安徽省皖中地区2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷含答案（word版）

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三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 108.
13. 382 .
14. 1 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解答】解: (1) 根据题意可知 PAPB=12 ,即 x−22+y−22x−52+y−22=12 ,化简可得 x−12+y−22=4 , 因此 E:x−12+y−22=4 分
(2)根据第一问可知， E 是以 2 为半径，(1,2)为圆心的圆.
由于 MN=23 ,因此圆心 C 到直线 l 的距离 d=22−2322=1 分
当直线 l 斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=2 分
此时,圆心 1,2 到直线 l 的距离为 d=1 ,直线 x=2 符合题意 9 分
当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y−1=kx−2 ,即 kx−y+1−2k=0 分
则 d=−k−11+k2=1 ,解得 k=0 ,此时直线 l 的方程为 y=1 分
综上,直线 l 的方程为 y=1 或 x=2 分
16.【解答】解: (1) 由题意直线 l 过点 A−1,0 且倾斜角为 45∘ 分
可得直线 l 的斜率为 tan45∘=1 ,可得直线 l 的方程为 y−0=1x+1 ,即 x−y+1=0 分
(2)由题意直线 m 与直线 l 平行,且与圆 C:x−12+y2=9 相交所得弦长为 2 分
可设直线 m:x−y+t=0 ,圆心 C1,0 到直线 m 的距离 d=1−0+t2=1+t2 分
可得相交所得弦长为 2=2r2−d2 ,即 9−1+t22=1 ,解得 t=3 或 -5 分
可得直线 m 的方程为 x−y+3=0 或 x−y−5=0 分
17.【解答】解: (1) 证明: 取 PD 的中点 N ,连接 AN,MN ,如图所示: ∵M 为棱 PC 的中点,
∴MN//CD,MN=12CD 分
∵AB//CD,AB=12CD,∴AB//MN,AB=MN ,
∴ 四边形 ABMN 是平行四边形, ∴BM//AN 分
又 BM⊄ 平面 PAD,AN⊂ 平面 PAD,∴BM// 平面 PAD 分
(2) ∵PC=5,PD=1,CD=2,∴PC2=PD2+CD2,∴PD⊥DC 分
平面 PDC⊥ 平面 ABCD ,平面 PDC∩ 平面 ABCD=DC,PD⊂ 平面 PDC ,
∴PD⊥ 平面 ABCD 分
又 AD,CD⊂ 平面 ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥CD ,又 AD⊥DC 分
∴ 以点 D 为坐标原点, DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,
如图: 则 P0,0,1,D0,0,0,A1,0,0,C0,2,0 ,
∵M 为棱 PC 的中点, ∴M0,1,12,B1,1,0
(i) DM=0,1,12, DB=1,1,0 ,
设平面 BDM 的一个法向量为 n=x,y,z ,则 n⊥DMn⊥DB ,则 n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0 ,
令 z=2 ,则 y=−1,x=1,∴n=1,−1,2 分
平面 PDM 的一个法向量为 DA=1,0,0,∴cs=n⋅DAnDA=11×6=66 ,
则二面角 P−DM−B 的正弦值为 1−662=306 分
(ii) 假设在线段 PA 上存在点 Q ,使得点 Q 到平面 BDM 的距离是 64 ,
设 PQ=λPA,0≤λ≤1 ,则 Qλ,0,1−λ,BQ=λ−1,−1,1−λ ,
由(2)知平面 BDM 的一个法向量为 n=1,−1,2 分
BQ⋅n=λ−1+1+21−λ=2−λ ,
∴ 点 Q 到平面 BDM 的距离是 BQ⋅nn=2−λ6=64 分
∴λ=12,PQ=12PA=1212+12=22,∴PQ=22 分
18.【解答】(1)证明:由 4Sn=an2+2an+m ，可得 4Sn+1=an+12+2an+1+m 分
两式相减可得: 4an+1=an+12−an2+2an+1−2an 分
则 an+12−an2=2an+1+an ,即 an+1+anan+1−an−2=0 分
∵an>0,∴an+1−an−2=0 ,即 an+1−an=2 ,故数列 an 是公差为 2 的等差数列 4 分
(2)解:由 an+1−an=2,a3=9 ，得 a1=5 分
由 4Sn=an2+2an+m ,取 n=1 ,得 4S1=a12+2a1+m ,得 m=−15 分
∴an=a3+2n−3=2n+3 分
(3) 证明: ∵bn=an−32n=2n2n=n2n−1 ,
∴Tn=120+221+⋯+n2n−1 ,① 分
12Tn=121+222+⋯+n2n ,② 13 分
①-②得: 12Tn=1+121+122+⋯+12n−1−n2n=2−n+22n 分
∴Tn=4−n+22n−10 ,
由韦达定理得 y1+y2=42mm2+3,y1y2=−4m2+3 分
所以 AB=1+m2⋅y1+y22−2y1y2=1+m2⋅42mm2+32+16m2+3=23 ,解得 m=±1 分
所以直线 l1 的方程为 x−y+22=0 ,或 x+y+22=0 分
(3)由(2)知 y1+y2=42mm2+3 ，
所以 x1+x2=my1−22+my2−22=−122m2+3 ，即 M−62m2+3,22mm2+3 ，分
设直线 l1 的方程为 x=ny+22,Cx3,y3,Dx4,y4 ,
联立 x=ny+22x212+y24=1 ,
消去 x 并整理得 n2+3y2+42ny−4=0 ,此时 Δ=−42n2+16n2+3>0 ,
由韦达定理得 y3+y4=−42nn2+3 ,所以 x3+x4=ny1+22+ny2+22=122n2+3 ,即 N62n2+3,−22nn2+ 12 分
因为 l1,l2 的斜率乘积为 −13 ，所以 1m⋅1n=−13 ，解得 mn=−3 ，即 N22m2m2+3,22mm2+3 分
显然边 MN 与横轴平行,
所以 S△OMN=12×22mm2+3×22m2m2+3+62m2+3=4m+3m≤42m⋅3m ，即 S△OMN≤233
当 m=3m 时,即 m=±3 时,等号成立. 则 △OMN 面积的最大值 17 分
注:以上各解答题解法仅供参考，如有其它解法且正确，请按相应步骤给分。题号
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答案
C
D
C
B
A
D
B
A
BD
BCD
ABC