湖北省随州市2026届高三下学期三月统考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知全集 ，则集合
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
2. 在复平面内,向量 对应的复数为 ,向量 对应的复数为 ,则向量 对应的复数为
A. -4-5i B. C. -2-3i D.
【答案】C
【解析】因为向量 对应的复数为 -1 +4i,向量 对应的复数为 ,
所以
所以向量 对应的复数为 .
3.一批零件共有 10 个，其中有 4 个不合格. 随机抽取 3 个零件进行检测，恰好有 1 件不合格的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由组合数和古典概率可得 .
4.知等差数列 前 项和为 ，若 ，则
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】.
5.在 的展开式中 的系数为
A. 280 B. 300 C. 320 D. 360
【答案】A
【解析】含 的项为 .
6.已知函数 ，其中 ，3 为 的极大值点. 若 在 内有最小值，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,由于 ,则 ,
故 是 的极大值点,故 是 的极小值点;
若 在 内有最小值,只需 即可,解得 .
7.已知抛物线 ,其中 是过抛物线焦点 的两条互相垂直的弦,直线 的倾斜角为 ，当 时，如图所示的四边形 的面积为
A. 43B. C. D. 42
【答案】C
【解析】 , ,
同理: .
8.某个圆锥容器的轴截面是边长为 6 的等边三角形，一个表面积为 的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设小球的半径为 ,所以小球的表面积为 ,所以 , 在圆锥内壁侧面, 小球接触到的区域围成一个圆台侧面, 如下图所示:
因为小球的半径 ,
所以 ，
又 都是等边三角形,所以 ，
圆台的上、下底面圆的半径分别为 ,
母线长 ,
所以圆台的侧面积为 ,
在圆锥底面,小球接触到的区域是一个圆,其半径为 ,其面积为
综上,圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点. 对于 内任意一点 ，若 ,则称有序实数对 为点 的广义坐标. 若点 的广义坐标分别为 ,则
A. 点 关于点 的对称点为
B. 两点间的距离为
C. 若向量 平行于向量 ，则 的值为 0
D. 若 为线段 上靠近点 的三等分点，则点 的广义坐标为
【答案】AC
【解析】对于 ,设 关于点 的对称点为 ,
则 ,因为 不共线,所以 , A 正确;
对于 ,因为 ,
所以 ,
当向量 是相互垂直的单位向量时, 两点间的距离为 ,
否则距离不为 ，B 错误；
对于 ,当 或 是 时,结论成立;
当 与 都不为 时,设 ,有 ,
即 ,所以 正确;
对于 , 所以线段 中点 的广义坐标为 , D 错误.
10.在 中，角 所对的边分别为 的面积为 ，若 ，则
A. B.
C. 的最大值为 1D. 的最大值为 5
【答案】ABD
【解析】 ,即 ,
由正弦定理可得 ,即 ,故 正确.
,
即 ,
由正弦定理可得 ,故 B 正确;
,则当 时, 取得最大值为 1,
但是由 得 ,不合题意,故 错误;
由余弦定理得 ,
,其中 ,则可得 的最大值为 ，故 D 正确.
11. 为椭圆 上一点， 为 的左、右焦点，在 中，若 ,则
A. 的离心率为
B. 若 为直角三角形,则这样的 点有 8 个
C. 延长 交 于点 ，若 ，则 与 的内切圆半径之比为2:1
D. 的内心为 ，直线 与 轴相交于点 ，则
【答案】ACD
【解析】在 中，由正弦定理得 ，所以 ，A 正确；
对于 : 当 为上下顶点时, 最大,为 ,故这样的点 有 4 个,使得 为直角三角形, B 错误;
对于 : 由题意可得, 与 的面积之比为 2:1,又因为它们的周长相同,故内切圆
半径的半径之比为 2:1, 正确;
对于 : 由角平分线性质定理
,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则 ________.
【答案】
【解析】已知 ,则 .
因为 ,则 ,
代入上式可得 ，解得 ，
则 .
13.已知圆 ，直线 ，点 ，点 在圆 上运动，点 满足 ( 为坐标原点)，则点 到直线 距离的最大值为_______.
【答案】
【解析】设 ,由 有 ,
所以 ,又点 在圆 上,所以 ,
即 ,所以点 在以 5 为半径,圆心为 的圆上,
由圆心 到直线 的距离为 ,
所以点 到直线 的距离的最大值为: .
14.定义集合 ,例如: 若 ,则 , . 把集合 中满足条件 的元素组成的集合记为 ,即 . 已知集合 ，则 中的元素个数为________.
【答案】56
【解析】 中的元素满足 ,且 ,
将问题转化为将 9 个相同的小球放入 6 个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是 ， 应用隔板法即有 种分法 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.2024 年中央一号文件提出 “发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道”。某山区县依托生态资源，大力发展高山云雾茶种植。该县农业农村局统计了 2025 年 1 月至 12 月某品牌高山茶的月销售量(单位:吨)，数据如下:
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 判断 与 是否具有较强的线性相关关系(结果精确到 0.1)(若 ，则认为 与 的线性相关性很强)；
(2)求 关于 的线性回归方程 (结果精确到 0.1).
参考数据: ,
参考公式: .
【解析】(1)判断线性相关关系: 计算 , 5 分
因为 ,所以 与 具有较强的线性相关性. 6 分
(2) , 9 分
, 11 分
故线性回归方程为: .13 分
16.已知 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
( 2 )设 ，若 在 上有极值点 .
① 求 的取值范围；
②证明: .
【解析】(1)由题意知 的定义域为 ,
当 时, , 1 分
当 时, ,则 在 上单调递减, 2 分
当 时,由 ,解得 ; 由 ,解得 . 4 分
即 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上所述,当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增; 6 分
(2)①由题意得 ,所以 的定义域为 ,
在 上有极值点等价于 在 上有变号零点. 8 分
令 ,即 在 上有变号零点.
当 时,显然 在 上恒成立,无变号零点,不满足题意; 9 分
当 时, 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
令 ,解得 , 11 分
②此时 在 上有唯一零点 .
在 上单调递增,故当 时, ,即 ; 当 时, , 即 ,故 在 上单调递减; 在 上单调递增,
故 是 的极小值点; 13 分
方法一:
由上分析, ,又 ,故 .15 分
方法二:
因 ,
由 ,可得 ,则 ,
令 ,显然 在 上单调递减,
则 ,即 ,故 . 15 分
17.在三棱锥 中, 为 中点,点 在 上, .
(1)若二面角 的余弦值为 ，求证: 平面 ；
(2)若 ， 平面 . 设点 到 的距离为 ，到平面 的距离为 ，求 的取值范围.
【解析】
(1) ， 为 的中点， ，
， ，即二面角 的平面角为 ，
， 2 分
,由余弦定理得: ,
由勾股定理 , 4 分
又 平面 ,又 平面 ,
又 平面 . 6 分
(2)设 ，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系， 则 . 7 分 ,
,
整理得: . 9 分
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,令 ,则 , 11 分
,
, 13 分 . 15 分
18.中心在原点,焦点在 轴上的等轴双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 1 . 过 轴正半轴上一点 且斜率存在的直线 交双曲线 的右支于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 为双曲线 的右焦点,且 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围;
(3)直线 分别和双曲线的两条渐近线交于 两点，且 在直线 上从上到下顺次排列. 设 为坐标原点,若 ,求直线 的斜率.
【解析】(1)设等轴双曲线 的标准方程为 ,顶点为 ,渐近线方程为 ,顶点到一条渐近线的距离 ,解得 ,
故所求双曲线的标准方程为 . 3 分
(2)设直线 ,
又 ,所以 ,且 , 5 分
由题意知 ,解得 , 6 分
, 7 分
由 ,则 ,故 ,
即 ,又 ,解得 ,
又直线 的斜率 ,则 ,
故 . 10 分
(3)依题意作图如下:
由 ,
知 . 又 ,所以 .12 分
设直线 ,
,联立得 ,
即 ,
再将直线 与直线 及直线 分别联立,
得 . 所以 ,
因此线段 有相同的中点,故 . 14 分
因为 ,故由射影定理,有 ,
所以 .
于是直线 的斜率 . 17 分
19.已知数列 和 为数列 的前 项和, ,且 ,
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求证: .
【解析】(1)由 ，得 ，故 ， .2 分
由 ,得 ,故 , .4 分
(2)由 ,
得 , .6 分
整理后可得 , 7 分
由 得 ,即 ,
于是 ,又 得 ,
所以 ,所以 ,
经验证 也符合,所以 ; 10 分
(3)构造函数 ,则 ,
所以 在 单调递减,且 ,
由零点存在定理,存在唯一的 ,使得 ,
则当 时, ,当 时, ;
故 在 单调递增; 在 单调递减;
又 ,所以 ,
所以当 时, , 13 分
所以当 时, ,
所以当 时, , 15 分
当 时, . 16 分当 时,不等式成立; .17 分月份 (月)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月销售 (吨)
4.0
5.2
6.5
7.8
9.0
10.3
11.5
12.8
13.0
12.5
11.0
9.5