重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期数学练习（一）含解析（word版）

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1. 设函数 fx 的导函数为 f′x ，已知 fx=ln2x−ln2 ，则 f′1= ( )
A. 2 B. 1 C. 12 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】先利用对数的运算法则化简原函数, 再求导计算求解.
【详解】 ∵fx=ln2x−ln2=ln2x2=lnx ,
求导得 f′x=1x ,
∴f′1=11=1 ,故 B 正确.
故选: B.
2. 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1a4a5=a2a7,S3=7 ,则 S5= ( )
A. 11 B. 31 C. 32 D. 121
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的性质求出 a1=1 ,再用公比 qq>0 表示出 S3 ,求出 qq>0 . 由等比数列的前 n 项和公式即可求得 S5 .
【详解】由等比数列的性质知 a4a5=a2a7≠0 ,又 a1a4a5=a2a7 ,所以 a1=1 ,
设 an 的公比为 qq>0 ,则 S3=1+q+q2=7 ,所以 q=2 或 q=−3 (舍),
所以 S5=1−251−2=31 .
故选: B.
3. 椭圆 x24+y22=1 与直线 y=12x+1 交于 A,B 两点，则线段 AB 的中点为( )
A. −1,12 B. −23,23 C. 0,1D. 1,32
【答案】B
【解析】
【分析】直线方程与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解.
【详解】设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,联立 x24+y22=1y=12x+1 得 3x2+4x−4=0 ,
所以 x1+x2=−43 ,所以线段 AB 的中点的横坐标为 x1+x22=−23 ,
代入 y=12x+1 得 y=23 ，所以线段 AB 的中点为 −23,23 .
故选: B
4. 若函数 fx=−x3+x2+ax+b 在 x=1 处取得极大值 3,则 fx 在 −2,1 上的值域为( )
A. −12,3 B. 0,12C. 4927,3 D. 4927,12
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数,利用极值点、极值列方程组求解可得 a,b ,根据在区间上的单调性列表求值域即可.
【详解】由 fx=−x3+x2+ax+b ,所以 f′x=−3x2+2x+a ,
因为函数 fx=−x3+x2+ax+b 在 x=1 处取得极大值 3,
所以 f′1=−3×12+2+a=0f1=−13+12+a+b=3⇒a=1b=2 ,
所以 fx=−x3+x2+x+2,f′x=−3x2+2x+1 ,
令 f′x=−3x2+2x+1=0 ,解得 x1=1 或 x2=−13 ,
当 x 变化时, fx,f′x 在 −2,1 的变化情况如表所示,
所以根据上表可知, fx 在 −2,1 上的值域为 4927,12 ,
故选: D
5. 设定义在 R 上的函数 fx 的导函数为 f′x ,若 f′x+fx>0 ,且 f2=1e2 ,则不等式 f12lnx0 ,且 ex>0 ,因此 g′x>0 ,即 gx 在 R 上单调递增.
已知 f2=1e2 ，代入 gx 得:g2=e2f2=e2⋅1e2=1,
f12lnx