广东省东莞市高二上学期期末教学质量检查数学试题-A4

这是一份广东省东莞市高二上学期期末教学质量检查数学试题-A4，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.两条平行直线 3x−y−1=0与 3x−y+3=0间的距离为( )
A. 4B. 2 3C. 2D. 1
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7=8，则S13=( )
A. 52B. 104C. 208D. 416
3.已知{a,b,c}为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是( )
A. a+b，a−b，cB. a+c，b+2a，b−2c
C. a+b，a+b+c，cD. b+c，c，b−c
4.已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为( )
A. x28+y24=1B. x22+y2=1C. x22+y24=1D. x24+y22=1
5.一条光线从点P(0,4)射出，经x轴反射后，与圆C:x2+y2−6x+8=0相切于点M，则光线从P到M经过的路程为( )
A. 4B. 5C. 2 6D. 2 11
6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为ABCD的中心，侧棱AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=60∘，则A1O与AC所成角为( )
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
7.已知圆C1:x2+y2=a2(a>0)与曲线C2:x2+y2=2|x|+2|y|恰有4个公共点，则a=( )
A. 2B. 2 2C. 2或2+ 2D. 2或2 2
8.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，⋯)，现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为( )(参考公式：12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6)
A. 21B. 20C. 19D. 18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知方程：(m−1)x2+(5−m)y2=(m−1)(5−m)(其中m为参数)，下列正确的有( )
A. 若m=1，则方程表示y轴B. 若m=3，则方程表示圆
C. 若m5，则方程表示双曲线
10.已知数列{an}各项均为正数，且满足an(a1+a2+a3+⋯an)=4，下列正确的有( )
A. a1=2B. a20,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为5π6的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点F1，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在等比数列{an}中，a2a3=8，a1+a4=9.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若{an}为递增数列，bn=lg2an+1，求数列{1bnbn+1}的前n项和Sn.
16.(本小题12分)
已知圆C经过点A(2,1)，B(0,−1)，并且圆心C在y轴上.
(1)求圆C的方程;
(2)记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当△ABD的面积为4时，求直线l的方程.
17.(本小题12分)
如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，∠BDC=90∘，AD=BD=CD=4，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.
(1)证明：PQ//平面BCD;
(2)求平面DPQ与平面MPQ夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l:x−y−2=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M，N两点.
(1)若|MN|=2 10，求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求p的取值范围;
②证明：以MN为直径的圆过P，Q两点.
19.(本小题12分)
若n项数列{an}同时满足i=1nai=0，i=1n|ai|=t(t∈N*).则称{an}为“n阶0−t数列”.
(1)若等比数列{an}为“6阶0−1数列”，写出{an}的各项;
(2)若等差数列{an}为“2k−1阶0−t数列”(k≥2且k∈N*，t∈N*)，求{an}的通项公式(用k，n，t表示);
(3)记“n阶0−t数列”{an}的前k项和为Sk(k=1,2,3,⋯,n)，若存在m∈{1,2,3,⋯,n}，使Sm=t2，判断数列{Sn}能否是“n阶0−t数列”?若是，求出所有这样的数列{an};若不是，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：两条平行直线 3x−y−1=0与 3x−y+3=0间的距离为d=−1−3 ( 3)²+(−1)²=2.
2.【答案】B
【解析】解：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7=8，
所以S13=13(a1+a13)2=13a7=13×8=104.
3.【答案】A
【解析】解：对于A，假设a+b，a−b，c共面，
则存在λ，μ使得 a+b=λa−b+μc，
∴ λ=1λ=−1μ=0，无解，
∴a+b，a−b，c不共面，可以作为空间的一组基底．
对于B， b+2a=2 (a+c)+b−2c，
对于C， a+b+c=(a+b)+c
对于D，c=12b+c−12b−c，
∴B、C、D中的向量共面，不能作为空间的基底，
故选：A.
4.【答案】D
【解析】解：由题意，得b=c= 2，且焦点在x轴上，
则a= b2+c2=2，
则椭圆的标准方程为x24+y22=1.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
求出P关于x轴的对称点Q，然后计算点Q引出的切线长即可．
【解答】
解：可知点P(0,4)关于x轴的对称点Q(0,−4)，
圆C:x2+y2−6x+8=0，
则圆心C(3,0)，半径r=|CM|=1，
故|QM|= |QC|2−|CM|2= 9+16−1=2 6.
根据对称性可知，光线经过的路程即为|QM|=2 6.
故选：C.
6.【答案】A
【解析】解：
由题知，平行六面体ABCD−A1B1C1D1,设AB=a,AD =b,AA1=c，
所以a=b=c=2，
a⋅b=0,c⋅a=c⋅b=2×2×cs60∘=2，
A1C =a+b−c，A C =a+b
A1O=12(A1A+A1C)=12(−c+a+b−c)=12(a+b−2c)，
∴A1O ⋅A C =12(a+b−2c)⋅(a+b)=12(a2+2a⋅b−2a⋅c−2b⋅c+b2)
=12(4+0−4−4+4)=0，
∴A1O ⊥A C ，即A1O与AC所成角为90∘.
故选A.
7.【答案】D
【解析】解：当x≥0，y≥0时，方程x2+y2=2|x|+2|y|可化为(x−1)2+(y−1)2=2，
此时，曲线是一个以(1,1)为圆心，半径为 2的半圆，
由对称性可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|在各个象限内都是半径为 2的半圆，
又圆C1:x2+y2=a2(a>0)的圆心为(0,0)，半径为a，
由图像可知，当a=2或2 2时，圆C1与曲线C2恰有4个公共点.
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，当三角锥垛有n层时，
该堆垛总共球的个数为 a1+a2+a3+⋯+an=12+12+22+22+32+32+...+n2+n2
=12[(1+2+3+...+n)+(12+22+...+n2)]=12[n(n+1)2+n(n+1)(2n+1)6]=n(n+1)(n+2)6，
经验证：当n=20时，20×21×226=1540，当n=21时，21×22×236=1771，
故1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为20.
9.【答案】BD
【解析】解：当m=1时，方程为 4y2=0，即y=0，表示x轴，故A错误；
当m=3时，方程为 2x2+2y2=4，即x2+y2=2，表示圆，故B正确；
当m ≠1且m ≠5时，方程为 x25−m+ y2m−1=1，
若(m−1)(5−m)>0且5−m ≠m−1时，即1