【数学】北京燕山教育集团2025-2026学年高二第一学期期末考试试题（学生版+解析版）

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1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线的斜率为，则倾斜角为，
故选：B.
2. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在椭圆中，，，则，
因此，双曲线的离心率为.
故选：C.
3. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为，
所以椭圆中
故选：D.
4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ）
A. B. 1C. 10D. 11
【答案】D
【解析】∵点在平面内，∴存在实数，
使得等式成立，
∵，，，
∴，
∴，解得.
故选：D.
5. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 15C. D. 30
【答案】B
【解析】，
令，得，
∴常数，
故选：B．
6. 在正三棱锥中，二面角的平面角为，则与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可作图如下：

其中为线段的中点，为等边的中心，
易知，
在等腰中，由为线段的中点，则，
所以是二面角的平面角，则，
正三棱锥中，易知平面，
因为平面，所以，
设底面等边的边长为，则，
在中，，
则，，
在中，，
在中，，由图可知为与平面所成角.
故选：D.
7. 从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从中选一个数字，有种方法；
从中选两个数字，有种方法；
组成无重复数字的三位奇数，有种方法，
所以三位奇数的个数共有.
故选：B.
8. 已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由双曲线，可知，且渐近线方程为
若点F到直线l的距离，得，或，
如图，由双曲线性质可知，直线l与双曲线C没有公共点；
反之，若直线l与双曲线C没有公共点，因为直线l过原点，
由图可知，，或，
则，
即点F到直线l的距离大于或等于1，
所以，“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】设是中点，因为，所以，
即在以原点为圆心，为半径的圆上，
，，
又，所以，所以．
故选：C．
10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论错误的是（ ）
A. 平面CMN截正方体ABCD—所得的截面图形是五边形
B. 直线到平面CMN的距离是；
C. 存在点P，使得
D. △面积的最小值是．
【答案】D
【解析】如图，直线与、的延长线分别交于，
连接分别交于，连接，
则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
由题可知，平面，平面，
∴平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设点到平面的距离为h，由正方体的棱长为2可得，
，，
则，，
所以，
∴，
因为，
则，
∴由，则，所以，
所以直线到平面的距离是，故B正确；
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
则.
设，，
∴，又，，，
∴，，，
假设存在点，使得，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
故存在点，使得，故C正确；
由上知，所以点在的射影为，
∴点到的距离为：
，
∴当时，，
∴故面积的最小值是，故D错误.
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知直线与直线垂直，则_________.
【答案】或
【解析】由题设知：，解得.
故答案为：.
12. 已知，那么______，______.（用数字作答）
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】把代入已知等式，得，
把代入已知等式，得，
所以，
故答案为 1;．
13. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm.
【答案】##
【解析】以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
如图所示，
设双曲线方程为，由已知可得，且，
所以，即，所以双曲线方程为.
由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，
所以双曲线过点和，代入双曲线方程得：
，解得：.
所以，即喉部（最细处）的直径为 cm.
故答案为：.
14. 已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________.
【答案】 ## 4.5
【解析】依题意可得，则，，
设直线：，
联立，消去得，
设、，
则，，，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以，
因为，所以.
所以点到轴的距离为.
故答案为：.
15. 已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：
（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；
（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3）面积的最大值为；
（4）线段长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】（2）（3）
【解析】点在曲线：上，
所以，所以曲线：，所以曲线为焦点在轴上的椭圆，
所以，所以（1）错误；
将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），
设曲线上任意一点设为，扩大后的坐标设为，
所以，所以，因为在上，
所以，所以化简后为：，
表示以原点为圆心，半径为2的圆，所以（2）正确；
设直线为：，所以联立得：，
即，
，
所以，
因为，
所以当时，，所以（4）错误；
到直线直线：的距离为：，
，当且仅当时取等，
即时取等，故（3）正确.
故选：（2）（3）.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 从4名男生和3名女生中各选2人，
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
（3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
解：（1）因为直线：的斜率为，
又，直线：，所以，则；
（2）由，令可得，所以直线过定点，
因为显然满足，即点在圆上，
所以直线与圆恒有公共点；
（3）因为圆的圆心为，半径为，
又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，
为直角三角形，所以，则为斜边，且，
又圆心到直线的距离为显然恒成立，
根据圆的性质可得：，
所以，解得.
19. 已知椭圆过点，，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
解：（1）椭圆过点，，故，离心率，故，
则，故.
（2）由、，则直线为，即，
联立，可得，则，
故，则，即，
则、，有，
故直线与直线垂直.
20. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点.设平面平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若平面与棱交于点，求的值.
（1）证明：在中，因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，所以.
（2）解：设，连接，
因为为正四棱锥，所以为正方形的中心，
所以，平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：
由题意可知，，，，，，，，
故，，，
设平面法向量为，
则，即，
令，则.
因为平面，所以为平面的法向量，，
设平面与平面夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：由题意得，平面与平面共面，
连接，设，（），所以，
因为，所以，
平面的法向量为，
由平面，可知，
即，解得．
即
21. 已知椭圆的焦距为2，离心率为，点P为椭圆右顶点、F为椭圆右焦点．过椭圆右焦点作斜率不为0的直线l交椭圆于两点M和N，直线和直线、分别交于A、B两点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）请判断以为直径的圆是否过x轴上两定点？若过请求出这两定点坐标，若不过说明理由．
解：（1）由已知可得，，则.
又，所以，.
所以，椭圆的标准方程为.
（2）以为直径的圆过x轴上两定点，
两定点坐标为，.
由（1）可得，椭圆右顶点，右焦点.
当直线斜率不存在时，方程为，可推得，.
易知分别与重合，则，，
此时圆心为，半径为，圆的方程为，
与轴交于两点，分别为，；
当直线斜率存在时，设方程为，，.
显然直线与椭圆相交，
联立直线方程与椭圆的方程
可得，，
根据韦达定理得，.且，.
又，直线方程为，
代入，可得点坐标为.
，直线方程为，
代入，可得点坐标为.
则，，
.
即，所以，则点在以为直径的圆上.
同理可证，所以，则点在以为直径的圆上.
所以，以为直径的圆经过x轴上两定点，
两定点坐标为，.