 C. 17 小时 D. 19 小时
【答案】B
【解析】
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比
数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第 n 次时，给药时间为 ，则 是以 3 为首项，2 为公差 等差数列，
所以 ，
设当给药时间为 小时的时候，患者血药浓度为 ，血药浓度峰值为 a，
则数列 是首项为 a，公比为 的等比数列，所以 ，
令 ，即 ，解得 ，
当血药浓度为峰值 时，给药时间为 ，
故选：B.
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7. 如图，在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 为线段 上
的点， ，则平面 与平面 所成角的正切值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建系标点，分别求平面 与平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【详解】设 为 的中点，由正三棱柱的性质， ， ， 两两垂直，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
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令 ，则 ，可得 ，
平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
可得 ，所以 .
故选：C．
8. 已知点 A 为直线 上一动点，点 ，且满足 ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过构造关系 找到定点 ，将最值转化为求 的最值，进而转化为
最值，则点线距求解可得.
【详解】∵ ，∴ .
设 P 点坐标为 ，由题意 ，则 ，
∴P 点轨迹是以 点为圆心，1 为半径的圆，记为圆 ，
设在 轴上存在定点 ，使得圆上任意一点 ，满足 ，
则 ，
化简得 ，
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又∵ ，代入得 ，
要使等式恒成立，则 ，即 .
∴存在定点 ，使圆上任意一点 满足 ，
则 ，
当 A，P，M 三点共线（ 位于 两侧）时，等号成立.
又 点为直线 上一动点，则 的最小值即为点 到直线的距离，
由 到直线距离 ，则 .
故 .
如图，过 作直线 的垂线段，垂线段与圆 的交点即为取最值时的点 ，此时取到最小值
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若 为两定点，动点 满足 ，则 时，
动点 的轨迹为直线；当 且 时，动点 的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借
助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数 为 ，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性
质等求解最值.
二、多选题
9. 下面命题正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 命题“若 ，则 ”的否定是“存在 ， ”
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C. 设 ， ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
D. 设 ， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】对选项 A，“ ” “ ”，充分性满足，
而当 时，可得 或 ，故必要性不满足，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 A 正确；
对选项 B，命题“若 ，则 ”的否定是“存在 ，使得 ，故 B 错误；
对选项 C，当“ 且 ”成立，则“ ”成立，充分性满足，
但“ ”成立时，“ 且 ”不一定成立，如： ， ，必要性不满足，
则“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件，故 C 错误；
对选项 D，由 且 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 D 正确．
故选：AD.
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约 40%的人近视，而该校大约有 20%的学生每天玩手
机超过 1 ，这些人的近视率约为 50%.现从每天玩手机不超过 1 的学生中任意调查一名学生，则他近视的
概率为
B. 在三位数中，形如“ ”的数叫做“对称凹数”，如： ， ， ，则在所有三位数中共有
个对称凹数
C. 北京 2022 年冬奥会即将开幕，北京某大学 5 名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1
个场馆，每个场馆至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法共有 150 种
D. 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且比 1000 大的四位奇数共有 36 个
【答案】ACD
【解析】
【分析】设该学校的学生数为 ，得出该校学生有 人近视，有 人学生每天玩手机超过 1 ，有
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人学生每天玩手机不超过 1 ，每天玩手机超过 1 的近视的学生人数为 ，可得每天玩手机不超
过 1 的近视的学生为 ，从而可判断 A；利用列举法可判断 BD；5 名同学分三组有 和 两种
分法再计算每种情况的安排分法可判断 C.
【详解】对于 A，假设该学校的学生数为 ，因为该校学生大约 40%的人近视，所以该校学生大约有
人近视，因为该校大约有 20%的学生每天玩手机超过 1 ，所以该校大约有 人学
生每天玩手机超过 1 ，所以该校有 人学生每天玩手机不超过 1 ，因为每天玩手机超过 1 的
近视率约为 50%，所以该校每天玩手机超过 1 的近视的学生人数为 ，所以该校每天玩手机
不超过 1 的近视的学生为 ，所以从每天玩手机不超过 1 的学生中任意调查一名学生，则
他近视的概率为 ，故正确；
对于 B，当 时， ，共有 9 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 8 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 7 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 6 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 5 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 4 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 3 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 2 个“对称凹数”，
当 时， ，共有 1 个“对称凹数”，
则在所有三位数中共有 个对称凹数，故错误；
对于 C，5 名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，每个场馆至少安排 1 名志愿
者有 和 两种分法，
当为 时，有 种安排分法，当为 时，有 种安排分法，
则不同的安排方法共有 150 种，故正确；
对于 D，用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且比 1000 大的四位奇数共有 36 个
当千位是 1 个位数字是 3 时，中间两个数字随意安排都比 1000 大，有 个，
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当千位是 2 个位数字是 1 时，中间两个字数字随意安排都比 1000 大，有 个，
当千位是 2 个位数字是 3 时，中间两个字数字随意安排都比 1000 大，有 个，
当千位 3 个位数字是 1 时，中间两个字数字随意安排都比 1000 大，有 个，
当千位是 4 个位数字是 1 时，中间两个字数字随意安排都比 1000 大，有 个，
当千位是 4 个位数字是 3 时，中间两个字数字随意安排都比 1000 大，有 个，
所以共有 36 个数字，故正确；
故选：ACD.
11. 若函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是 的极大值点 B. 当 时， 有两个零点
C. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先利用换元将 化成 ，利用导数研究 的单调性与极值，A 选
项 令 进 行 检 验 即 可 ； B 选 项 利 用 的 性 质 即 可 判 断 ； C 选 项 构 造 函 数
， 结 合 的 性 质 ， 即 可 得 解 ； D 选 项 构 造 函 数
，利用导数研究函数的单调性，再通过换元 ，即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
令 ( )，
在 上单调递增， ，即 ，
， ，
令 ，即 ， ，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
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当 时， ，函数 在 上单调递减；
是函数 的极大值点，此时 ，
对于 A 选项，当 时， ，故 A 错误；
对于 B 选项，
， ，
又当 时， ，当 时， ，
， ，即当 时， 有两个零点，即 有两个零点，故 B 正确；
对于 C 选项，由于 ，令 ， ，即 ，
不妨设 ，则有 ，
令 ，
，
， ，则 ， 在 上单调递增，
则当 时， ，即 ；
又 ， ， 函数 在 上单调递减，
，即 ，故 C 正确；
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对于 D 选项，由于 ，即 ，
，则 ，且有 ，
令 ， ，
则函数 在 上单调递减，
当 时， ，即当 时， ，
令 ，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，故 D 正确.
故选:BCD．
三、填空题
12. 在 的展开式中， 的系数为_______，（用数字作答）
【答案】-80
【解析】
【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】在 的展开式中， 的系数为
故答案为：-80
13. 已知锐角 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角 的取值范围，利用角的
关系，将变量都转化为角 ，根据角 的取值范围求出原式的取值范围.
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【详解】在锐角 中，由 ，有 ，
法一：有余弦定理知， ，所以 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
法二：由正弦定理知， ，
又 ，从而 ，故 ，所以 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 函数 的定义域为 ,若满足① 在 内是单调函数,②存在 ,使 在 上的值
域为 ,那么 叫做对称函数,现有 是对称函数, 那么实数 的取值范围
是________.
【答案】[ 2 , ).
【解析】
【分析】 是对称函数，显然 在 内是单调减函数，满足条件①；根据函数的
单调性，由条件②可得 ，即 ，等价于方程 在 有
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两个不同的解，从而解得 k 的范围．
【详解】解：因为函数 是对称函数
所以函数 满足题中的条件①②，
显然函数 是单调减函数，
当函数 满足条件②时，
设区间 ，
因为 在 上的值域为 ,
根据函数的单调性可得 ，
即 ，
等价于方程 在 有两个不同的解，
令 ，
，
故
【点睛】本题考查了函数的单调性与值域的问题，解决该问题的一般方法是由单调性得出函数的大致图形，
根据图形可以求出函数的值域．
四、解答题
15. 在 中，角 的对边分别是 ，且
（1）求角 的大小
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长
【答案】（1） ；
（2）6
【解析】
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【分析】（1）由正弦定理可得 ，整理可得 ，再由余弦定理即可求
解；
（2）由 的面积为 可得 ，再由余弦定理可得 ，结合 可求得
，即可得到 的周长.
【小问 1 详解】
，
由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，由余弦定理， ，
，
.
【小问 2 详解】
由三角形面积公式可得： ，解得 ，
由余弦定理可得： ，
解得： ，则
三角形的周长为 6.
16. 设数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
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（1）利用递推公式,作差后即可求得 的通项公式.
（2）将 的通项公式代入,可得数列 的表达式.利用裂项法即可求得前 项和.
【详解】（1）数列 满足
时,
∴
∴
当 时, ,上式也成立
∴
（2）
∴数列 的前 n 项和
【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.
17. 年 月 日是我国建国 周年纪念日，党中央、中央军委决定在首都举行庆祝建国 周年的阅
兵仪式，向国际社会展示我国近几十年取得的伟大成就，这是一件让全国人民高兴的大事，因此每天有很
多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注新闻时间在 小时以上的人称为“新闻迷”，
否则称为“非新闻迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了 人进行抽样分析，得到下表（单位：
人）：
非新闻迷 新闻迷 合计
岁及以下
岁及以上
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合计
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关？
（2）①现从抽取的 岁及以下的人中，按“非新闻迷”与“新闻迷”这两种类型进行分层抽样抽取 人，然
后，再从这 人中随机选出 人，求其中至少有 人是“新闻迷”的概率；
②将频率视为概率，从所有参与调查的人中随机抽取 人参加 周年国庆座谈会，记其中“新闻迷”的人数
为 ，求 的数学期望和方差．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
【答案】（1）能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关；（2）①
，② .
【解析】
【分析】（1）计算 ，从而由独立性检验得方法即可得到答案；
（2）①先求出“非新闻迷”与“新闻迷”抽取的人数，然后利用几何概型求解即可；
②由已知可得人群中任意抽取 人，恰好抽到“新闻迷”的概率为 ，“新闻迷”人数 服从二项分布
，再由二项分布的性质求解即可
【详解】 ．
，
能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关．
（2）①依题意，抽取的 名 岁及以下的人中，是“非新闻迷”的有 （人），
是“新闻迷”的有 （人）．
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则选出的 人中至少有 人是“新闻迷”的概率为
．
②由列联表知是“新闻迷”的频率为 ，
将频率视为概率，即从人群中任意抽取 人，
恰好抽到“新闻迷”的概率为 ．“新闻迷”人数
由题意得“新闻迷”人数 服从二项分布，且 ，
， ．
18. 已知动圆 与动圆 ，满足 ，记
与 公共点的轨迹为曲线 ，曲线 与 轴的交点记为 ， （点 在点 的左侧）．
（1）求曲线 的方程；
（2）若直线 与圆 相切，且与曲线 交于 ， 两点（点 在 轴左侧，点 在 轴右侧）．记
直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 是定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义确定曲线 为双曲线，求解 ， ， 即可：
（2）设 ， ，其中 ，设 的方程为 ，根据直线 与圆 相
切求出 的关系，联立 ，利用韦达定理求出 ，再运用斜率公式表示 ，结
合韦达定理求解．
【小问 1 详解】
设圆 ， 的交点为 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
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故点 的轨迹（曲线 ）是以 ， 为焦点的双曲线，
从而 ， ，即 ， ，
故曲线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ， ，其中 ，
由条件，直线 的斜率存在，设 的方程为 ．
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
所以 ，
由条件 ， ，即 ，
所以 ，
由题意知， ， ．
所以
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即 为定值 ．
19. 在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线 ，我们
定义曲线段 的平均曲率为 ，曲线在点 C 处的曲率为 （若极限存在），
其中 ， 分别表示 在点 C 处的一阶、二阶导数值.已知函数 .
（1）求函数 在点 处的曲率；
（2）求函数 的曲率 K 的最大值；
（3）设函数 ， ，若存在 使得 曲率为 0，求证：
.
【答案】（1） ；
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（2）2； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用曲率的定义，求出函数在点 处的曲率.
（2）利用曲率的定义求出曲率函数，换元并利用单调性求出最大值.
（3）由曲率为 0 得 ，构造函数 ，利用导数探讨 有两个解 ，再按
和 分类证明不等式.
【小问 1 详解】
函数 ，求导得 ， ，则 ， ，
所以函数 在点 处的曲率 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递减，
当 ，即 时，函数 的曲率 K 取得最大值 2.
【小问 3 详解】
函数 ，求导得 ， ，
由 曲率为 0，得 ，则 ，即 ，令 ，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处取得最大值 ，
又当 时， 恒成立，而 ，因此 有两个解 ，
当 时， ，则 ，设 ， ，
于是 ， ， ，则 ， ，
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不等式 ，
令 ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，则 ；
当 时， ，
不等式 ，
，同理 ，函数 在 上单调递增，
因此 ，则 ，
所以 .
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