北京燕山教育集团2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份北京燕山教育集团2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.直线y= 3x−1的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
2.双曲线x23−y2=1的离心率为
A. 33B. 63C. 2 33D. 3
3.已知椭圆x2a2+y22=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )
A. 32B. 2 33C. 22D. 63
4.已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7,−5)，点P(x,−1,3)在平面ABC内，则x的值为( )
A. −4B. 1C. 10D. 11
5.在x−1x26的展开式中，常数项为( )
A. −15B. 15C. −30D. 30
6.在正三棱锥A−BCD中，二面角A−BC−D的平面角为30 ∘，则AC与平面BCD所成角的正切值为( )
A. 3B. 32C. 33D. 36
7.从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为( )
A. 36B. 24C. 18D. 12
8.已知点F是双曲线C：x2−y2=1的一个焦点，直线l：y=kx，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.设A、B为圆x2+y2=1上的两动点，且∠AOB=120°，P为直线l：3x−4y−15=0上一动点，则|PA+PB|最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论错误的是( )
A. 平面CMN截正方体ABCD—A1B1C1D所得的截面图形是五边形
B. 直线B1D1到平面CMN的距离是2 1717；
C. 存在点P，使得∠B1PD1=90∘
D. △PDD1面积的最小值是5 56．
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知直线ax+3y+2=0与直线x+(a−1)y−1=0垂直，则a= ．
12.已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，那么a0= ，a1+a2+⋅⋅⋅+a7= .(用数字作答)
13.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部(最细处)的直径为______cm．
14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为3，过焦点F的直线与抛物线交于A､B两点，且AF=3FB，则点A到y轴的距离为 ．
15.已知点A1, 2在曲线E：2mx2+my2=1上，斜率为 2的直线l与曲线E交于B，C两点，且B，C两点与点A不重合，有下列结论：
(1)曲线E有两个焦点，其坐标分别为(− 2,0)， 2,0；
(2)将曲线E上所有点的横坐标扩大为原来的 2倍(纵坐标不变)，得到的曲线是一个圆；
(3)△ABC面积的最大值为 2；
(4)线段BC长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？(用数字作答)
17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．
(1)求点A1到平面ADC1的距离；
(2)求直线CD与平面ADC1所成角的正弦值．
18.已知直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0，a∈R．
(Ⅰ)若l1//l2，求a的值；
(Ⅱ)求证：直线l2与圆x2+y2=4恒有公共点；
(Ⅲ)若直线l2与圆心为C的圆(x−a)2+(y−1)2=4相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，求a的值．
19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为 22．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设点P(2,2)，直线PA与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，判断直线OP与直线BC的位置关系，并说明理由．
20.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2 2，E，F分别为PB，PD的中点.设平面AEF∩平面ABCD=m．
(1)求证：BD//m；
(2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值；
(3)若平面AEF与棱PC交于点M，求PMPC的值．
21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为12，点P为椭圆右顶点、F为椭圆右焦点．过椭圆右焦点作斜率不为0的直线l交椭圆于两点M和N，直线x=1和直线PM、PN分别交于A、B两点．
(1)求椭圆标准方程；
(2)请判断以AB为直径的圆是否过x轴上两定点？若过请求出这两定点坐标，若不过说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.B
6.D
7.B
8.A
9.C
10.D
11.34
12.1；−2
13.8 23
14.92/ 4.5
15.(2)(3)
16.解：(1)根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有C42种选法，女生有C32种选法，
故选法有C42C32=18种；
(2)根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有C31C22=3种，
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有C32C21=6种，
男生甲和女生乙被选中，有C31C21=6种，
则共有3+6+6=15种选法，
(3)男生甲和女生乙同时被选中的选法为C31C21=6种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为A44=24种，
甲跑第一棒的安排方法为A33=6种，
乙跑最后一棒的安排方法为A33=6种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为A22=2种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为6×(24−6−6+2)=84种．
17.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,0,0)，A1(0,0,4)
B(2,0,0)，C1(0,2,4)，D(1,1,0)，A1C1=(0,2,0)，AD=(1,1,0)，AC1=(0,2,4)，
设平面AC1D的法向量n=(x,y,z)，则n⋅AD=x+y=0n⋅AC=2y+4z=0，
取x=2，则y=−2，z=1，则n=(2,−2,1)，
∴点A1到平面ADC1的距离d=|AC⋅n||n|=4 4+4+1=43:
(2)平面AC1D的法向量n=(2,−2,1)，CD=(1,−1,0)
设直线CD与平面AC1D所成角为α，α∈[0,π2]，
则sinα=|cs|=|n⋅CD|n||CD||=|2+2+0| 4+4+1× 1+1+0=2 23，
所以直线CD与平面AC1D所成角的正弦值为2 23．

18.解：(Ⅰ)∵l1//l2，直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0，a∈R，
∴2×(−a)−(−1)×1=0，解得a=12，
验证知，a=12，l1//l2，故a的值是12；
(Ⅱ)l2：x−ay−2=0，a∈R，过点(2,0)，
将点(2,0)代入圆的方程得，22+0=4，即点(2,0)在圆x2+y2=4上，
故直线l2与圆x2+y2=4恒有公共点；
(Ⅲ)由题意，△ABC为直角三角形，故圆心到直线的距离是半径的 22倍，即圆心到直线的距离是 2，
由圆心坐标是(a,1)，由点到直线的距离公式知，圆到直线的距离是|a−a−2| 1+a2，
故|a−a−2| 1+a2= 2，解得a=±1，
所以a的值±1．
19.解：(1)椭圆过点A(−2,0)，B(2,0)，故a=2，离心率e=ca= 22，故c= 2，
则b= 22−( 2)2= 2，所以椭圆E的方程为x24+y22=1．
(2)由A(−2,0)、P(2,2)，可得直线AP的方程为y=2−02−(−2)(x+2)，即y=12x+1，
联立y=12x+1x24+y22=1，消去y整理得3x2+4x−4=0，则xA+xC=−43=−2+xC，
故xC=23，则yC=12×23+1=43，即C(23,43)，
则kOP=22=1，kBC=43−023−2=−1，
则kOPkBC=1×(−1)=−1，
所以直线OP与直线BC垂直．
20.解：(1)在▵PBD中，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF//BD，
又因为EF⊂平面AEF，BD⊄平面AEF，
所以BD//平面AEF，
又因为BD⊂平面ABCD，平面AEF∩平面ABCD=m，所以BD//m．
(2)设AC∩BD=O，连接PO，
因为P−ABCD为正四棱锥，所以O为正方形ABCD的中心，
所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD
以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：
由题意可知，A2,0,0，B0,2,0，C−2,0,0，D0,−2,0，P0,0,2，E0,1,1，F0,−1,1，
故PC=−2,0,−2，AE=−2,1,1，EF=0,−2,0，
设平面AEF的法向量为m=x,y,z，
则，即，
令x=1，则m=1,0,2．
因为PO⊥平面ABCD，所以PO为平面ABCD的法向量，PO=0,0,−2，
设平面AEF与平面ABCD夹角为φ，
则csφ=csm,PO=m⋅POmPO=−42⋅ 5=2 55．
所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为2 55．
(3)由题意得，平面AEF与平面AEMF共面，
连接AM，设PMPC=λ，(0