重庆市南开中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列式子求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知等差数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数与其导函数图象如图所示，则（ ）

A. 曲线为函数图象B.
C. 在单调递增D. 在单调递减
5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的称为三角形数，该数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项之差或者高次差相等．我们把这类数列叫作高阶等差数列（三角形数是二阶等差数列）.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第7项为（ ）
A. 82B. 84C. 86D. 88
6. 设点分别在双曲线的两条渐近线上，线段AB的中点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 4
7. 已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项.
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则数列为有穷数列
C. 数列可能为常数列D. 若，则数列单调递增
10. 已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（ ）
A. 周长等于12
B. 可能是等边三角形
C. 若是椭圆的上顶点，则的面积为10
D. 若，则
11. 已知是曲线上一点，曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 且
C. 点可能在圆的内部
D. 若曲线与曲线恰有个交点，则实数的取值范围为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
12. 设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________.
13. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
14. 已知双曲线，过轴正半轴上一点作斜率为1的直线交于两点，线段的中垂线交于两点，交轴于点，线段的中垂线交于两点，交轴于点，这样可以得到一个点列，若线段的长度为324，则__________.
四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
15. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，分别是棱的中点．
（1）证明：面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知正项数列的前项和为，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：数列的前2n项和.
18. 已知点是抛物线上的动点，是的焦点，当时，.过点作的切线l，l交轴于点，交轴于点，直线QF与相交于A，B两点（在线段QF上）．
（1）求的方程；
（2）若为外心，求点的坐标；
（3）求的面积的最小值.
19. 已知.
（1）证明：有且只有一个极值点；
（2）设是函数的极值点，是函数的极值点，当时，求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.