高中数学人教版选修2（理科）复合函数的导数表格教学设计

这是一份高中数学人教版选修2（理科）复合函数的导数表格教学设计，共5页。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
5.2.3简单复合函数的导数
教科书
书 名：选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
1. 理解复合函数的概念；
2. 掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数，提升学生运算核心素养.
教学内容
教学重点：
会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程
教学难点：
记忆复合函数求导法则的公式结构
教学过程
复习回顾
导数的四则运算法则
；
.
学习新知
问题1：试求下列函数的导数
（1）；
（2）；
解：（1），；
（2）现有方法无法求出它的导数.
①用定义不能求出极限；
②不是基本初等函数，没有求导公式；
③不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决问题.
追问：函数可以用哪些基本初等函数表示？
设，则.
那么y=ln(2x−1)可以看做y=lnu和u=2x−1(x>12)经过“复合”得到.
如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为：
y=f(u)=f(g(x))=ln(2x−1)
复合函数：
一般地，对于两个函数y=fu和u=gx，如果通过中间变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=fu和u=gx的复合函数，记作y=f(g(x)).
例如：函数是由和复合而成.
课堂练习
例1、判断下列函数哪些是复合函数
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
解答：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）是；（7）是；（8）不是
问题2：如何求复合函数的导数？
以函数y=sin2x为例，研究其导数.
yx'=sin2x'=(2sinxcsx)'=2[sinx'⋅csx+sinx⋅(csx)'
=2[cs2x−sin2x]=2cs2x.
猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu， u=2x的导数有关，
以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，ux'表示u对x的导数.
可以得到y=sinu， u=2x的导数为：yu'=csu， ux'=2.
我们可以发现：yx'=2cs2x=2csu=yu'⋅ux'.
追问：换个函数试试，还能发现类似的结论吗？
以函数y=ln2x为例，研究其导数.
yx'=ln2x'=(lnx+ln2)'=(lnx)'+(ln2)'=1x+0=1x.
猜想y=ln2x的导数与函数y=lnu和u=2x的导数有关，
以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，ux'表示u对x的导数.
可以先得到y=lnu， u=2x的导数为：yu'=1u， ux'=2.
我们可以发现：yx'=yu'⋅ux'.
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y=fu和u=gx复合而成的函数y=fg(x)，它的导数与函数y=fu和u=gx 的导数之间的关系为：
yx'=yu'⋅ux'.
问题3.现在可以用复合函数的求导法则求函数y=ln(2x−1)的导数了吗？
解析：函数y=ln(2x−1)可以看作函数y=lnu和u=2x−1的复合函数，
所以yx'=yu'⋅ux'=(lnu)'⋅(2x−1)'=2u=22x−1.
例2.求下列函数的导数：
（1）y=(3x+5)3；
（2）y=e−2x+3；
（1）解：函数可以看作y=u3和u=3x+5的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
yx'=yu'⋅ux'=(u3)'⋅(3x+5)'=3u2×3=9u2=9(3x+5)2.
（2）解：函数可以看作y=eu和u=−2x+3的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
yx'=yu'⋅ux'=(eu)'⋅(−2x+3)'=eu×−2=−2eu=−2e−2x+3.
例3.某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为：y=18sin(2π3t−π2) .
求函数y在t=3时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数y=18sin⁡(2π3t−π2)可以看作函数y=18sinu与u=2π3t−π2的复合函数，
根据复合函数的求导法则，有
yt'=yu'⋅ut'=(18sinu)'⋅(2π3t−π2)'=18csu×2π3=12πcs(2π3t−π2).
当t=3时， yt'=12πcs(2π3×3−π2)=0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
课堂小结
复合函数的求导步骤