四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年高三下学期高考模拟（一）数学（文）试题 含解析

这是一份四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年高三下学期高考模拟（一）数学（文）试题 含解析，共10页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回， 若，则等内容，欢迎下载使用。
命题人：朱世衡 方兰英 金鑫
本试卷分选择题和非选择题两部分.
第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页.
满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，且，
所以.
故选：A
2. 命题的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题，
则其否定为.
故选:B
3. 定义运算，则满足（为虚数单位）复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】由题意，可化为，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选：D．
4. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合图象，依次求得的值.
【详解】由图象可知，，所以，
依题意，则，
，所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
5. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）

A. B. C. 24D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
故选：D

6. 如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案．
详解：∵D为AB的中点，∴
∵
∴
∴O是CD的中点，
∴S△AOC=S△AOD=S△AOB=S△ABC，
故选B．
点睛：本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
7. 用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据简单随机抽样的等可能性，即可判断和选择.
【详解】总体有10个个体，从中抽取第一个，若为，则其可能性为，若不为，则其可能性为；
抽取第二个，若其为，则第一次一定不是，再从9个个体中抽取1个，且为，则其可能性为.
综上所述，某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是.
故选：A.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解.
【详解】由已知得，即（），
则.从而.
故选：A.
9. 已知函数，若等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. B. 0C. 2024D. 4048
【答案】D
【解析】
【分析】根据的解析式，判断其为单调增函数且为奇函数，再结合等差数列的前项和公式，即可求得结果.
【详解】函数，其定义域为，又，故为奇函数；
又在为单调增函数，在为单调增函数，故在单调递增，
又为上的奇函数，故在上为单调增函数；
又函数为上的奇函数，且为增函数，故为上的单调增函数且为奇函数；
，，则，即；
故.
故选：D.
10. 某同学制作了一个工艺品，如图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一截面圆的周长为，则原来被截之前的球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设球的半径为，截面圆的半径为，根据题意，结合球的截面的性质，求得，进而求得球的表面积，得到答案.
【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，两个截面圆间的距离为，
因为截面圆的周长为，可得，解得，
又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4正方体的六个面所截后剩余的部分，
所以两截面圆之间的距离为，解得，
根据球的截面的性质，可得，
所以球的表面积为.
故选：B.
11. 抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围．
【详解】设，，，在上射影分别为，，
则，，故，
又，所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
故．
故选：C．
【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题．
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下4个命题：
（1）若，则；
（2）若，则一定为直角三角形；
（3）若，，，则外接圆半径为；
（4）若，则一定是等边三角形.
则其中真命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得到和的大小关系，再利用倍角公式可以比较和，进而判断（1）；利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求角，判断（2）；利用余弦定理求出，再利用同角三角函数关系得，由正弦定理可以得到外接圆半径；根据三角形内角的范围和余弦值的范围可以对（4）进行判断.
【详解】（1）若，则，则，
则，即，故（1）是真命题；
（2）若，由正弦定理得，
又因为，所以，
即整理可得，
因为，所以，所以，因为，故，
所以一定为直角三角形，故（2）是真命题；
（3）若，，，由余弦定理得，则，
由正弦定理得，故外接圆半径，故（3）是假命题；
（4）若，则，
则，从而，则一定是等边三角形，故（4）是真命题；
综上，真命题有3个.
故选：C.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若曲线在处的切线经过点，则实数______．
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】根据导数的几何意义得到切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程，最后将点代入切斜方程求解即可.
【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为，切点为，则切线方程为，
将点代入切线方程中可得：，解得.
故答案为：.
14. 如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则______.

【答案】
【解析】
【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y即可求解.
【详解】由题意，甲的中位数为：，故乙的中位数①
，
，
因为平均数相同，所以②，
由①②可得，，
所以，
故答案为：.
15. 若，满足且的最小值为，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用约束条件作出可行域，根据截距式计算即可.
【详解】若，则可行域如图所示：
此时无小值，与题设矛盾，故，
由约束条件作出可行域如图，
结合图象知，点，
由,得，由图可知，当直线过A时，
直线在轴上的截距最小，有最小值为．
故答案为：．
16. 已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】设椭圆与双曲线的焦距，，
由题意可得：，，
，，，
，，，
.
，
，设，则，
，
.
故答案为：.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义求通项公式.
（2）利用错位相减法求和可得结果.
【小问1详解】
当时，，可得，
当时，，可得，则，
是首项､公比都为的等比数列，
故.
【小问2详解】
由题设，，
，
则，
所以
，
所以.
18. 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与者中随机抽取200人（中老年、青少年各100人），根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
上图有两个数据没有标注清晰（即图中a，b），但已知此直方图的满意度的中位数为68.
（1）求a、b的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关.
附：，.
【答案】（1），，
（2）有的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关；
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中满意度的中位数为68，可知满意度为时对应得频率为，由此计算出的值，再由概率和为1可得出的值，由频率分布直方图平均数的计算公式计算可得出平均数.
（2）根据这人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为，可得出高于平均数的人数，进而得到青少年中高于平均数的人数，从而可得列联表，根据的公式计算的观测值，得出结论.
【小问1详解】
由题意可得，此直方图的满意度的中位数为68，即满意度为时对应得频率为，
所以，解得：，
又，代入可得：.
，
这200人满意度的平均数为.
【小问2详解】
由（1）可知：这人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为，所以高于的频率为，人中共有人高于平均数，故青少年中高于平均数的有人，可得列联表如下：
所以的观测值，
所以有的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关；
19. 直三棱柱中，，，分别是，的中点，，为棱上的点.

（1）证明：；
（2）当为中点时，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直证明线面垂直；
（2）由向量法求点到平面的距离，利用锥体的体积公式可得.
【小问1详解】

如图，取的中点，连接，，则，四点共面，由题意可知，四边形为正方形，又为的中点，为的中点，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以.
【小问2详解】
由题意，由可得，
又，平面，所以平面，
因平面，所以.故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令得，，
所以，又因，
则到平面的距离，
20. 已知T是上的动点（A点是圆心）.定点，线段TB的中垂线交直线TA于点P.
（1）求P点轨迹；
（2）设曲线在P点（不在x轴上）处的切线是l，过坐标原点O点做平行于l的直线，交直线PA于点C.试求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中垂线的性质，结合椭圆的定义求解；
（2）设直线的方程，联立方程组由条件求的取值范围.
【小问1详解】
由中垂线的性质得，所以，
所以动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设该椭圆的方程为，
则，，所以P点轨迹为；
【小问2详解】
设，，
则，因为存在斜率，
设直线的斜率为，所以直线的方程为，
联立可得，消去，
①，
由题意得方程①的判别式，
所以，
所以②，
方程②的判别式，
因为，即，
所以，所以方程②的解为，
因为，所以，
所以直线的方程为，
所以③，直线④，
联立③④可得，
所以，代入得，
因为，所以.
【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于联立直线和椭圆方程求出直线的斜率，结合条件表示出，根据条件求出坐标进而即得.
21. 已知函数，其中.
（1）求的最大值；
（2）若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）求得，根据的正负，即可判断函数单调性，从而求得函数最大值；
（2）讨论，，三种情况下，结合对参数的讨论，根据函数不等式恒成立，即可求得的范围.
【小问1详解】
，，则，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
当，，单调递增；又，，
且当时，，故的最大值为.
【小问2详解】
设，其中；
①当时，，满足题意；
②当时，，且；
由（1）中，在单调递增，故；
若，，单调递减，，满足题意；
若，，满足题意；
若，即时，，单调递减，，满足题意；
若，即时，存在，使得，
当，，，单调递增，可得，不满足题意；
故当时，满足题意的；
③当时，，且，
由②可知，只需考虑；
若，则，由（1）可知在单调递减，故，
存在，使得，当，，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，则，由（1）知，当时，，，，
此时在单调递增，有，满足题意；
若，，满足题意；
若，下面证明满足题意，
当，，；
当，令，则，
故当，，单调递增，当，，单调递减，
故，故，满足题意.
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键，一是能够针对的取值进行分类讨论，二是在对取值的讨论下，要对参数的范围进行讨论；同时，要注意与的关系，从而借助第一问的结论解决问题；属综合困难题.
四、请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
选修4-4：极坐标与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，已知曲线(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设射线与相交于A，B两点，与相交于M点(异于O)，若，求a.
【答案】（1）的极坐标方程为：，的直角坐标方程为：；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据代入法把曲线化成普通方程，进而利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式求出曲线的极坐标方程，用坐标方程与直角坐标方程互化公式求出曲线的直角坐标方程即可；
（2）运用代入法得到一个一元二次方程，结合已知等式进行求解即可.
【详解】解：（1）由
所以曲线的极坐标方程为：，
由
所以曲线的直角坐标方程为：.
（2）将代入，得，
即，解得，，所以.
又，而，
所以.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数的最小值为.
（1）求不等式的解集；
（2）若，且，求的最大值.
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
分析】（1）利用绝对值三角不等式求出，即可求出，再将写出分段函数，分段分别计算可得；
（2）依题意可得，即可得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【小问1详解】
，当且仅当时取等号，
，
又的最小值为，
，解得或（舍去）.
，
当时，令，解得，所以；
当时，令，解得，所以不等式无解；
当时，令，解得，所以.
综上，不等式的解集为或.
【小问2详解】
由（1）可得，又且，
即且，所以，则，
又，所以，
所以，
又，，，
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
不高于平均数
高于平均数
合计