2025-2026学年北京四中八年级（下）开学数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年北京四中八年级（下）开学数学试卷-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.篆刻是一种传统的艺术形式，因古代印章多采用篆书入印而得名，它是书法和镌刻（包括凿、铸）的结合，下列四幅篆刻作品中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.我国制造强国建设取得新进展，科技创新与产业创新深度融合，0.0000028厘米光刻机现已完成产线验证.数据0.0000028用科学记数法可以表示为（ ）
A. 2.8×10-8B. 2.8×10-7C. 2.8×10-6D. 2.8×10-5
3.点P（-1，m）与点Q（1，3）关于y轴对称，则m的值为（ ）
A. 1B. -1C. 3D. -3
4.下列计算正确的是（ ）
A. a•a5=a5B. （2ab2）3=6a3b6
C. 3a2•（-4a2）=-12a2D. （10a4b2）÷（5a3b）=2ab
5.下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B.
C. D.
6.下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ）
A. 甲是整式的乘法，乙是因式分解B. 甲是因式分解，乙是整式的乘法
C. 甲、乙均为因式分解D. 甲、乙均不是因式分解
7.阅读材料：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a,b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部.它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似（2+i）+（3-4i）=（2+3）+（1-4）i=5-3i；（3+i）i=3i+i2=3i-1.
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭.
若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b-a）2的值（ ）
A. 1B. -1C. 4D. 49
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AC=6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A. 2
B. 6
C. 3
D. 9
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式有意义，则x满足的条件是 .
10.写出“全等三角形三边相等”的逆命题 .
11.已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边x的取值范围为 .
12.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE=CF，∠ACB=∠F.只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 .（写出一个即可）
13.分解因式：2a2-4ab+2b2= ．
14.将一副三角板按如图所示的方式放置.∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠D=30°，F为DE与BC的交点.若∠DAB=30°，则∠DFB= .
15.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=5cm,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm.
16.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：.
四、解答题：本题共12小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
（1）（3x+2）（3x-2）；
（2）（6x4-8x2y）÷2x2.
19.(本小题6分)
因式分解：
（1）x3-6x2+9x；
（2）x2（x-y）+y2（y-x）.
20.(本小题9分)
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
21.(本小题5分)
已知2a-b=0，求代数式的值.
22.(本小题6分)
如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AC⊥DE于点F，连接CE.
（1）求证：AD⊥BC.
（2）求∠AEC的度数.
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F.
（1）求证：AE=DE；
（2）如果AE=4，BD=3，求EF的长.
24.(本小题6分)
下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：如图1，直线l及直线l外一点P.
求作：直线PQ，使得PQ∥l.
作法：如图2，
①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线AP于点C，交射线AB于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠PAB的内部相交于点E，作射线AE；
③以点P为圆心，PA为半径作弧，交射线AE于点Q（不与点A重合），作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接CE，DE.
在△CAE和△DAE中，
，
∴△CAE≌△DAE（SSS）.
∴∠CAE=∠DAE.
∵PA=PQ，
∴∠CAE=______（______）（填推理的依据）.
∴∠DAE=______.
∴PQ∥l.
25.(本小题6分)
【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，例如：下面图形的面积可以表示为：（a+b）2，
也可以表示为：a2+2ab+b2，
因此得到等式：（a+b）2=a2+2ab+b2
【拓展探究】
2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b,斜边长为c.
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为______；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______；______；
（3）你能得出的a,b,c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为______.
26.(本小题6分)
综合与实践
问题背景：若两个分式P与Q，满足P-Q=k,k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为“差整值”.例如：分式，，P-Q=1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k=1.
探究1：
（1）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是______（填序号）.
①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”.
探究2：
（2）已知分式，（S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差整值”k=4，求整式S.
探究3：
（3）已知分式，（a,b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写出“差整值”k的值.
27.(本小题7分)
在△ABC中，AB=AC，0°＜∠BAC＜60°，D是一个动点，且AD⊥BD，过点A在Rt△ABD的外侧作直线AE，使，点D关于直线AE的对称点为F.
（1）如图1，当点D在△ABC的AC边上时，连接AF，FC，直接写出∠AFC的度数；
（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且在∠ABC的内部时，连接AF，FC，射线FD交BC于点M.
①依据题意，补全图2；
②用等式表示BM与BC的数量关系并证明.
28.(本小题8分)
我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平→竖直→水平（或者竖直→水平→竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）.数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜.其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉.但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先做点A关于y轴的对称点A1，然后做点A1关于x轴的对称点A2，便可得到点A与点A2的坐标关系.老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”.例如已知点A（-1，2），经过“孙氏原点对称”后得到点A2的坐标就是（1，-2）.若点P坐标为（-5，7），点P经过“孙氏原点对称”得到的对应点P2坐标为______.
小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点A关于y轴对称，再关于平行于x轴的直线y=a做对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了!老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”.若点Q（-1，2）与Q2（1，5）“孙氏超级对称”，则a=______.
29.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-a-3，-2+a），B（-a,-2+a），C（-a,-2），D（-a-3，-2）（a≠0）.
对于点P给出如下定义：将点P向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位长度，得到点P1，点P1关于直线l（直线l上的各点的横坐标都为a）的对称点为Q，则称点Q为点P的“平称点”.
（1）当a=1时，
①点B的“平称点”的坐标为______；
②若点M（m,n）的“平称点”在线段CD上，直接写出m的取值范围以及n的值；
（2）点E（a-1，0），点F（0，a-1），若线段EF上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形ABCD有两个交点，直接写出a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】x≠3
10.【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等
11.【答案】3＜x＜7
12.【答案】∠A=∠D（答案不唯一）
13.【答案】2（a-b）2
14.【答案】15°
15.【答案】5
16.【答案】

17.【答案】x=4．
18.【答案】9x2-4 3 x2-4y
19.【答案】x（x-3）2 （x-y）2（x+y）
20.【答案】
21.【答案】；-1．
22.【答案】∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°．
∵AC⊥DE，
∴∠FAD=∠DAE=×60°=30°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADC=180°-（30°+60°）=90°，
∴AD⊥BC 90°
23.【答案】∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD=∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∴∠DAB=∠ADE，
∴AE=DE
24.【答案】图形如图所示：
∠ PQA;等边对等角;∠PQA
25.【答案】b-a；
c2-2ab，（b-a）2；
a2+b2=c2；
13．
26.【答案】③ S=18x2-x-42 k=-6
27.【答案】90° ①依据题意，补全图2，如下：

②如图，过点C作CG∥BD交FM的延长线于点G，

∵点D关于直线AE的对称点为F．
∴，AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∵，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠AFC=∠ADB，BD=CF，
∵AD⊥BD，
∴∠AFC=∠ADB=90°，
∴∠BDM+∠ADF=∠MFC+∠AFD=90°，
∴∠BDM=∠MFC，
∵CG∥BD，
∴∠BDM=∠MGC，
∴∠MFC=∠MGC，∠DBM=∠GCM，
∴CF=CG，
∴BD=CG，
∴△BDM≌△CGM（ASA），
∴BM=CM，即
28.【答案】（5，-7） 3.5
29.【答案】①（3，0）；②3≤m≤6，n=-3 -2＜a≤-1 甲：4x3（x2+y）=4x5+4x3y.
乙：4x2-8x+4=4x（x-2）+4.